第六章 数值积分zyl

1、第六章第六章 数值积分数值积分6.0 引言引言 我们知道我们知道,若函数若函数f(x)在区间在区间a, b上连续且其原上连续且其原函数为函数为F(x),则可用则可用Newton-Leibnitz公式公式baaFbFdxxf)()()(求得定积分求得定积分求定积分的值求定积分的值 , Newton-Leibnitz公式公式 无论在理论上无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中实际问题极为广泛，而且极其复杂，

2、在实际计算中经常遇到以下三种情况：经常遇到以下三种情况： (1) 被积函数被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的并不一定能够找到用初等函数的 有限形式表示的原函数有限形式表示的原函数F(x)，例如：，例如： Newton-Leibnitz公式就无能为力了公式就无能为力了dxedxxxx10102sin和(2) 还有被积函数还有被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，的原函数能用初等函数表示， 但表达式太复杂，例如函数但表达式太复杂，例如函数 32)(22xxxf 并不复杂，并不复杂， 但积分后其表达式却很复杂但积分后其表达式却很复杂, 积分后其原函数积分后其原函数F(x)为：为： )

3、322ln(2169321633241)(22222xxxxxxxxF(3) 被积函数被积函数f(x)没有具体的解析表达式没有具体的解析表达式, 其函数其函数 关系由表格或图形表示。关系由表格或图形表示。 对于这些情况对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的通过原函数来计算积分有它的局限性局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题公式所不能或很难解决的积分问题, , 这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。这时需要用

4、数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分将积分区间细分, ,在每一个小区间内用简单函在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想，用代数插值多项式去代替被积函数发用代数插值多项式去代替被积函数发f(x)f(x)进行积分进行积分是本章讨论数值积分的主要内容。是本章讨论数值积分的主要内容。 6 6.1 .1 数值积分概述数值积分概述 6 6.1.1 .1.1 数值积分的基本思想数值积分的基本思想 积分值积分值 在几何上可以解释为由在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0 x=a,x=b,y=0以及以及y=f(x)y=

5、f(x)这四条边所围成的曲边梯这四条边所围成的曲边梯形面积。如图形面积。如图4-14-1所示，而这个面积之所以难于计所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边算是因为它有一条曲边y=f(x) y=f(x) badxxfI)( y= f(x) a b 图图6 6-1 数值积分的数值积分的几何意义几何意义 建立数值积分公式的途径比较多建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的其中最常用的有两种：有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在，在积分区间积分区间a,b内存在一点内存在一点，使得，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为即所求的曲边梯

6、形的面积恰好等于底为(b-a)，高为，高为 的矩形面积。但是点的矩形面积。但是点的具体位置一般是未知的的具体位置一般是未知的, 因而因而 的值也是未知的的值也是未知的, 称称 为为f(x) 在区间在区间a,b上上的平均高度。那么只要对平均高度的平均高度。那么只要对平均高度 提供一种算法，提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法相应地就获得一种数值求积方法bafabdxxfba,)()()()(f)(f)(f)(f三个求积分公式三个求积分公式 梯形公式梯形公式y=f(x)yxab)()()(21)(bfafabdxxfbay=f(x)abyx(a+b)/2 中矩形公式中矩形公式)2()()(b

7、afabdxxfba按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如例如 分别取分别取 和和则分别得到中矩形公式和梯则分别得到中矩形公式和梯形公式。形公式。)(f)2()(baff2)()()(bfaffy=f(x)ababy=f(x)yab Simpson公式公式(a+b)/2)()2(4)()(61)(bfbafafabdxxfbaf( )的近似值而获得的一种数值积分方法。的近似值而获得的一种数值积分方法。 中矩形公式把中矩形公式把a,b 的中点处函数值的中点处函数值 作为作为平均高度平均高度f( )的近似值而获得的一种数值积的近似值而获得的

8、一种数值积分方法。分方法。 )()(21bfaf)2(bafab(a+b)/2 在这三个公式中在这三个公式中, 梯形公式梯形公式把把f(a), f(b)的加权平均值的加权平均值 作为平均高度作为平均高度 Simpson公式是以函数公式是以函数f(x)在在a, b, (a+b)/2这三点的函这三点的函数值数值f(a), f(b), 的加权平均值的加权平均值 似值而获得的一种数值积分方法。似值而获得的一种数值积分方法。1()4()( )62abfaffb)2(baf作为平均高度作为平均高度f( )的近的近（2）先用某个简单函数）先用某个简单函数 近似逼近近似逼近f(x), 用用 代替原被积函数代替

