理论力学之空间力系

1、导出平衡方程。)(FMz)(xyoFMhFxyAOB 2OABFM 2| )(|02)(BOAFMzcosOABBOA)()(0FMFMzz)(cos| )(|0FMFMz)()(0FMFMyy结论：结论：)()(0FMFMxxMo(F)Mz(F)4.2 空间一般力系的简化空间一般力系的简化简化过程简化过程： 将力系向已知点将力系向已知点 O 简化简化 O 点称为简化中心。点称为简化中心。力线平移力线平移合成合成汇交力系汇交力系合成合成力偶系力偶系结论：结论：空间空间 一般力系一般力系向一点向一点O 简化简化一个力偶一个力偶M一个力一个力RF作用于简化中心作用于简化中心O主矢与主矩主矢与主矩n

2、RFFFF21nFFF21iF原力系的主矢原力系的主矢主矢与简化点主矢与简化点O位置无关位置无关nMMMM21)()()(21nOOOFMFMFM)(iOFMOMOMMO称为原力系对称为原力系对O点的主矩点的主矩主矩与简化点主矩与简化点O位置有关位置有关nixiRxFF1niyiRyFF1niziRzFF1)()(110inixnixioxFMFMM)()(110iniyniyioyFMFMM)()(110inizniziozFMFMMPART TWO简化结果分析简化结果分析Result of reductionmEquilibriuOR0, 0. 1MFMomentPrincipleOR0,

3、 0. 2MFforceResultantOR0, 0. 3MFORORMFMF0, 0. 4MRFORFORFO RFORFOPART TWO简化结果分析简化结果分析Result of reductionORORMFMF/0, 0. 5MRFOORFForce Screw 力螺旋力螺旋ORORORnotnotMFMFMF/0, 0. 6It can be considered as the combination of the situation 4 and 5力系的主矢和对任一点的主矩均为零，即：0)(, 00)(, 00)(, 0111111inizniziiniyniyiinixnix

4、iFMFFMFFMF00oRMF有：例例已知：已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径柱齿圆轮节圆直径D=200mm，压力角，压力角=200求：求： 力力P大小及大小及A、B处的反力处的反力例例解：分析：分析： 传动轴传动轴AB匀速转动时，匀速转动时，可以认为处于平衡状态。可以认为处于平衡状态。 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。0020sin,20cosPPPPzy已知：已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径柱齿圆轮节圆直径D=200mm，压力角，压力角=200

5、求：求： 力力P大小及大小及A、B处的反力处的反力zz例例解： 以AB轴及其上的齿轮和皮带轮所组成的系统为研究对象。0, 00500)(150, 0)(0, 00350150, 0)(02)(2, 0)(2121121zBzAzzBzzyAyByyyByyzyxPTTFFFTTFPFMFFPFFPFMDTTDPFMN418N,6 .28N,142N,1 .38N,71BzByAzAyFFFFP0020sin,20cosPPPPzy已知：已知：T1=200N, T2=100N,皮带轮直径皮带轮直径 D1=160mm，柱齿圆轮节圆直径柱齿圆轮节圆直径D=200mm，压力角，压力角=200求：求：

6、力力P大小及大小及A、B处的反力处的反力例：例： 三轮小车三轮小车ABC静止于光滑水平面上，如静止于光滑水平面上，如图所示。已知：图所示。已知：AD = BD = 0.5m，CD = 1.5m。若有铅垂载荷若有铅垂载荷P = 1.5kN，作用于车上作用于车上E点，点，EF = DG = 0.5m，DF = EG = 0.1m。试求地面试求地面作用于作用于A、B、C三轮的反力。三轮的反力。解：解：三轮小车三轮小车ABC 研究对象研究对象受力：受力： P、FA、FB、FC 构成平行力系。构成平行力系。:0 xiM0CDFEFPC（1）kN5 . 05 . 15 . 05 . 1CDEFPFC:0y

7、iM0ADFAFPABFCB（2）kN35. 00 . 15 . 05 . 00 . 14 . 05 . 1ABADFABAFPFCB:0ziF0PFFFCBA（3）kN65. 05 . 035. 05 . 1CBAFFPF 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 解：作板受力图，建立如图坐标。PSSPFy2045cos:044PSSaSaSMAA2045cos45cos:0)(42241FPSSaSaSMDD2045cos45cos:0)(45541FPSSa

8、SaSMAD434322045cos:0)(FPSaSaSMDC656045cos:0)(FPPPPPPSSSSSSSFz1245361045cos45cos45cos:0例例 题题 Sample Problem 5ABCDEOyxz500500200100400FQAn axis shown on the figure, a horizontal force Q acting on point E, and the axis is in equilibrium, compute the magnitude of Q and reactions at bearing A and B. F=20

