北京邮电大学复变函数第二章

1、第一节第一节 解析函数的概念解析函数的概念第二节第二节 解析函数和调和函数的关系解析函数和调和函数的关系第三节第三节 初等函数初等函数一、复变函数的导数与微分一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念二、解析函数的概念三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件小结与思考小结与思考一、一、 复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.导数与微分的定义导数与微分的定义. )( 0可导可导在在则称则称zzf或或记记作作0dd)(0zzzwzf 某邻域内有定义，某邻域内有定义，在点在点设函数设函数0)(zzfw 仍仍是是该该邻邻域域内内的的点点，zz 0 ).()( 00zfzzfw 令令若若zzf

2、zzfzwzz )()(limlim 0000极限极限存在有限的值存在有限的值A，, )( 0的的导导数数在在点点称称为为极极限限值值zzfA在定义中应注意在定义中应注意:.)0(00的的方方式式是是任任意意的的即即 zzzz.)()(, 0000都都趋趋于于同同一一个个数数比比值值时时以以任任意意方方式式趋趋于于即即zzfzzfzzz 0000()( )( ) lim.zf zzf zwf zzz 可导，可导，在在由定义，若函数由定义，若函数 )( 0zzfw )0( )(0 zzozzfw.)()()( 000的微分的微分在点在点为为称称zzfdzzfzzfdw .)(00可可微微是是等等

3、价价的的可可导导与与在在在在函函数数zzzfw .)(0可微可微在点在点此时也称函数此时也称函数zzfw 显然，显然，则则例例1 .)(2的导数的导数求求zzf 0()( ) limzf zzf zzCz 解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 2( ).f zzz 在在 平平面面上上处处处处可可导导例例2 .Im)(的的可可导导性性讨讨论论zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(时时趋趋于于沿沿实实轴轴方方向向当当 yzzzfzzfzfzz )()(limlim

4、00, 0lim00 yixyyx,0 )0( 时时趋趋于于沿沿虚虚轴轴方方向向当当 xzzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy , 0 极限值不同极限值不同时时沿不同的方向趋于沿不同的方向趋于当当 z .Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导故故zzf 不不存存在在极极限限zfz 0lim所以所以例例 2.可导与连续的关系可导与连续的关系 函数函数 f (z) 在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续, 但但函数函数 f(z) 在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.说明：说明：在复变函数中，在复变函数中

5、，处处连续处处连续但但处处不可导处处不可导的函的函数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数数很多，而在实变函数中，要构造一个这样的函数非常困难非常困难由上例结论，由上例结论， . Im)(在在复复平平面面上上处处处处不不可可导导函函数数zzf 在在复复平平面面上上处处处处连连续续而而yzzf Im)( 3.求导法则求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而因而实变函数中的求导法则都可以不加

6、更改地推广实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来到复变函数中来, 且证明方法也是相同的且证明方法也是相同的.求导公式与法则求导公式与法则: . , 0)()1(为复常数为复常数其中其中cc .,)()2(1为为正正整整数数其其中中nnzznn ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其其中中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函函数数两两个个互互为为反反函函数数的

7、的单单值值是是与与其其中中二、解析函数的概念二、解析函数的概念1. 解析函数的定义解析函数的定义. )( , )(000解解析析在在那那么么称称导导的的邻邻域域内内处处处处可可及及在在如如果果函函数数zzfzzzf).( )( .)( ,)(全纯函数或正则函数全纯函数或正则函数个解析函数个解析函数内的一内的一区域区域是是或称或称内解析内解析区域区域在在则称则称内每一点解析内每一点解析区域区域在在如果函数如果函数DzfDzfDzf. )( )( 上上解解析析在在闭闭区区域域内内解解析析，则则称称在在，且且：闭闭区区域域若若存存在在区区域域DzfGzfGDG z0D根据定义可知根据定义可知:函数在

8、函数在区域内解析区域内解析与在与在区域内可导区域内可导是是等价等价的的.但但是是函数解析是与区域密切相伴的函数解析是与区域密切相伴的,要比可导的要求要高得多要比可导的要求要高得多即函数在即函数在z0点解析点解析函数在函数在一点处解析一点处解析与在与在一点处可导一点处可导不等价不等价函数在函数在z0 0点可导点可导函数函数闭区域上解析闭区域上解析与在与在闭区域上可导闭区域上可导不等价不等价即函数在闭即函数在闭区域上解析区域上解析函数在函数在闭区闭区域上域上可导可导说说明明 . )( )( )( )1(内内解解析析在在除除去去分分母母为为零零的的点点和和、差差、积积、商商的的与与内内解解析析的的两