9、原被积函数f(x)，即，即 )(x)(xbabadxxdxxf)()(以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑,函数函数 应对应对f(x)有充分的逼近程度有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。并且容易计算其积分。由于多项式能很好地逼近连续函数由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积且又容易计算积分分,因此将因此将 选取为插值多项式选取为插值多项式, 这样这样f(x)的积分就的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替可以用其插值多项式的积分来近似代替 )(x)(x6.1.2 6.1.2 插值求积公式插值求积公式 设已知设已知f(x)f(x)在节点在节点

10、有函数值有函数值, ,作作n n次拉格朗日插值多项式次拉格朗日插值多项式 ), 1 , 0(nkxk)(kxfnkkkxlxfxP0)()()()()()()(0kknkjjjkjkxxxxxxxxxl式中式中 )()()(10nxxxxxxx这里这里 多项式多项式P(x)P(x)易于求积易于求积, ,所以可取所以可取 作为作为 的近似值，即的近似值，即 badxxP)(badxxf)(knkkbaknkkbaknkkbabaAxfdxxlxfdxxlxfdxxPdxxf 000)()()()()()()(bakkbakkdxxxxxdxxlA)()()()(其中其中 称为求积系数。给出如下定

11、义称为求积系数。给出如下定义。 定义定义6.1 6.1 求积公式求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(其系数其系数 时，则称求积公式为插值时，则称求积公式为插值求积公式。求积公式。 bakkdxxlA)(6.1)(6.1)设插值求积公式的余项为设插值求积公式的余项为 , ,由插值余项定理得由插值余项定理得 )(fRbanbadxxnfdxxPxffR)()!1()()()()() 1(ba,其中其中 当当f(x)f(x)是次数不高于是次数不高于n n的多项式时，有的多项式时，有 =0,=0,求积公式求积公式(6.1)(6.1)能成为准确的等式。由于闭能成为准确的等式。由于闭区间区间a,

12、ba,b上的连续函数可用多项式逼近，上的连续函数可用多项式逼近，所以一所以一个求积公式能对多大次数的多项式个求积公式能对多大次数的多项式f(x)f(x)成为准确等成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给为此给出以下定义。出以下定义。 0)()1(xfn)( fR定义定义 （代数精度）（代数精度） 设求积公式（设求积公式（6.1）对于一）对于一 切次数小于等于切次数小于等于m的多项式的多项式( (mxxxxf, 1)(2mmxaxaxaaxf2210)(是准确的，而对于次数为是准确的，而对于次数为m+1m+1的多项式是不准确的，的多项式是不准确

13、的，则称该求积公式具有则称该求积公式具有m m次代数精度（简称代数精度）次代数精度（简称代数精度） 由定义可知，若求积公式（由定义可知，若求积公式（6.16.1）的代数精）的代数精度为度为n n，则求积系数，则求积系数 应满足线性方程组：应满足线性方程组： kA或或)1211110022110010nabxAxAxAabxAxAxAabAAAnnnnnnnnnn这是关于这是关于 的线性方程组，其系数矩阵的线性方程组，其系数矩阵kAnnnnnnxxxxxxxxx102212010111是范得蒙矩阵是范得蒙矩阵, 当当互异时非奇异互异时非奇异, 故故 有唯一解。有唯一解。 ), 1 ,0(nkxk

14、kA定理定理4.1 n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式的充要条件是公式为插值型求积公式的充要条件是公式 至少具有至少具有n次代数精度。次代数精度。 nkkkbaxfAdxxf0)()(证证: :必要性必要性 设设n+1n+1个节点的求积公式个节点的求积公式 为插值型求积公式为插值型求积公式, ,求积系数为求积系数为 又又 当当f(x)f(x)为不高于为不高于n n次的多项式时次的多项式时, ,f(x)=P(x),f(x)=P(x),其余项其余项R(f)=0R(f)=0。因而这时求积公式至少。因而这时求积公式至少具有具有n n次代数精度。次代数精度。充分性充分性 若求积公式

