矩阵的特征值和特征向量

1、第五章第五章1.1.概念的引入概念的引入2.2.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法3.3.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质4.4.矩阵的对角化矩阵的对角化5.5.小结小结6.6.思考与练习思考与练习7.7.背景材料背景材料介绍性实例介绍性实例动力系统与斑点猫头鹰动力系统与斑点猫头鹰- 2 - 1990 1990年年, ,在利用或滥用太平洋西北部大面积森林在利用或滥用太平洋西北部大面积森林问题上问题上, ,北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如北方的斑点猫头鹰称为一个争论的焦点。如果采伐原始森林的行为得不到制止的话果采伐原始森林的行为得不到制止的话, ,猫头鹰将濒猫头鹰将濒

2、临灭绝的危险。临灭绝的危险。 数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学数学生态学家加快了对斑点猫头鹰种群的动力学研究研究, ,并建立了种群模型形如并建立了种群模型形如kkAxx1的差分方程。的差分方程。这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移这种方程被称为离散动力系统。描述系统随时间推移变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键变化。特征值与特征向量是剖析动力系统演变的关键. . 虽然讨论的是离散动力系统虽然讨论的是离散动力系统, ,但特征值和特征向量但特征值和特征向量出现的背景要广泛的多出现的背景要广泛的多, ,还被用来研究连续动力系统还被用来研究连续动力系统, ,为工程设计提供

3、关键知识为工程设计提供关键知识. .另外还出现在物理、化学另外还出现在物理、化学等领域。等领域。1. 1. 相似关系相似关系定义定义: :,相相似似与与则则称称BAAA- 3 -,nnCBA 设设性质性质: :( (反身性反身性) )( (对称性对称性) )( (传递性传递性) )BAPP 1记作记作AB(1)(1)AAABBBC(2)(2)(3)(3),BAC., 0,tsPCPnn 若若一、特征值与特征向量的定义一、特征值与特征向量的定义引入引入. .P11PPAn 线性无关。线性无关。且且n,1假设假设A),(1ndiag 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵，使得：，使得：nPAP 1),()

4、,(111),(1nnnPAn 按按列列分分块块.), 2 , 1(niAiii 定义定义. .,nnCA A- 5 - 特征值和特征向量的定义让人很惊讶，因为一个诺大的矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数，确实有点奇妙！. 0 注意注意. .特征向量特征向量特征值问题仅对方阵而言。特征值问题仅对方阵而言。, 0 若存在若存在.,tsC 设设 则称则称A为为的特征值的特征值, , 为为A的属于特征值的属于特征值 的特征向量。的特征向量。- 6 -二阶方阵特征值的几何意义二阶方阵特征值的几何意义 二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量二阶矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的

5、放大量。的方向上的放大量。把方程把方程yAx 例如例如, ,1001A中的中的x看成输入变量看成输入变量, ,y看成输出变量看成输出变量, ,则这个矩阵方程就代表了一种线性变换则这个矩阵方程就代表了一种线性变换. .特征值为特征值为. 1, 121 对应的特征向量为对应的特征向量为.10,0121 由由.,2211 AA知横轴方向部分变换到负方向知横轴方向部分变换到负方向, ,纵轴方向尺度不变。纵轴方向尺度不变。- 7 -vAvuAu ,4所以所以u是对应于特征值是对应于特征值-4-4的特征向量。的特征向量。易证给定的向量是否是矩阵的特征向量易证给定的向量是否是矩阵的特征向量, ,也易证判也易

6、证判断给出的数是否是特征值。断给出的数是否是特征值。例例1. 1. 设设 ,2561A.23,56vu判断判断 vu,是否是是否是 A的特征向量？的特征向量？ 解：解： 容易验证容易验证 v不是不是A A的特征向量的特征向量.(.(也可从图看出也可从图看出) )xyuvAuAv例例2.2.,的的特特征征向向量量属属于于是是的的特特征征值值是是设设 AA. A,)(22 AAA, 0)(2 , 0 而而. 02 . 0, 1 或或- 8 -设设n阶方阵阶方阵A满足：满足：,2AA 求求的特征值的特征值.A解：解：注注2.2.- 9 -注注1.1. 可类似证明可类似证明, A的特征值只能是零。的特