9、两个个函函数数在在区区域域DzgzfD. )( , )( , . )( , )( )2(内内解解析析在在那那末末复复合合函函数数于于都都属属的的对对应应值值函函数数内内的的每每一一个个点点对对如如果果内内解解析析平平面面上上的的区区域域在在函函数数内内解解析析平平面面上上的的区区域域在在设设函函数数DzgfwGhzgzDGhhfwDzzgh ( (3 3) ) 一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集解析；所有解析点的集合必为开集2. 解析函数的性质解析函数的性质即两个解析函数的复合仍是解析函数即两个解析函数的复合仍是解析函

10、数根据定理可知根据定理可知:(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的所有多项式在复平面内是处处解析的. , )()( )2(它的不解析点它的不解析点使分母为零的点是使分母为零的点是的的零的点的区域内是解析零的点的区域内是解析在不含分母为在不含分母为任何一个有理分式函数任何一个有理分式函数zQzP3. 奇点的定义奇点的定义.)( , )(00的的奇奇点点为为那那么么称称不不解解析析在在如如果果函函数数zfzzzf例例3. 132)( 25域上的导数域上的导数的解析性区域及该区的解析性区域及该区求函数求函数 zzzzf解解 01 2，当当 z , )( 外外处处处处解解析析在在复复平平面面内内除除

11、所所以以izzf . 为为它它的的奇奇点点iz 2时，时，即即iz 不解析不解析函数函数)( zf22524)1(2)32()1)(110()( zzzzzzzf.)1(16106 22246 zzzzz例例4. )( 的的解解析析性性研研究究函函数数zzf 解解zzfzzfzf )()(zzzz .zz , yixz 令令zf .yixyix , 1lim 00 zfyx因因为为, 1lim 00 zfxy . lim 0不不存存在在所所以以zfz . )( 在复平面内处处不解析在复平面内处处不解析因此因此zf通过上述用定义讨论函数的解析性，通过上述用定义讨论函数的解析性，我们深深地体会到：

12、我们深深地体会到：用定义讨论函数的解析用定义讨论函数的解析性绝不是一种好办法！性绝不是一种好办法！任务！任务！三、函数解析的充要条件三、函数解析的充要条件定理一定理一方程）方程）（简称（简称点满足柯西黎曼方程点满足柯西黎曼方程并且在该并且在该可微可微在点在点与与件是件是可导的充要条可导的充要条内一点内一点在在则则内内定义在区域定义在区域设函数设函数RCyxyxvyxuyixzDzfDyxivyxuzf , ),( ),( ),( : )( , ),(),()( 柯西柯西- -黎曼介绍黎曼介绍. , xvyuyvxu 证证(1) 必要性必要性.可可导导内内点点在在设设 , )( yixzDzf

13、. )()()( zozzfzfzzf ,)()( ,viuzfzzfyixz 令令则则 , zoybxau 于是于是 . zoyaxbv , ),( ),( ),( 可可微微在在点点与与由由此此可可知知yxyxvyxu. , xvyub yvxua 且且满满足足方方程程 )( zoyixbiaviu . )()(zoxbyaiybxa .)(biazf 则则(2) 充分性充分性. )()( zfzzf),(),(),(),(yxvyyxxviyxuyyxxu , viu , ),( ),( ),( 可微可微在点在点与与又因为又因为yxyxvyxu , zoyyuxxuu 于于是是 zoyyv

14、xxvv )()( zfzzf因此因此 .zoyyviyuxxvixu viu )()(zfzzf zoyixxvixu )(, , xvyuyvxu 由柯西黎曼方程由柯西黎曼方程 .zozxvixu zzfzzfzfz)()(lim)( 0所所以以.xvixu . ),(),()( 可可导导在在点点即即函函数数yixzyxivyxuzf 证毕证毕 : ),(),()( ,处的导数公式处的导数公式点点在在可得函数可得函数根据定理一根据定理一yixzyxivyxuzf 内内解解析析的的充充要要条条件件函函数数在在区区域域 D. , ),( ),( : ),(),()( 程程并且满足柯西黎曼方并且