15、至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度, ,则对则对n n次多项式次多项式 nkkkbaxfAdxxf0)()(dxxlAbakk)()()()(xRxPxfnkjjjkjkxxxxxl0)(), 1 , 0(nk必要性：必要性： 若求积公式至少具有若求积公式至少具有n n次代数精度次代数精度, ,则对则对n n次多项式次多项式精确成立精确成立, ,即即njjkjbakxlAxxl0)(d )(jkjkxlkjjk01)(而而取取 时时)()(xlxfknjjkjbakbaxlAxxldxxf0)(d)()(所以有所以有 , ,即求积公式为插值型求积公式即求积公式为插值型求积公式

16、 dxxlAbakk)(例例6.1 设积分区间设积分区间a, b为为0, 2，取时，取时 时时, , 分别用梯形和辛卜生公式分别用梯形和辛卜生公式 xexxxxxf, 1)(43220( )(0)(2)f x dxff20)2() 1 (4)0(31)(fffdxxf计算其积分结果并与准确值进行比较计算其积分结果并与准确值进行比较解解: :梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比 较如下表所示较如下表所示 f(x) 1 x x2 x3 x4 ex 准确值准确值 2 2 2.67 4 6.40 6.389 梯形公式计算值梯形公式计算值 2 2 4 8 16 8.3

17、89 辛卜生公式计算值辛卜生公式计算值 2 2 2.67 4 6.67 6.421 从表中可以看出从表中可以看出, ,当当f(x)是是 时时, ,辛辛卜生公式比梯形公式更精确卜生公式比梯形公式更精确 432,xxx 一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。一般说来，代数精度越高，求积公式越精确。梯形公式和中矩形公式具有梯形公式和中矩形公式具有1 1次代数精度，辛卜生公次代数精度，辛卜生公式有式有3 3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证 babfafabdxxf)()(2)(取取f(x)f(x)=1时，时， abababdxba) 11 (2,1两端相等

18、两端相等 取取f(x)=xf(x)=x时时, , )(21)(2),(212222abbaababxdxba取取f(x)=xf(x)=x2 2 时时, , baabbabaababdxx)(21)(2),(312222332两端不相等两端不相等 所以梯形公式只有所以梯形公式只有1 1次代数精度。次代数精度。 两端相等两端相等 例例6 6.2 试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式 40)3()1()0()(CfBfAfdxxf例例6 6.2 试确定一个至少具有试确定一个至少具有2次代数精度的公式次代数精度的公式 40)3()1()0()(CfBfAfdxxf解解

19、: : 要使公式具有要使公式具有2 2次代数精度次代数精度, ,则对则对f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 求积公式准确成立，即得如下方程组。求积公式准确成立，即得如下方程组。 3649834CBCBCBA920,34,94CBA解之得，解之得， ) 3(20) 1 (12)0(491)(40fffdxxf所求公式为：所求公式为： 例例6 6.3 试确定求积系数试确定求积系数A,B,C A,B,C 使使 具有最高的代数精度具有最高的代数精度解解: :分别取分别取f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2 使求积公式准确成立使求积公式准确成立, ,即即 得如下方程组。得如下方程组

20、。所得求积公式为：所得求积公式为：11) 1 ()0() 1()(CfBfAfdxxf3202CACACBA对于对于f(x)=1,x,xf(x)=1,x,x2 2,x,x3 3都准确成立都准确成立, ,对于对于f(x)=xf(x)=x4 4 就不就不准确了，所以此求积公式准确了，所以此求积公式 3 3 次代数精度。次代数精度。) 1 (31)0(34) 1(31)(11fffdxxf 由于由于n+1节点的插值求积公式至少有节点的插值求积公式至少有n次代数精次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如的代数精度。例如 插值求积公

21、式插值求积公式 有三个节点至少有有三个节点至少有2次代数精度，是否有次代数精度，是否有3次代数次代数精度呢？将精度呢？将f(x)=x2代入公式两端，左端和右端都代入公式两端，左端和右端都等于等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将公式两端严格相等，再将f(x)=x4代代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。次代数精度。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfba 的代数精度的代数精度可以验证可以验证, 对于对于f(x)=1, x时公式两端相等时公式两端相等, 再将再将f(x)=x2代入公式代入公式 左端左端) 1 ()