9、0NABCDEOyxz500500200100400FQSolutionTranslate F to plane Oyz, MF=F400=80000Nmm Translate Q to plane Qxy, MQ= Q100=100QNmmABCDEOyxz500500200100400QFQMFMSample Problem 5According to the moment of axis:ABCDEOyxz500500200100400QFQMFM 0yMN8000800001000QQMMFQProject each force and reactions to correspondi

10、ng plane:Sample Problem 5Project each force and reactions to plane OzyN4000N2400120010000ZAZBZAZBZBZAFFFFFFFFMAZFBZFF500500200ABCAccording to the moment of axis:ABCDEOyxz500500200100400QFQMFM 0yMN800QProject each force and reactions to corresponding plane:Sample Problem 5Project each force and react

11、ions to plane OzyN4002/QFFBxAxAxFBxF500500200ABCQProject each force and reactions to plane OxyN400N2400ZAZBZAFFFM4 -3 重心重心 平行力系中心平行力系中心一、重心的概念一、重心的概念(Center of Gravity)iP物体的重量（力）：物体的重量（力）： 物体每一微小部分地球引力的合力。物体每一微小部分地球引力的合力。物体每一微小部分地球引力物体每一微小部分地球引力 构成一汇交力系，汇交构成一汇交力系，汇交点为地球中心。近似为点为地球中心。近似为一一空间平行力系空间平行力系

12、。重心：重心：物体每一微小部分地球引力合力物体每一微小部分地球引力合力 P 的作用点的作用点C 。iPP空间平行力系的中心空间平行力系的中心几何点几何点重心重心C 唯一性唯一性二、重心位置的确定二、重心位置的确定1. 一般计算公式一般计算公式)(iPP设合力设合力P的作用点位置坐标为：的作用点位置坐标为：xC、yC、zC ，由合力矩定理得：由合力矩定理得：)()(iyyMMPPiicPxPxPPxxiicPPyyiic,PPzziic,（47）重心坐标重心坐标的一般计算公式，的一般计算公式，P为物体的总重量。为物体的总重量。设：设：MgPgmPii,iPP其中Mmi,分别分别为微元体的质量和物

13、体的总质量，为微元体的质量和物体的总质量，g 为重力加速度。为重力加速度。则有：则有：MmxMggmxPPxxiiiiiicMmxxiicMmyyiicMmzziic物体物体质心质心(center of mass)坐标坐标的一般计算公式。的一般计算公式。（47 ）可见：可见：在重力场中，重心与质心为同一几何点。在重力场中，重心与质心为同一几何点。重心与质心的区别重心与质心的区别重心：仅在重力场中存在。重心：仅在重力场中存在。质心：任何地方都存在。质心：任何地方都存在。2. 均质物体的重心坐标积分计算均质物体的重心坐标积分计算设物体内一点容重为：设物体内一点容重为：常常数数 单位体积的重量单位体

14、积的重量（N/m3），则有：则有：VPVPi,V、V 分别为微元体和物体的体积。分别为微元体和物体的体积。VVxVVxPPxxiiiiiicVVyyiicVVzziicVVxxiic（48）均质均质(homogeneous)物体的重心位于物体的重心位于物体的几何形心物体的几何形心(centroid of its volume) 。式（式（48）可表示为：）可表示为：VydVyVcVzdVzVcVxdVxVc对平面图形，上式变为：对平面图形，上式变为：AydAyAcAxdAxAc注：注：适用于几何形状规则的物体适用于几何形状规则的物体3. 均质组合形状均质组合形状(Composite Areas

15、)物体物体的重心计算的重心计算（1）对称性法）对称性法重心一定在物体的重心一定在物体的对称轴、对称面、对称中心对称轴、对称面、对称中心上上。（2）组合法（）组合法（the method of composite shape）求图示平面图形的重心。求图示平面图形的重心。iiCiCCCCAAxAAAAxAxAxx321332211iiCiCCCCAAyAAAAyAyAyy321332211（3）负面积法（）负面积法（the method of minus areas）321332211AAAAxAxAxxCCCC321332211AAAAyAyAyyCCCCA三、三、 重心确定的实验方法重心确定的