7、征值只能是零。),(0为为正正整整数数kAk 则则(1) 若若,2IA 则则(2) 若若A的特征值只能是的特征值只能是1或或-1。(1) 设设0 是是)(0 gA的特征值的特征值,)(xg为任一多项式为任一多项式, 则则是是)(Ag的特征值。的特征值。(2) 设设0 是是A的特征值的特征值,mA)(0为正整数为正整数mm 必为必为的特征值。的特征值。(3) 设设0 是是A的特征值的特征值, 且且A非奇异非奇异, 则则01 为为1 A的特征值。的特征值。0, 0)( AI,nnCA 设设0)(XAI 0 AI - 10 -二、特征值、特征向量的求法二、特征值、特征向量的求法0, A(1 1)定义

8、定义. .AI 0nnnnnnaaaaaaaaa 212222111211.,)(的的特特征征多多项项式式称称为为次次多多项项式式的的是是AnAIf (2 2)的非零解的非零解. . 是是即特征向量即特征向量0)(AIfA 称称为为A的特征方程的特征方程, , 其根为其根为A的的特征值特征值. .0)(,)2(的基础解系的基础解系求出求出对每一个特征值对每一个特征值XAI - 11 -特征值与特征向量的求法：特征值与特征向量的求法： 0)1(AIfA从从即对应于特征值即对应于特征值 的线性无关的特征向量的线性无关的特征向量. .例例3.3.求矩阵求矩阵111111111AAIfA )(- 12

9、 -的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解解: :(1)(1)求求A的特征值：的特征值：的特征方程为的特征方程为A111111111 1112023231 rrrr. 2, 1, 2321 的特征值为的特征值为A,21时时 0111131111321xxx- 13 - 221121列列展展开开按按第第)24()2(22 4423 )2)(2)(1( (2)(2)求求A的特征向量：的特征向量： 当当即即, 0)(1XAI 0202321xxxx,12时时 0011121110321xxx- 14 - 当当即即, 0)(2XAI 同解方程组为同解方程组为

10、得基础解系为得基础解系为.1011 即为即为21 时的线性无关的特征向量时的线性无关的特征向量. .002132xxxx同解方程组为同解方程组为23 - 15 -得基础解系为：得基础解系为：1112 即为即为12 时的线性无关的特征向量。时的线性无关的特征向量。同理得对应于同理得对应于时的线性无关的特征向量为：时的线性无关的特征向量为：.1213 例例4.4.533242111AAIfA )(- 16 -求矩阵求矩阵的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。的特征值及与之对应的线性无关的特征向量。解解: :(1)(1)求求A的特征值：的特征值：的特征方程为的特征方程为A533242111 0)6

11、()2(2 . 6),(221 二二重重的的特特征征值值为为A,21时时 0333222111321xxx- 17 -(2)(2)求求A的特征向量：的特征向量： 当当即即, 0)2(XAI0321xxx同解方程组为：同解方程组为：对应的线性无关的特征向量为：对应的线性无关的特征向量为：.101,01121 ,62时时 0133222115321xxx- 18 - 当当即即, 0)6(XAI023032321xxxxx同解方程组为同解方程组为对应的线性无关的特征向量为对应的线性无关的特征向量为.3213 则则阶阶矩矩阵阵为为设设,)(1)naAijnnnnAaaaaAIf 1111)(Aanni

12、iin)1(11 AtrAnnn)1()(1 三、特征值与特征向量的性质三、特征值与特征向量的性质- 19 -证证: :,.,1APPBtsP 可可逆逆阵阵APPIBIfB1)( PAIPPAIP 11)(- 20 -于是于是, ,)( AfAIA)()( BAffBAB(2)从而，从而，A与与B的特征值也相同的特征值也相同. .,)(由由代代数数学学基基本本定定理理知知次次多多项项式式为为nfA 重特征值。重特征值。的的为为也称也称iinA可可作作如如下下因因式式分分解解：在在复复数数域域上上)( Afnnnnk 21,的的重重数数称称为为iin knnnAf)()()()(212 ,)(,