15、满足柯西黎曼方内可微内可微在在与与内解析的充要条件是内解析的充要条件是域域在其定义在其定义函数函数定理二定理二DyxvyxuDyxivyxuzf ( ).uvvvfziixxyxuuvuiixyyy 解析函数的判定方法解析函数的判定方法: :. )( , )( )1(内内是是解解析析的的在在解解析析函函数数的的定定义义断断定定则则可可根根据据内内处处处处存存在在的的导导数数在在区区域域数数导导法法则则证证实实复复变变函函如如果果能能用用求求导导公公式式与与求求DzfDzf. )( , ) , ( , )( 2)(内内解解析析在在条条件件可可以以断断定定要要那那么么根根据据解解析析函函数数的的充

16、充方方程程并并满满足足可可微微因因而而、连连续续的的各各一一阶阶偏偏导导数数都都存存在在内内在在中中如如果果复复变变函函数数DzfRCvuDvuivuzf 例例5 . 0 0 )( 不不可可导导西西黎黎曼曼方方程程但但在在点点满满足足柯柯在在点点证证明明函函数数 zzxyzf证证, )( xyzf 因为因为0, , vxyu所所以以0)0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0 xuxuuxx),0 , 0(yv 0)0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0 yuyuuyy),0 , 0(xv 0 0 . 0 成立成立柯西黎曼方程在点柯西黎曼方程在点 z注：注：CR方程是函数可导的必要条

17、件而非充分条方程是函数可导的必要条件而非充分条件件 , 趋于零时趋于零时沿第一象限内的射线沿第一象限内的射线但当但当kxyz 0)0()( zfzf iyxxy ,1ikk , 变化变化随随 k , 0)0()(lim 0不不存存在在故故 zfzfz . 0 )( 不可导不可导在点在点函数函数 zxyzf例例6 判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导, 在何处解析在何处解析:.Re)3();sin(cos)()2(;)1(2zzwyiyezfzwx 解解,)1(222yxzw , 0,22 vyxu. 0, 0,2,2 yvxvyyuxxu 四个偏导数在复平面上处处连续，但只在四个偏导数

18、在复平面上处处连续，但只在z=0满足满足CR方程，方程， ,0 2处处可可导导仅仅在在故故函函数数 zzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析且且0)( zf)sin(cos)()2(yiyezfx ,sin,cosyevyeuxx ,sin,cosyeyuyexuxx ,cos,sinyeyvyexvxx . , xvyuyvxu 即即四个偏导数四个偏导数均连续均连续 . ,)(处处解析处处解析在复平面内处处可导在复平面内处处可导故故zf).()sin(cos)(zfyiyezfx 且且指数函数指数函数zzwRe)3( ,2xyix ,2xyvxu ., 0,2xyvyxvyuxxu

19、 四个偏导数均连续四个偏导数均连续 , , 0 满满足足柯柯西西黎黎曼曼方方程程时时仅仅当当 yx ,0 Re处可导处可导仅在仅在故函数故函数 zzzw .在在复复平平面面内内处处处处不不解解析析且且0)( zf例例7 .)( 2在在复复平平面面上上不不解解析析证证明明iyxzf 证证, 2yvxu 因因为为. 1, 0, 0,2 yvxvyuxxu ,21 )(上上可可导导仅仅在在直直线线故故函函数数 xzf .在复平面上不解析在复平面上不解析要使要使CR方程成立，则有方程成立，则有, 12 yvxux.21 x即即例例8 解解? )( , , , , ),()( 2222解析解析在复平面内

20、处处在复平面内处处取何值时取何值时问常数问常数设设zfdcbaydxycxibyaxyxzf ,2ydxyv ,2ayxxu ,2byaxyu ,2dycxxv , , xvyuyvxu 欲使欲使 ayx2,2ydx ,2byax dycx2. 2 , 1 , 1 , 2 dcba所所求求课堂练习课堂练习. , , , )( 2323的值的值试确定试确定函数函数为解析为解析设设nmllxyxiynxmy 答案答案. 1, 3 mnl证证xvixuzf )(, 0 yuiyv, 0 xvyuyvxu故故 , , 常常数数常常数数所所以以 vu . )( 内内为为一一常常数数在在区区域域因因此此D