16、实验方法适用于非均质、形状不规则等一般物体。适用于非均质、形状不规则等一般物体。（1）悬挂法）悬挂法FAPABFBPC注：注：适用于小物体。适用于小物体。三、三、 重心确定的实验方法重心确定的实验方法适用于非均质、形状不规则等一般物体。适用于非均质、形状不规则等一般物体。（2）秤重法）秤重法如：汽车的重心。如：汽车的重心。第一步：第一步：01lPxPCPlPxC1第二步：第二步：P202lPxPCPlPxC2cosllsincoshxxCClHllH22cos,sin22121HlHPPPrzCr为车轮半径为车轮半径。静力学部分小结静力学部分小结一、基本概念与定理一、基本概念与定理力、刚体、平

17、衡、主矢、主矩、力偶、重心等。力、刚体、平衡、主矢、主矩、力偶、重心等。（1）力系等效定理、平衡力系定理。）力系等效定理、平衡力系定理。（2）二力平衡公理、二力合成公理、加减平衡力系公理、作用与）二力平衡公理、二力合成公理、加减平衡力系公理、作用与反作用公理、刚化公理。反作用公理、刚化公理。（3）力的可传性原理、三力平衡汇交定理、合力矩定理。）力的可传性原理、三力平衡汇交定理、合力矩定理。基本定理基本定理基本概念：基本概念：基本量：基本量： 力的投影、平面的力对点之矩、力偶矩、空间的力对轴之矩、力的投影、平面的力对点之矩、力偶矩、空间的力对轴之矩、空间的力对点之矩。（包括：这些量的性质、计算。

18、）空间的力对点之矩。（包括：这些量的性质、计算。）二、力系简化与平衡条件二、力系简化与平衡条件空间空间 一般力系一般力系一个力偶一个力偶一个力一个力iRFFOiOMM简化简化力线平移力线平移合成合成1. 平衡力系平衡力系2. 合力偶合力偶3. 合合 力力4. 力螺旋力螺旋平面平衡条件与平衡方程：平衡条件与平衡方程：平衡条件：平衡条件：0iRFF0OiOMM0 xiF0yiF0ziF0 xiM0yiM0ziM平衡方程：平衡方程：一般力系一般力系空间汇交力系空间汇交力系0 xiF0yiF0ziF空间力偶系空间力偶系0 xiM0yiM0ziM空间平行力系空间平行力系0ziF0 xiM0yiM平面一般

19、力系平面一般力系0 xiF0yiF0OiM平面汇交力系平面汇交力系0 xiF0yiF平面平行力系平面平行力系0yiF0OiM三、平衡条件的应用三、平衡条件的应用1. 各类力系的平衡方程的应用要熟练；各类力系的平衡方程的应用要熟练；尤其是尤其是平面一般力系平衡问题平面一般力系平衡问题（包括具有摩擦的平衡问题）。（包括具有摩擦的平衡问题）。2. 求解的方法步骤：求解的方法步骤：(1) 适当地选取研究对象；适当地选取研究对象；a. 使所取的研究对象上未知量数少于它所具有的独立平衡方程数。使所取的研究对象上未知量数少于它所具有的独立平衡方程数。b. 二力杆不作为研究对象上。二力杆不作为研究对象上。c.

20、 三类问题三类问题中研究对象的选取。中研究对象的选取。(2) 正确地受力分析，画出受力图；正确地受力分析，画出受力图；(2) 正确地受力分析，画出受力图；正确地受力分析，画出受力图；a. 按约束类型（性质）分析约束反力。（按约束类型（性质）分析约束反力。（10种约束类型，特别是种约束类型，特别是平面铰链平面铰链、平面固定端平面固定端的反力分析）的反力分析）b. 每除去一个约束须有相应的反力代替。每除去一个约束须有相应的反力代替。c. 熟练分析二力杆（构件）。熟练分析二力杆（构件）。d. 物体系统受力分析时，注意作用与反作用关系的应用。物体系统受力分析时，注意作用与反作用关系的应用。e. 分布力的等效集中力代替。分布力的等效集中力代替。(3) 适当选取投影坐标轴、矩心（平面问题）、力矩轴（空间问题）；适当选取投影坐标轴、矩心（平面问题）、力矩轴（空间问题）；投投 影影 轴：轴： 使多个未知力的作用线与投影轴平行或垂直。使多个未知力的作用线与投影轴平行或垂直。矩矩 心（平面）：心（平面）：选多个未知力的交点。选多个未知力的交点。力矩轴（空间）：力矩轴（空间）：使多个未知力与其平行或相交。使多个未知力与其平行或相交。(4) 列平衡方程求解；列平衡方程求解；灵活应用平衡方程的其它形式。灵活应用平衡方程的其它形式。四、具有摩擦的平衡问题四、具有摩擦的平衡问题1. 静摩擦