13、21的的互互异异零零点点为为其其中中 Akf.,的的互互异异特特征征值值是是从从而而A., 2 , 1ki- 21 -,nAn个个特特征征值值有有且且仅仅有有阶阶矩矩阵阵(3)重重特特其其中中m.个个计计征征值值以以m注注1.1.0有有零零特特征征值值AA 注注2.2. 用处在于已知用处在于已知n-1个特征值个特征值, 求最后一个特征值。求最后一个特征值。), 2 , 1(00niAi - 22 -),(,(4)21未未必必互互异异个个特特征征值值的的为为设设innA 则则.,111ininniiAtrA 定义定义. .00)(,00 VXAIA的的解解空空间间称称的的特特征征值值为为设设.0

14、的特征子空间的特征子空间的属于的属于为为 AmVmA0dim,(5)0 则则重重特特征征值值的的为为设设.,1线线性性无无关关则则特特征征向向量量s 为为对对应应的的的的互互异异特特征征值值为为设设ssA ,(6)11.,11111也也线线性性无无关关则则sslsl ,A,s的的互互异异特特征征值值为为设设 1(7)分分别别为为ilii ,1的的线线性性无无关关的的特特征征向向量量属属于于i ), 2 , 1(si- 23 -.个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有可可对对角角化化nAA.,可可对对角角化化则则相相似似于于对对角角矩矩阵阵若若AA四、矩阵的对角化四、矩阵的对角化定义定义.

15、 .定理定理1.1.11 PPAn),(1ndiag A nPAP1证证: :),(),(111nnnA .,), 1( ,1线线性性无无关关且且niiiniA 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵,P使得使得由特征值与特征向量的引入知由特征值与特征向量的引入知, ,假设假设- 24 -inVAi dim可可对对角角化化定理定理2.2.可可对对角角化化个个互互异异特特征征值值有有阶阶矩矩阵阵AnAn推论推论. .可可对对角角化化的的步步骤骤：阶阶方方阵阵判判定定An计计算算的的特特征征值值对对于于重重数数大大于于,1)2(i .的阶数的阶数为为其中其中An.2,dim)3(得得出出结结论论并并由由定定

16、理理是是否否成成立立判判断断inVi ;,)1(11kknnA及及其其重重数数的的互互异异特特征征值值求求出出 ,dimAIiirnV - 25 -定义定义. . 设设n ,21是是A的特征值的特征值, ,对应的线性无关对应的线性无关若令若令的特征向量分别为的特征向量分别为.,21n ),(21nP n ,21线性无关线性无关, ,.可可逆逆P且有且有),(211ndiagAPP 称称P为将矩阵为将矩阵A对角化的变换矩阵。对角化的变换矩阵。它的每一列是它的每一列是A的特征向量。的特征向量。- 26 -例例5.5.（对于例（对于例3 3中的矩阵中的矩阵) ) 111111111A. 2, 1,

17、2321 的的特特征征值值为为A的特征向量为的特征向量为对应于对应于321, .121,111,101321 判别是否可对角化判别是否可对角化, ,若可以若可以, ,求出变换矩阵求出变换矩阵. .解解: : 由例由例3 3知知, ,- 27 - 2121APP111210111),(21 P所以，所以，A可对角化。可对角化。且且变换矩阵为变换矩阵为- 28 - 533242111A解解: :. 6),(221 二重二重的特征值为的特征值为A的的特特征征向向量量为为对对应应于于21, .321,101,011321 例例6.6.（对于例（对于例4 4中的矩阵中的矩阵) )判别是否可对角化判别是否

18、可对角化, ,若可以若可以, ,求出变换矩阵求出变换矩阵. .由例由例4 4知知, ,- 29 -310201111),(321 P 6221APP),(21二重二重对于对于 的的重重数数12213dim1 AIrnV所以所以A可对角化可对角化, , 且变换矩阵为且变换矩阵为且且- 30 -100,110,221321 例例7.7., 0,33211AAA三阶方阵三阶方阵A满足：满足：求求.,nAA已知向量已知向量: :解：解：. 1, 0, 13321 个个互互异异特特征征值值有有A由题设知由题设知, ,所以对应的特征向量为所以对应的特征向量为,321 且线性无关，且线性无关，所以所以A可对

