第九讲 数据插值与拟合

1、第九讲第九讲 曲线拟合与插值曲线拟合与插值在工程实践和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据 niyxii, 1 , 0),(揭示自变量x与因变量y之间的关系， 一般可以用一个近似的函数关系式yf（x）来表示 通常可以采用两种方法：曲线拟合和插值 拟合主要是考虑到观测数据受随机误差的影响，寻求整体误差最小、较好反映观测数据的近似函数，并不保证所得到的函数一定满足 )(iixfy 曲线拟合的目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索 插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均插值在工程实践和科学实验中有着非常广泛而又十分重要的应用，例如，

2、信息技术中的图像重建、图像放大中为避免图像的扭曲失真的插值补点、建筑工程的外观设计。化学工程实验数据与模型的分析、天文观测数据、地理信息数据的处理如(天气预报）以及社会经济现象的统计分析等等插值则要求函数在每个观测点处一定要满足 )(iixfy 1、船在该海域会搁浅吗船在该海域会搁浅吗 在某海域测得一些点(x，y)处的水深z（单位：英尺）由下表给出，水深数据是在低潮时测得的船的吃水深度为5英尺，问在矩形区域(75,200)*(-50，150）里的哪些地方船要避免进人 一、实例及其模型分析分析由于测量点是散乱分布的，先在平面上作出测量点的分布图，再利用二维插值方法补充一些点的水深，然后作出海底曲

3、面图和等高线图，并求出水深小于5的海域范围在化学反应中，为研究某化合物的浓度随时间的变化规律，测得一组数据如表2、浓度的变化规律、浓度的变化规律表中的数据反映了浓度随时间变化的函数关系，它是一种离散关系若需要推断20，40分钟时的浓度值，能否用一个显函数y=f(t)来拟合表中的离散数据，然后再计算浓度值f(20), f（40）?问题分析问题分析（1）首先将这些离散数据分布在直角坐标系下，由此可发现浓度与时间之间呈现什么规律这种数据分布在直角坐标系下的图形被称为散点图；（2）根据散点图，判段它接近于哪类函数曲线， 即确定函数形式（3）函数形式确定以后，关键是要确定函数中含有的 待定参数。 最常用

4、的确定待定系数的方法是，曲线拟合的最小二乘法 二、二、 插值与拟合插值与拟合1、插值方法、插值方法（1）分段线性插值）分段线性插值分段线性插值的提法如下： （2）分段三次埃尔米特插值分段三次埃尔米特插值 在插值问题中，如果除了插值节点的函数值给定外，还要求在节点的导数值为给定值，即插值问题变为相当于在每一小段上应满足四个条件（方程），可以确定四个待定参数三次多项式正好有四个系数，所以可以考虑用三次多项式函数作为插值函数，这就是分段三分段三次埃尔米特插值次埃尔米特插值，它与分段线性插值一起都称为分段多项式插值 （3）三次样条插值）三次样条插值 2、曲线拟合的最小二乘法、曲线拟合的最小二乘法给定平

5、面上的点, 2 , 1),(niyxi进行曲线拟合有多种方法，最小二乘法是解决曲线拟合最常用的一种方法 最小二乘法的原理是求f(x),使 niiiniiyxf1212)(达到最小简单地说，最小二乘法准则就是使所有散点到曲线的距离平方和最小 线性最小二乘法线性最小二乘法拟合函数可由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等） )(,),(),(10 xxxn来线性表示)()()()(1100 xcxcxcxfmm现在要确定系数 ,10mccc使达到极小为此 三、插值的matlab实现MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为 ) ,( 1intmethodxiyxerpyi 其中

6、x，y为插值点，yi为在被插值点xi处的插值结果，x, y为向量。 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 linearsplinecubicnearestmethod) ,( 1intmethodxiyxerpyi MATLAB提供的插值方法有几种 表示采用的插值方法：分段线性插值pchip：三次Hermite插值（立方插值）：三次分段样条插值：最近点等值方式缺省时表示线性插值 例例1 在一 天24小时内，从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分别为 12，9，9，1，0，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，推测中午（即13点）时的温度x=0

7、：2：24；y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13；x113 ；y1interp1（x，y，x1，spline）若要得到一天24小时的温度曲线 x=0：2：24；y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13xi0：13600：24；yi=interp1(x,y,xi,spline );plot(x, y, o, xi, yi)2、高维插值、高维插值 N维插值函数interpN（） 其中N可以为2，3，如N2为二维插值，调用格式为) ,(2intmethodyixizyxerpzi 其中 x，y，z为插值节点，zi为被插值点(

8、xi，yi)处的插值结果 且， xi， yi为被插值节点构成的新的网格数据methods代表的意思和可选择的插值方法和前面一样注意：注意：所有的插值方法都要求x和y是单调的网格，x和 y可以是等距的也可以是不等距的 (1) 网格数据插值问题例例2 气旋变化情况的可视化下表是气象学家测量得到的气象资料，它们分别表示在南半球地时按不同纬度。不同月份的平均气旋数字根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图形y=5:10:85;x=1:12;x,y=meshgrid(x,y);plot(x,y,*);pausez=2.4,1.6,2.4,3.2,1.0,0.5,0.4,0.2,0.5,0.8,2.4,3.6;