21、zf内内为为一一常常数数在在区区域域内内处处处处为为零零，则则在在区区域域如如果果例例DzfDzf)( )( 9 参照以上例题可进一步证明参照以上例题可进一步证明: . , )( 则以下条件彼此等价则以下条件彼此等价内解析内解析在区域在区域如果如果Dzf ; )( )1(为为常常数数zf; 0)()2( zf ;)( )3(常数常数 zf ;)( )4(解析解析zf ;)(Re )5(常数常数 zf ;)(Im )6(常数常数 zf;)7(2uv .)( arg )8(常数常数 zf . )9(为为不不全全为为零零的的实实常常数数），（cbacbvau 小结与思考小结与思考 理解复变函数导数与

22、微分以及解析函数的概念理解复变函数导数与微分以及解析函数的概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法掌握连续、可导、解析之间的关系以及求导方法. 注意注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数的复变函数的导数定义与一元实变函数的导数定义在形式上完全一样导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求导公式它们的一些求导公式与求导法则也一样与求导法则也一样, 然而复变函数极限存在要求与然而复变函数极限存在要求与z 趋于零的方式无关趋于零的方式无关, 这表明它在一点可导的条件这表明它在一点可导的条件比实变函数严格得多比实变函数严格得多. 在本课中还得到了一个重要结论在本课中还得到了一个重要结论函数解

23、析函数解析的充要条件的充要条件:黎黎曼曼方方程程并并且且满满足足柯柯西西内内可可微微在在与与 , ),( ),(Dyxvyxu. , xvyuyvxu 掌握并能灵活应用柯西掌握并能灵活应用柯西黎曼方程黎曼方程.思考题思考题? ),(),()( )2(解解析析时时应应注注意意什什么么用用柯柯西西黎黎曼曼条条件件判判断断yxivyxuzf ? )( )1(00解解析析有有无无区区别别可可导导与与在在在在点点复复变变函函数数zzzf思考题答案思考题答案 , )()1(00可导可导解析必在解析必在在点在点zzzf反之不对反之不对. , 0 )( 02处处可可导导在在例例如如 zzzf . 0 0处不解

24、析处不解析但在但在 z ; ),( ),( )2(内内是是否否可可微微在在和和首首先先判判断断Dyxvyxu; , :R-Cxvyuyvxu 条条件件其其次次再再看看是是否否满满足足 . )( 的解析性的解析性最后判定最后判定zf课间休息课间休息柯西资料柯西资料 Augustin-Louis CauchyBorn: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France 柯西柯西 1789 年年8月月21日出生于巴黎。父亲是一位精通日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉

25、格朗日和拉古典文学的律师，与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗位大数学的赞赏，并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使日的建议下，其父亲加强了对柯西文学素质的培养，使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。 18051810年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以年，柯西考入巴黎理工学校，两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业时获该校第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取，毕业

26、时获该校会考大奖。会考大奖。1810年成为工程师。年成为工程师。1815年获科学院数学大年获科学院数学大奖，奖，1816年年3月被任命为巴黎科学院院士，同年月被任命为巴黎科学院院士，同年9月，被月，被任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。任命为巴黎理工学校分析学和力学教授。 柯西一生撰写的数学论著有柯西一生撰写的数学论著有800800多种，他是多种，他是19 19 个科学院个科学院或著名学术团体的成员。或著名学术团体的成员。18381838年他还被授予男爵封号。他在年他还被授予男爵封号。他在学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分学术上的贡献涉及到分析学、复变函数论、弹性力学、微分方

27、程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几方程、群论、行列式、数论、解析几何、数值分析、微分几何、光学、天体力学等学科或学科分支。何、光学、天体力学等学科或学科分支。 柯西一生最大的错误是柯西一生最大的错误是“失落失落”了才华出众的年轻数学家了才华出众的年轻数学家伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半伽罗华与阿贝尔的开创性的论文手稿，致使群论晚问世近半个世纪。个世纪。 18571857年年5 5月月2323日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言：日柯西病逝于巴黎。他的临终遗言： “ “人总是要死的，但他们的业绩永存。人总是要死的，但他们的业绩永存。” ” 黎曼资料黎曼资料 Rie

28、mannBorn: 17 Sept 1826 in Breselenz, Hanover ( Germany)Died: 20 July 1866 in Selasca, Italy 黎曼于年出生在德国的一个农村！岁到哥黎曼于年出生在德国的一个农村！岁到哥廷根大学读书，成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在廷根大学读书，成为高斯晚年的一名高才生。哥廷根大学在后来的多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后来的多年里一直是世界数学的研究中心。黎曼毕业后留校任教。因长年的贫困和劳累，黎曼在后留校任教。因长年的贫困和劳累，黎曼在1862年婚后不到年婚后不到一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部