22、0(2) 1(21)(11fffdxxf例例6.4 考察求积公式考察求积公式两端不相等两端不相等, 所以该求积公式具有所以该求积公式具有 1 次代数精度次代数精度.三个节点不一定具有三个节点不一定具有2次代数精度，次代数精度，因为不是插值型的因为不是插值型的3231113112xdxx11121) 1 () 0(2) 1(21fff右端右端例例6.5 给定求积公式如下：给定求积公式如下： 4322141231)(10fffdxxf试证此求积公式是插值型的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 例例6.5 给定求积公式如下：给定求积公式如下： 4322141231)(10fffdxxf试证此求

23、积公式是插值型的求积公式试证此求积公式是插值型的求积公式 证证: :设设 , ,则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的 LagrangeLagrange插值基函数为插值基函数为 43,21,41210 xxx4321843412141/4321)(0 xxxxxl43411643214121/4341)(1xxxxxl2141821434143/2141)(2xxxxxldxxxdxxxdxxl102101008345843218)(3223882318832145318dxxxdxxxdxxl10210101163)16(4341)16()(3136161636116163213116

24、）（）（dxxxdxxxdxxl102101028143821418)(32238812143318由插值型求积公式的定义知，所给的求积公由插值型求积公式的定义知，所给的求积公式是插值型求积公式。式是插值型求积公式。 4322141231)(10fffdxxf插值型求积公式为插值型求积公式为 ) 1 () 0(2) 1(21)(11fffdxxf例例6.6 求证求证不是插值型的不是插值型的证明证明: 设设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1, A0 =1/2, A1=1, A2=1/2 则以这三点为插值节点的则以这三点为插值节点的Lagrange插值插值 基函数为基函数为 120010

25、2202110121022021112011()()(1)1( )(1)()()1( 11)2()()(1)(1)( )(1)()()1( 1)()()(1)1( )(1)()()(11)21112( )()2223xxxxx xlxx xxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx xlxx xxxxxlx dxxx dx 1121111122111102324( )(1)233111211( )()0222323lx dxxdxlx dxxx dx 012012( )0,1, 214133311A =,A =1,A = 22bkkaAlx dxkAAA插 值 型 求 积 系 数 为，与 原

26、 求 积 公 式 系 数 不 一 致（ 原 求 积 公 式 系 数若 与 原 求 积 系 数 一 致 ， 则 是 插 值 型 的 ）原 求 积 公 式 不 是 插 值 型 的 。证 毕 。 例例6.7 给定求积公式给定求积公式试确定求积系数试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有尽可能高的代使其有尽可能高的代数精度，并指出其代数精度数精度，并指出其代数精度)()0()()(10221hfAfAhfAdxxfhh解：令求积公式对解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有准确成立，则有312121110131604hAhAhhAhAhAAA)(2)0()(234)(38,342

27、2110hffhfhdxxfhAAhAhh解之得解之得其代数精度至少为其代数精度至少为2,将将f(x)=x3代入求积公式两端相代入求积公式两端相等等,而将将而将将f(x)=x4代入求积公式两端不相等代入求积公式两端不相等,所以其所以其代数精度为代数精度为3次次 例例 6.8 确定求积公式确定求积公式使其具有尽可能高的代数精度使其具有尽可能高的代数精度)()()()(321afAbfAafAdxxfba32223221312hhAhAhAhAA解：不妨设解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数设所求公式的代数 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式

28、变成等式,即即解：不妨设解：不妨设a=0, b=h, b-a=h, 设所求公式的代数设所求公式的代数 精度为精度为2,则当则当f(x)=1,x,x2时公式变成等式时公式变成等式,即即)()(2)(46)(32,6,31232afhbfafhdxxfhAhAhAba其中其中h=b-a, 令令f(x)=x3代入上式代入上式, 两端不等两端不等, 说明求积说明求积公式只有公式只有2次代数精度。次代数精度。解之得：解之得：构造插值求积公式有如下特点：构造插值求积公式有如下特点：复杂函数复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分的积分转化为计算多项式的积分 求积系数求积系数Ak只只与积分区间及节点与积