9、 18.7 21.4 16.2 9.2 2.8 1.7 1.4 2.4 5.8 9.2 10.3 16; 20.8 18.5 18.2 16.6 12.9 10.1 8.3 11.2 12.5 21.1 23.9 25.5; 22.1 20.1 20.5 25.1 29.2 32.6 33.0 31.0 28.6 32.0 28.1 25.6; 37.3 28.8 27.8 37.2 40.3 41.7 46.2 39.9 35.9 40.3 38.2 43.4; 48.2 36.6 35.5 40 37.6 35.4 35 34.7 35.7 39.5 40 41.9; 25.6 24.2

10、25.5 24.6 21.1 22.2 20.2 21.2 22.6 28.5 25.3 24.3; 5.3 5.3 5.4 4.9 4.9 7.1 5.3 7.3 7 8.6 6.3 6.6; 0.3,0,0,0.3,0,0,0.1,0.2,0.3,0,0.1,0.3;figuresurf(x,y,z)pausexi,yi=meshgrid(1:12,5:1:85);zi=interp2(x,y,z,xi,yi,spline );figuremesh(xi,yi,zi)xlabel(月份),ylabel(纬度),zlabel(气旋),axis(0 12 0 90 0 50)title(南半球

11、气旋可视化图形)（2）、一般二维分布的数据插值）、一般二维分布的数据插值 在实际应用问题中，大部分的数据以实测的多组（xi,yi,zi）给出，所以不能直接使用interp2（）函数。 Matlab中提供了另一个函数griddata( )，用来专门解决这类问题。其调用格式如下Z=griddata(x,y,z,x0,y0,method)x,y,z是已知样本点的坐标，可以是任意分布的。X0,y0是期望的插值位置，即被插值节点, 可以是单点，向量或者网格型矩阵插值方法，除了上面的 方法外，还有一个是4.0版本提供的一个插值方法，选项为v4四、曲线拟合的四、曲线拟合的matlab实现实现1、已知函数原型

12、的、已知函数原型的（1）多项式拟合）多项式拟合假设已知函数原型为 11nnnaxaxayMatlab提供的拟合函数为 a=polyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多项式的最高阶数，xdata，ydata为将要拟合的数据，它是用数组的方式输入 输出参数a为拟合多项式 的系数,11nnaaaa 注：注：多项式在x处的值y可用下面程序计算 y=polyval(a,x)T=19.1 25.0 30.1 36.0 40.0 45.1 50.0;R=76.30 77.80 79.25 80.80 82.35 83.90 85.10;PR=polyfit(T,R,1);t=10:60;r=po

13、lyval(PR,t);plot(T,R,*,t,r)解：Matlab程序（2）一般函数线性组合的曲线拟合）一般函数线性组合的曲线拟合假设已知函数原型为 )()()()(1100 xcxcxcxfmm通过求解线性方程可得待定系数，一般方法：X= %已知数据x的列向量Y= %已知数据y的列向量A=f1(X),f2(X),fm(X) %系数矩阵，fm（）为基函数c=Ay解：matlab程序X=0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6Y=2 2.20254 2.40715 2.61592 2.83096 3.05448 3.28876A=ones(size(X),exp(X),exp(-X

14、);c1=AY;C=c1x=0:0.05:1;y=C(1)+C(2)*exp(x)+C(3)*exp(-x);plot(X,Y,*,x,y)（3）一般的曲线拟合）一般的曲线拟合假设已知函数原型是一般的函数，可以是多项式，可以是线性，也可以是非线性的，一般情况下用这个来求解非线性情况 Matlab在优化工具箱中提供的求解一般的曲线拟合函数lsqcurvefit(),其调用格式如下其中Fun表示函数Fun(p,data)的M函数文件，p0表示函数的初值.。p=lsqcurvefit(Fun,p0,xdata,ydata)注：若要求解点x处的函数值可用程序f=Fun(p,x)计算 (1)函数原型m文

15、件function y=fname(a,t)y=a(1)*exp(-a(2)*t);注：注：因为后面可能要用到计算函数在一些点上的值，因此写函数原型表达式时，记得用点运算点运算tk=0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8;Ik=3.16 2.38 1.75 1.34 1.00 0.74 0.56;a=lsqcurvefit(fname,1,1,tk,Ik)x=0:0.05:1;y=fname(a,x);plot(tk,Ik,*,x,y)运行结果：a = 5.6361 2.8906(2)拟合程序2、函数原型未知、函数原型未知已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢？可以根据散点图进行直观判断，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后观察哪条曲线的最小二乘指标最小。图(a)，数据接近于直线，故宜采用线性函数y=a+bx拟合； 解解：先将表中的数据用曲线表示X=1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6487 1.8221 2.0138 2.2255 2.4596 2.7183 3.6693;Y=0.6795 0.6006 0.5309 0.4693 0.4148 0.3666 0.3241 0.2865 0.2532 0.22