29、分时间在一个月就开始患胸膜炎和肺结核，其后四年的大部分时间在意大利治病疗养。意大利治病疗养。1866年年7月月20日病逝于意大利，终年日病逝于意大利，终年39岁。岁。 黎曼的一生是短暂的，不到黎曼的一生是短暂的，不到40个年头。他没有时间获得个年头。他没有时间获得象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和象欧拉和柯西那么多的数学成果。但他的工作的优异质量和深刻的洞察能力令世人惊叹。尽管牛顿和莱布尼兹发现了微深刻的洞察能力令世人惊叹。尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积积分，并且给出了定积分的论述，但目前教科书中有关定积分的现代化定义是由黎曼给

30、出的。为纪念他，人们把积分和分的现代化定义是由黎曼给出的。为纪念他，人们把积分和称为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。称为黎曼和，把定积分称为黎曼积分。 黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。黎曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创曼在其短暂的一生中为数学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 黎曼的工作直接影响了黎曼的工作直接影响了19世纪后半期的数学发展

31、，许多世纪后半期的数学发展，许多杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影杰出的数学家重新论证黎曼断言过的定理，在黎曼思想的影响下数学许多分支取得了辉煌成就。对于他的贡献，人们是响下数学许多分支取得了辉煌成就。对于他的贡献，人们是这样评价的：这样评价的：“黎曼把数学向前推进了几代人的时间黎曼把数学向前推进了几代人的时间”。 一、调和函数的定义一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系小结与思考小结与思考三、求已知实部或虚部的解析函数三、求已知实部或虚部的解析函数一、调和函数的定义一、调和函数的定义并并且且满满足足拉拉普普拉拉斯斯方方程程有有二二阶阶连连

32、续续偏偏导导数数内内具具在在区区域域如如果果二二元元实实变变函函数数 , ),( Dyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.拉普拉斯拉普拉斯2222xy 称为称为Laplace算子算子注：注：. ),( 内内的的调调和和函函数数为为区区域域那那么么称称Dyx 0, 2222 yx 二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证 ,)( 内内的的

33、一一个个解解析析函函数数为为设设Divuzfw . , xvyuyvxu 根据解析函数高阶导数定理（第三章第四节）根据解析函数高阶导数定理（第三章第四节）, . 数数具具有有任任意意阶阶的的连连续续偏偏导导与与vu则满足则满足CR方程方程, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而. 0 2222 yvxv同理同理 . 都都是是调调和和函函数数与与因因此此vu证毕证毕例如例如:设设 f(z)=x-iy,则则u(x,y),v(x,y)都是都是z平面上的平面上的调和函数调和函数,但但f(z)=x-iy在在z平面上处处不解析平面上处处不解析.注：定理反之不正确; , 222222yxvy

34、uxyvxu 从从而而xvyuyvxu , 方程方程内的调和函数，且满足内的调和函数，且满足为区域在为区域在设设RCDyxvyxu ),(),( 2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义 函数函数 f( (z) )在区域在区域D内的解析的充要条件为虚部为内的解析的充要条件为虚部为实部的共轭调和函数实部的共轭调和函数. . , xvyuyvxu .的共轭调和函数的共轭调和函数为为则称则称uv 显然，由函数解析的充要条件得：显然，由函数解析的充要条件得： 定理定理思考题思考题可以交换次序？可以交换次序？是否是否中中的共轭调和函数”，其的共轭调和函数”，其是是“vuuv, (1)调调和和函函数数是

35、是什什么么？的的共共轭轭的的共共轭轭调调和和函函数数，那那么么是是如如果果vuv (2)不不能能交交换换次次序序）（ 1. , yvxu 例如：设例如：设. (2)uvuv 调调和和函函数数是是的的共共轭轭的的共共轭轭调调和和函函数数，那那么么是是如如果果解答解答三、求已知实部或虚部的解析函数三、求已知实部或虚部的解析函数1. 偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数作为解析函数的实部如果已知一个调和函数作为解析函数的实部 u（或虚部（或虚部v）, 那么就可以利用那么就可以利用CR方程求得它方程求得它的虚部的虚部v （或实部（或实部u ）, 这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1