19、角化可对角化, ,故相似于对角阵故相似于对角阵. .,112012001),(321 P令令,101 - 31 - APP1则有则有故故1PPA 1112012001101112012001116002001)()(111PPPPPPAn 111)()(PPPPPP 1PPn - 32 -注：注：114012001)1(01112012001nnnn)1()1()1(420020011这是常用的求方阵幂的方法这是常用的求方阵幂的方法. .- 33 - 34 -特征值与特征向量的应用特征值与特征向量的应用Axx 例如例如, ,求解常系数线性方程组的初值问题：求解常系数线性方程组的初值问题：0)0

20、(,xxAxx其中，其中，11,32220 xA解：解：步骤步骤(1)(1)求求A A的特征值的特征值 1 1，-2;-2; (2) (2)特征向量特征向量; ; (3) (3)写出解写出解, ,从而在平面上画出轨迹从而在平面上画出轨迹. .- 35 - 36 -1.1.- 37 -解：解：特特征征值值 0)(AIfA分析：分析：00 AAAI若若3 3阶矩阵阶矩阵A使得使得, 03 AIAIA所以，所以，A的全部特征值为的全部特征值为0,3,-10,3,-1。则则A的全部特征值为的全部特征值为_._.03 AI0)( AIAIAI综合题综合题. .考查矩阵特征值概念及行列式的简单性质。考查矩

21、阵特征值概念及行列式的简单性质。- 38 -因为因为A与与B相似相似, ,而相似矩阵有相同的特征值而相似矩阵有相同的特征值, ,2.2.已知已知3 3阶矩阵阶矩阵A与与B相似相似, A的特征值为的特征值为1,1/2,1/3,则则._1 IB行列式行列式解：解：1 B又因为又因为A的特征值为的特征值为1,1/2,1/3,1,1/2,1/3,所以所以B的特征值为的特征值为1,1/2,1/31,1/2,1/3。的特征值为的特征值为1, 2, 31, 2, 3。IB 1的特征值为的特征值为2, 3, 42, 3, 4。241 IB122212221A3.3.的的特特征征方方程程为为：A12221222

22、1)( AIfA100010111)5( - 39 -解：解：(1)(1)求求A的特征值：的特征值：的全部特征值与对应的的全部特征值与对应的求矩阵求矩阵线性无关的特征向量。线性无关的特征向量。0)1)(5(2 .( 1, 521二重根）二重根） 即即时时当当, 0)( ,511XAI 042202420224321321321xxxxxxxxx 4222422241AI 000110211- 40 -(2)(2)求求A的特征向量：的特征向量： 00232321xxxxx同解方程组为：同解方程组为：:, 13得基础解系得基础解系取取x 1111 022202220222321321321xxxx

23、xxxxx- 41 -即为属于即为属于51 时的线性无关的特征向量。时的线性无关的特征向量。即即时时当当, 0)( ,122XAI 同解方程组为同解方程组为: :0321 xxx:, 1, 0; 0, 13232得基础解系得基础解系依次取依次取xxxx 101,01132 - 42 -即为属于即为属于12 时的线性无关的特征向量。时的线性无关的特征向量。凯莱（凯莱（ Arthur Cayley, 18211895) 英国纯粹数学的近代学派带头人。英国纯粹数学的近代学派带头人。18211821年年8 8月月1616日生于萨里郡里士满，日生于萨里郡里士满，18951895年年1 1月月2626日卒于剑桥。日卒于剑桥。 1839 1839年入剑桥大学三一学院学习，年入剑桥大学三一学院学习，18421842年毕业，后在三一学院任聘年毕业，后在三一学院任聘3 3年，开始了毕生从年，开始了毕生从事的数学研究。因未继续受聘事的数学研究。因未继续受聘, ,又不愿担任圣职（这又不愿担任圣职