第10章 应力状态理论的基础

1、一 应力状态的概念及其描述二 平面应力状态分析数解法三 平面应力状态分析图解法四 三向应力状态五 广义虎克定律六 三向应力状态下的变形能一 应力状态的概念及其描述1 问题的提出2 应力的三个重要概念3 一点应力状态的描述讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力FAF拉(压):PmaxmaxWM扭转:讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力M中性轴Mmaxmax*bISFzzQ maxmaxWxM讨论基本变形强度问题时的共同特点:危险截面上的危险点只承受正应力或剪应力 对于横截面上既有正应力又有剪应力的一些点如何建立强度条件?这些点

2、强度条件的危险应力如何确定?FPl/2l/2S平面平面4PlFMz 2PF5 54 44 43 33 32 22 21 1 S平面平面1x 12x232PFS平面 5 54 44 43 33 32 22 21 12334PlFMz 为什么钢筋混凝土梁在加载试验过程中,除了在跨中底部会发生竖向裂缝外,其他部位还会发生斜向裂纹?这些问题都要通过应力状态的分析来解决.2.应力状态的三个重要概念(1)应力的面的概念(2)应力的点的概念(3)应力状态的概念轴向拉压轴向拉压同一横截面上各点应力相等：AFFF同一点在斜截面上时：2cos2sin2 此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的

3、，此即应力的面的概念。横截面上正应力分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念zMQF应 力哪一个面上哪一个面上哪一点哪一点？ 哪一点哪一点哪个方向面？哪个方向面？ 过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态。就是研究一点处沿各个不同方位的截面上的应力及其变化规律。3 .一点应力状态的描述0dzdydx,BACFFaaABCABCFPl/2l/2S平面平面4PlFMz 2PF5 54 44 43 33 32 22 21 1 S平面平面1x12x 234PlFMz 2PFS平面平面5 54 44 43 33 32 22 21 12332FPlaS绘图示

4、构件固端S截面上、下、左、右切线点处的应力单元体xzy4321S平面平面SFPyxzMzFQyMx4321143l承受内压、扭转的薄壁圆筒,试从加强肋之间取应力单元体omom DDpxxx0 xF42DpDxpp4pDxlt2t t 0yFlDplt22pDtlomomp22onrM4mpD2tpDlt m p22onrM二 平面应力状态分析 数解法1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力已知受力构件中的应力单元体x yxx y求垂直于xy面的任意斜截面ef上的应力ef公式推导使用的符号规定：角 由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。nx正 应 力yx拉应力为正x压应力为负 yx 使单元体或其

5、局部顺时针方向转动为正；反之为负。公式推导 (1) 面上的应力：ex y fx b ey f nx yyx 0 F 0 nFdAcoscosdAxsincosdAxcossindAysinsindAy0dAsincosdAxcoscosdAxsinsindAycossindAy022cos1cos222cos1sin2yx xy 22cos2yx2sinx 2sin2yx2cosxa 2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx用 斜截面截取，此截面上的应力为2p2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx公式推导 (2) 面上的应力：x yyx xyyx即单元体两

6、个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。即又一次证明了剪应力的互等定理。公式推导 (3) 面上的应力之间的关系：,?maxmin在何处在何处? ? 该处该处?0dd令,0222sin22cosxyx则:022sin22)cos(xyx即:0面上有maxmin在何处?0令022sin2cosxyx得:yxxotg22任意(为方便)令:12otg可发现:正应力极值有两个方面522452.oo51122252.oo相差maxmin90?maxmin将代入式,得2222xyxyx)(maxmin显然,在面上maxmin0omaxmin, 0dd02sin22cos22xyx3 3、= ? = ? 在何处

7、？在何处？ 该处该处=？ 令0)2sin2cos2(2xyxxyxtg220maxmin2sin2cos2200 xyxyx面上的正应力:即:方位:大小: 22maxmin)2(xyx将 代 式,得:04 4、主平面、主应力、主应力的排列、主平面、主应力、主应力的排列主平面：单元体中只有正应力而没有剪应力的平面称为主 平面。主应力：主平面上的正应力称为该点的主应力。主应力的排列：用代数值确定，排列为213321、 、 三向（空间）应力状态1235 5、应力状态的分类：、应力状态的分类：平面（二向）应力状态xyxy单向应力状态纯剪应力状态xyxxy三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态