36、. , 数数和和由由它它们们构构成成的的解解析析函函共共轭轭调调和和函函数数并并求求其其为为调调和和函函数数证证明明),(3),(23yxvyxyyxu ,6 xyxu 因为因为,6 22yxu ,33 22xyyu ,6 22yyu , 0 2222 yuxu于于是是 . ),( 为调和函数为调和函数故故yxu,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(32xgxy ),(32xgyxv yuxv 又因为又因为,3322xy )(32xgy ,3322xy xxxgd3)( 2故故,3Cx )为任意常数为任意常数C(,3),(23Cxyxyxv 得解析函数得解析函数).3(3)(2323

37、Cxyxiyxyzf 这个函数可以化为这个函数可以化为).()(3Czizf 答案答案课堂练习课堂练习. , 236),( 3223并求其共轭调和函数并求其共轭调和函数调和函数调和函数为为证明证明yxyyxxyxu .263),(3322Cxyxyyxyxv ) 为任意常数为任意常数C(例例2 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求求一一解解析析函函数数和和函函数数为为调调已已知知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xy

38、xyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxex , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)(Cyyg 故故,)sincos(Cyxyyyxeux 于于是是,)1(Czizez ivuzf )(Ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1( , 0)0( f由由, 0 C 得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz Cdyyvdxxvyxvyxyx ),(),(00),( dyyvdxxvdv 由于由于2. 曲线积分法曲线积分法.),(00为为任任意意实实常常数数

39、内内一一定定点点，为为其其中中CDyx由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式右端由平面上曲线积分与路径无关的等价条件，上式右端的曲线积分与路径无关的曲线积分与路径无关 如果已知一个单连通区域如果已知一个单连通区域D内的调和函数内的调和函数u作为作为解析函数的实部解析函数的实部, 那么也可以利用那么也可以利用曲线积分曲线积分求得它的求得它的虚部虚部v .dyxudxyuRC .),(),(00Cdyxudxyuyxyx ），可取为原点（可取为原点（包含原点，包含原点，特别，若特别，若00),(00yxD ，也也可可求求出出实实部部类类似似地地，若若已已知知虚虚部部),(),(yxuyxv.)

40、,(),(00Cdyxvdxyvyxyx Cdyyudxxuyxuyxyx ),(),(00),( dyyudxxudu 由由,dyxvdxyvRC yx0y0 x以上各曲线积分可采取两种简单以上各曲线积分可采取两种简单的积分路径（如右图）的积分路径（如右图）说明：说明：解解例例 用曲线积分法求解例用曲线积分法求解例1中的解析函数中的解析函数 .3),( 23yxyyxu 实实部部).(zfCxydydxxyyx 633(),()0,0(22) )3(3)(2323Cxyxiyxyzf ).(3Czi yox),(yx)0 ,(xCdyyvdxxvyxvyx ),()0,0(),( Cdyxu

41、dxyuyx ),()0,0( xyCxydydxx00263 3 .23Cxyx 例例).( 1)( , )( , . , 22zfifivuzfvkyxuk的的并并求求为为解解析析函函数数使使再再求求为为调调和和函函数数使使值值求求 解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得, 1 k,2 xxu 因为因为, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu Cxdydxyyxvyx 2)2(),( ),()0,0(,)2()(222iCzCxyiyxzf , 1)( if由由 , 0 C得得.2)(222zxyiyxzf CxyCxdyy 2200小结与思考小结与思考 本节学习了调和

42、函数的概念、解析函数与调本节学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念和函数的关系以及共轭调和函数的概念.应应注意注意的是的是: 1. 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数. 2. 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数, u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.拉普拉斯资料拉普拉斯资料 Pierre-Simon LaplaceBorn: 23 March 1749 in Normandy, FranceDied: 5 Ma

43、rch 1827 in Paris, France 拉普拉斯，法国著名的数学家、力学家和天文学家。拉普拉斯，法国著名的数学家、力学家和天文学家。拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创拉普拉斯是天体力学的主要奠基人，是天体演化学的创立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。立者之一，是分析概率论的创始人，是应用数学的先躯。他发表的天文学、数学和物理学的论文有他发表的天文学、数学和物理学的论文有270多篇，专多篇，专著合计有著合计有4006多页，被誉为法国的牛顿。多页，被誉为法国的牛顿。 拉普拉斯于拉普拉斯于17491749年年3 3月月2323日出生于法国诺曼底博蒙日出生于法国

44、诺曼底博蒙的一个农场主家中。他从青年时期就显示出卓越的数学的一个农场主家中。他从青年时期就显示出卓越的数学才能，才能，1818岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作。于是带岁时离家赴巴黎，决定从事数学工作。于是带着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后着一封推荐信去找当时法国著名学者达朗贝尔，但被后者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达者拒绝接见。拉普拉斯就寄去一篇力学方面的论文给达朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得朗贝尔。这篇论文出色至极，以至达朗贝尔忽然高兴得要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。要当他的教父，并使拉普拉斯被推荐到军事学校教书。 由于有年

45、轻时吃了达朗贝尔的闭门羹的经历，拉普拉斯由于有年轻时吃了达朗贝尔的闭门羹的经历，拉普拉斯在自己身处高位之后，对于年轻的学者总是乐于慷慨帮助和在自己身处高位之后，对于年轻的学者总是乐于慷慨帮助和鼓励关照，他时时帮助提拔像化学家盖吕萨克、数学物理学鼓励关照，他时时帮助提拔像化学家盖吕萨克、数学物理学家泊松和年轻的柯西等等。家泊松和年轻的柯西等等。 拉普拉斯和当时的拉格朗日、勒让德并称为法国的拉普拉斯和当时的拉格朗日、勒让德并称为法国的3L3L，为十九世纪初数学界的泰斗。为十九世纪初数学界的泰斗。 平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理 设设D 是单连通域是单连

46、通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 一、指数函数一、指数函数二、对数函数二、对数函数四、三角函数与双曲函数四、三角

47、函数与双曲函数三、幂函数三、幂函数五、反三角函数与反双曲函数五、反三角函数与反双曲函数小结与思考小结与思考这里的这里的ex是是实指数函数实指数函数一、指数函数一、指数函数(cossin )zx iyxeeeyiy exp(cossin )xzeyiy 也也可可表表示示为为 1.指数函数的定义指数函数的定义:z将将此此函函数数称称为为复复变变数数 的的指指数数函函数数. .定义定义 对于任何复数对于任何复数z=x+iy,规定规定 , . (cossin )zxeeyiy 注注意意没没有有幂幂的的意意义义 只只是是一一个个符符号号代代表表实的正实的正余弦函数余弦函数复指数函复指数函数与实指数与实指

48、数函数保数函数保持一致持一致.2. 指数函数的性质指数函数的性质不存在不存在极限极限 lim )6(zze ；且且在在复复平平面面内内处处处处解解析析，）（zzzeee )( 3；加加法法定定理理2121 )4(zzzzeee ；时时，即即当当xezfRxzz )( 0Im )1(, 2xzee ）（),( 2)( ZkykeArgz ; 0 ze为为周周期期的的函函数数是是以以), 2, 1(2 )5( kikez (1) 证明加法定理证明加法定理1212()zzzzeee 证证 , , 222111iyxziyxz 设设12zzee左左端端121122(cossin) (cossin)xx

49、eyiyeyiy )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121yyiyyexx 12(). zze 右右端端几点说明：几点说明：加法定理不能利用实数中的同加法定理不能利用实数中的同底数幂的乘法法则予以证明底数幂的乘法法则予以证明不存在的说明不存在的说明极限极限 lim )2(zze 是周期函数的说明是周期函数的说明ze )3(；，有有数数由由加加法法定定理理，对对任任意意复复ikzikzeeez 22 ，有有数数由由欧欧拉拉公公式式，对对任任意意整整k. 2zikzeez ，有，有从而对任意复数从而对任意

50、复数为为周周期期的的函函数数是是以以所所以以), 2, 1(2 kikez ；1)2sin()2cos(2 kikeik因为：因为：；时时，沿沿实实轴轴趋趋向向于于当当 zez时时，沿沿实实轴轴趋趋向向于于当当0 zez例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解解)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实实部部所所以以其其模模zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,22

51、22yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 例例2 解解求出下列复数的辐角主值求出下列复数的辐角主值:.)4(;)3(;)2(;)1(4343322iiiieeee )sin(cos 的辐角的辐角因为因为yiyeeexiyxz )(2Arg为为整整数数kkyez .,(- arg 内内的的一一个个辐辐角角为为区区间间其其辐辐角角主主值值 ze)1( ,21Arg2 kei; 1arg2 ie)2( ,23Arg32 kei; 3arg32 ie ,24 Arg(3)43 kei ;24arg43 ie ,24 Arg(4)43 kei ;24arg43 ie二、二、 对