8、特例特例40MPa30MPa60 一点处的平面应力状态如图所示。已知 ,30,60MPax.30MPaxy试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,40MPay40MPa30MPa60 （1）斜面上的应力2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 9)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58解、解、(1) 斜面上的应力斜面上的应力（2）主应力2yx222xyyx)(maxminMPaMPa3 .48, 0,3 .6832140MPa30MPa6024060 22)30

9、(24060)(MPa348368.主平面的方位：yxxyotg224060302)(6 . 0,.4815o48105904815.o哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：40MPa30MPa60MPa60主应力 的方向：3主应力 的方向：1+MPa30,.515oMPa40+MPa305105.oMPa20MPa10MPa30abc1n xy 222cosyx2sinx23010030060cos23010060sin20MPa32. 2 2sin2yx2cosx03060sin230100060cos20MPa33. 12n230100600120cos230100120sin

10、20MPa32.42060120sin2301000120cos20MPa33. 1006030yxMPa40在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。3060低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。x xy 22cos2yx2sinx2cos22yx 2sin2yx2cosx2sin2x0452045x2045xmax 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑移线，是由最大切应力引起的。 xy 22cos2yx2sinx2sin 2sin2yx2cosx2cos045min045max0450045minmax 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉应力作用面（即450螺旋面）断

11、开的。因此，可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起的。三 平面应力状态分析 图解法1、应力圆方程2222sincos)(xyxyx222cossinxyx2222sincosxyxyx(1)(2)对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用12222cossin消去 和 ，得2sin2cos222222xyxyx)()(3)RxyyxR222)(),(02yxxyR),( 0a 比照解析几何的曲线方程 是一个圆心在(a.0),半径为R的圆，222Ryax )(222222xyxyx)()(则 是个应力圆的方程2.应力圆是个信息源(从力学观点分析）（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应

12、力就一定可以作一个圆，圆周上的各点就是该单元体任意斜截面 上的应力。（2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相互制约在圆周上变化。 在-坐标系中，标定与微元A、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 s 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。 yyxADa( x , x)d( y , y)cR xy 23.应力圆的画法xyx222)(x点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力4、几种对应关系 yyxxcaA),(aa转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。 a yyxxDn dxA2b(y ,y) Oca(x ,

13、x) yyBxAx yyBxAx x xAD odacxyy45x245245beBE（1）对基本变形的应力分析5、应力圆的应用xyBE x x 45oBE 45o 45方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。可见： 45o 45o o a (0, )d(0,- )A ADbec245245 45o BE45（1）对基本变形的应力分析5、应力圆的应用BE BE45 45o 5.应力圆的应用（2）平面应力状态下求任意截面上的应力点面相对应，首先找基准。转向要相同，夹角两倍整。 yyxxn),(E),(xx),(yyE2 x x y y oc2 0adA AD主平面： = 0

14、,与应力圆上和横轴交点对应的面1A1B5、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 x x y yA AD主应力的确定 oc2oad1A1B1oA10cAc 2yxxyyx22)2( 1oB10cBc 2yxxyyx22)2(5、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向主应力排序： oc2 pad12 o13 o235、应力圆的应用(3)平面应力状态下主平面、主应力及主方向 xy x y yxA AD oc2 oad o( x , xy) 主方向的确定yxxy22tan22yxxxytg负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向g5、应力圆的应用(3)平面应力

15、状态下主平面、主应力及主方向对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“ 面内最大切应力”。 max 224212xyyx 5、应力圆的应用（4）面内最大剪应力 oc2 oad1A1B4 . 42 . 2n030ef oadcMPa2 . 5030MPa8 . 003006040MPa30MPa60 例题一点处的平面应力状态如图所示。已知 ,30,60MPax.30MPaxy试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。,40MPayA AD用应力圆解法40MPa30MPa60 o )30,60(b)30,40(acd60) 3 .58,02. 9(MPa3 .681

16、MPa3 .483feo2)0,10(MPaR31.58)23030()2)40(60(226 . 022yxxyptg48.15p解：解：o13主应力单元体：MPaMPa3 .48, 0,3 .68321三向应力状态1.三向应力状态的概念2.三向应力状态的应力圆3.一点处的最大应力 空间应力状态：三个主应力均不为零的应力状态 1 2 3 z x y x y至少有一个主应力及其主方向已知 y x y x z三向应力状态特例的一般情形32II123(1)求平行于1的方向面的应力 、 ,其上之应力与1 无关.于是由2 、3作出应力圆III1 3III2O231(2)求平行于2的方向面的应力、 ,其

17、上之应力与2 无关.于是由1 、3作出应力圆IIIO3III21III213(3)求平行于3的方向面的应力 、 ,其上之应力与3 无关.于是由1 、2作出应力圆 1 2 3(4)一点处任意斜截面上的应力n 、n ,其上之应力与1 、2 、3都有关.在- 平面内,代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上,或位于三个应力圆所构成的区域内.III3III21O一点处最大正应力与最小正应力 由1和3 所作成的最大应力圆可见:1max3minIIIIII Ozyx213(2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力O32 zyx23(2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力zyx131O32 (2)面内最大剪应力与一

18、点处最大剪应力zyx2111O32 (2)面内最大剪应力与一点处最大剪应力Oxyx 221232 231 在三组特殊方向面中都有各自的面在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力内最大切应力, ,即：即：231max一点处最大剪应力 五 广义虎克定律1.横向变形与泊松比2.三向主应力状态的广义虎克定律3.三向一般应力状态的广义虎克定律4.弹性常数 E、G、之间的关系 各向同性材料的广义胡克定律1、横向变形与泊松比（各向同性材料）xExxExxy-泊松比泊松比yx2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法2311223+231231231231122,11E,12EE13,21E ,22E E23 2

19、312313,31E ,32E E33 2312313211E1111 3121E2222 1231E3333 123,321,321即即.,min3max1(2)当 时，即为二向应力状态：03)(1211E)(1122E)(213E)0(3(3)当 时，即为单向应力状态；0, 032即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方向。 x y z xy yx yz zy zx xz 若单元体上作用的不是主应力，而是一般的应力 时，则单元体不仅有线变形 ，而且有角变形 。其应力-应 变关系为： zyxzxyzyx,zyx,zyxzxy,zyxxE1zxyyE1xyzzE1xzxzzyzyxyxy

20、GGG1,1,1yxz3.三向一般应力状态的广义虎克定律 12EG 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知，=0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦可以忽略不计。试求立方体各个面上的正应力。0 x0zAFy202010143MPa35zyxxE100353 . 0zxyxzzE100353 . 0 xzMPazx15kNF14xyz 某点的应力状态如图所示,当x,y,z不变,x增大时,关于x值的说法正确的是_.A.不变B.增大C.减小 D.无法判定y x z x仅与正应力有关，而与切应力无关。所以当切应力增大时，线应变不变。AzyxxE1 一受扭圆轴,

21、直径d=20mm,圆轴的材料为,E=200GPa,=0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450方向的应变为=5.210-4,试求圆轴所承受的扭矩.T045pWE11E1p1163dET3 . 0116210200102 . 5334pNm7 .125 已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45方向测出线应变。现测得轴向应变 ，45方向的应变为 。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比=0.3。试求F和m的值。6010500610400uFmmFkuu45解：解：（1 1）K点处的应力状态分析点处的应力状态分析

22、在在K点取出单元体：点取出单元体：xKxy其横截面上的应力分量为：其横截面上的应力分量为：316DmWmWMppnxp,AFAFNx（2 2）计算外力）计算外力F.由广义胡克定律：由广义胡克定律：zyxxE16010500Ex解得：解得：AFxAE0626910)100(41050010200pKN785（3 3）计算外力偶）计算外力偶m.已知已知zvuuE1610400式中式中, 0z)45(2sin)45(2cos2200 xxxuxx2)45(2sin)45(2cos2200 xxxvxx2xKxyuuuvv由由6104001xxxxE解得：解得：26/106 .34mNxmKNDmx79. 6163p因此因此 六 三向应力状态下的变形能1.体积应变2.体积改变与形状改变43.三向应力状态下的变形比能变形前单元体体积231dxdydzdxdydzVo变形后单元体的各棱边长度将分别变为)(111dxdxdx)(221dydydy)(331dzdzdz变形后单元体体积为)()()(3211111dzdydxV略去二阶