52、数函数对数函数1. 定义定义说明：说明：2.计算公式计算公式，称称为为对对数数函函数数的的函函数数满满足足方方程程)()0( zfwzzew 记记作作：Lnzw ivuwrezi , 令令.的的反反函函数数是是指指数数函函数数对对数数函函数数wezLnzw )(2,Zkkvreu Argzvru , lniArgzrLnzw ln.lniArgzzLnzw zeLnzww iivuree 由于由于Argz的多值性导致的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷是一个具有无穷多值的多值函数多值的多值函数规定：规定：为对数函数为对数函数Lnz的主值的主值于是：于是：.lniArgzzLnzw zizzar

53、glnln )( 2lnZkikzLnzw . Ln , , 的的一一个个分分支支称称为为上上式式确确定定一一个个单单值值函函数数对对于于每每一一个个固固定定的的zk.,lnln Ln , 0 是是实实变变数数对对数数函函数数的的主主值值时时当当xzzxz 特殊地特殊地, 例例3 解解 . )1(Ln , 2Ln 以以及及与与它它们们相相应应的的主主值值求求 ,22ln2Ln ik 因因为为 ln2. Ln2 的的主主值值就就是是所所以以)1(Arg1ln)1(Ln i因因为为 )()12(为为整整数数kik . 1)Ln( i 的的主主值值就就是是所所以以注意注意: 在实变函数中在实变函数中

54、, 负数无对数负数无对数, 而复变数对而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数函数是实变数对数函数的拓广.例例4解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因因为为)31(Ln iz 所以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k例例5解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求求下下列列各各式式的的值值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1

55、, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki233arctan32ln. 对数函数的性质对数函数的性质,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 说明说明两端都是无穷多个数构成的两个数集两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的对于左端的任一值任一值, 右端必有值与它相对应反之也成右端必有值与它相对应反之也成立立由于对数函数的多值性由于对数函数的

56、多值性, 对性质对性质(1)和和(2),证证 (3) , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,处处处处连连续续在在复复平平面面内内其其它它点点除除原原点点与与负负实实轴轴所所以以z , ln arg是是单单值值的的内内的的反反函函数数在在区区域域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z 三、幂函数三、幂函数1. 幂函数的定义幂函数的定义 , , 0 定义为定义为函数函数幂幂为复常数为复常数设设 zwz 注意注意: :一一般般也也是是多多值值函函数数是是多多值值的的，因因而而幂幂函函数数由由于于LnzezwiArgzzz lnL

57、n zezLn 时，时，为正实数且为正实数且规定：规定：00 zz, 2lnikzee . 是单值的是单值的幂函数幂函数 zw ,0) ,( )2(时时为为互互质质的的整整数数与与为为有有理理数数当当 qqpqp iqpkikee 2 2 , 个个值值具具有有 qz .1, 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk , )1(时时为为整整数数当当n Ln zez ikze 2ln , )3(有有无无穷穷多多值值为为无无理理数数或或虚虚数数时时当当z ,2sin2cosqpkiqpk , 1 2 2 iknikee 由对数函数的定义，由对数函数的定义，), 2, 1, 0( k例例

58、6 6 . 1 2的的值值和和求求ii解解Ln1221e ike 22 )22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其其中中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其其中中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计计算算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik例例7 7 . 2 1的值及其主值的值及其主值求求i 解解2Ln)1(12iie )22(ln)22(ln kike ., 2, 1, 0 k其其中中) 2ln2)(1(ikie )22sin(ln)22cos(ln 22ln kikek )2sin(ln)

59、2cos(ln2 2iek )2sin(ln)2cos(ln2 0ik 时时，得得其其主主值值为为例例8 8 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其其中中)1(Arg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的的辐辐角角的的主主值值为为故故ii 2. 幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz内是解析的内是解析的, ,) ( (2) 函函数数是是一一个个多多

60、值值情情况况外外除除去去幂幂函函数数nzw .)(1 zz它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面各个分支在除去原点和负实轴的复平面四、三角函数和双曲函数四、三角函数和双曲函数1.正弦与余弦函数正弦与余弦函数,sincos yiyeiy 因为因为,sincos yiyeiy 将两式相加与相减将两式相加与相减, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况数取复值的情况. cos,2izizeez 余余弦弦函函数数为为: : s2in.izizeeiz 正正弦弦函函数数为为定义定义 对