29、分区间及节点xk有关有关，而与被，而与被积函数积函数f(x)无关，可以不管无关，可以不管f(x)如何，预先算出如何，预先算出Ak的值的值 n+1个节点的插值求积公式至少具有个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度次代数精度 求积系数之和求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性可用此检验计算求积系数的正确性 abAnkk0 abAnkk0例例 6.9 求证当节点为求证当节点为n+1个时个时, 插值求积系数之和为插值求积系数之和为 abAnkk000001()()()1,()1nbbkkaaknbbkaaknkknfx d xpx d xAfxnfx d xd xAbaAbaAAAban证 ：

30、当 节 点 为个 时 ， 插 值 求 积 公 式 有 n 次 代数 精 度 , 对 于 f ( x ) = x上 式 严 格 相 等 , 所 以取 f ( x ) = 1 时 ， 上 式 也 严 格 相 等 ， 因 此 有即例例 6.9 求证当节点为求证当节点为n+1个时个时, 插值求积系数之和为插值求积系数之和为 (1) (1) 在积分区间在积分区间a,ba,b上选取节点上选取节点x xk k (2) (2) 求出求出f(xf(xk k) )及利用及利用 或解关于或解关于A Ak k的线性方程组求出的线性方程组求出A Ak k，这样，这样 就得到了就得到了(3) 利用利用f(x)=xn,验算

31、代数精度验算代数精度 构造插值求积公式的步骤构造插值求积公式的步骤bakkdxxlA)()()(0kbankkxfAdxxf例例6.10 对对 构造一个至少有构造一个至少有3次代数精次代数精度的求积公式度的求积公式30)(dxxf例例6.10 对对 构造一个至少有构造一个至少有3次代数精次代数精度的求积公式度的求积公式30)(dxxf解解: 3次代数精度需次代数精度需4个节点个节点, 在在0,3上取上取0,1,2,3四个四个 节点构造求积公式节点构造求积公式) 3()2() 1 ()0()(321300fAfAfAfAdxxf确定求积系数确定求积系数Ak(k=0,1,2,3),利用求积系数公式

32、利用求积系数公式302330083) 6116(61) 30)(20)(10 () 3)(2)(1(dxxxxdxxxxA)3()2(3)1 (3)0(83)(83,89,89)31)(21)(01 ()3)(2)(0(3032301ffffdxxfAAdxxxxA因为求积公式有因为求积公式有4个节点，所以至少具有个节点，所以至少具有3次代数精次代数精度，只需将度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有代入两端不相等，所以只有3次代数精度次代数精度(1)0( ) ( )( ) d()d . (1.7)(1)!nnbbnjaaj

33、fR ff xL xxxxxn插值型求积公式它的余项为6.1.5、求积公式的收敛性和稳定性、求积公式的收敛性和稳定性若中在求积公式 ,(1.3) 定义2定义200 lim()( )d ,nbkkankhA f xf xx.(1.3),(max11是收敛的则称求积公式其中iinixxh0, ( )d, (1.3).nbkkakf xxA f一般地求积公式通常称为积机机械械求求公公式式0(), () (0,1, ), |( )( )| ().kkkkknnnkkkkf xf xfknIfIfAf xf设有误差即则有0 0,0,() (0, ), |( )( )| ()(),(1.3).kknnnk

34、kkkf xfknIfIfA f xf x 义若只要就有则称求积公式是稳定的定定3 3 (1.3)0 0,1, ),.kn若求积公式中系数A（则求积公式是稳定的定定理理2 200, () (0, ), |()()() .kknnnkkkkkkf xfknRA f xf xAba这是因为 当时 有6.2 牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式求积公式 在插值求积公式在插值求积公式nkkkbabaxfAdxxPxxf0)()(d)(中中,当所当所取节点是等距时取节点是等距时称为牛顿称为牛顿-柯特斯公式柯特斯公式其中其中 插值多项式插值多项式 求积系数求积系数 )()()(0nkk

35、kxfxlxPbakkdxxlA)(这里这里 是插值基函数。即有是插值基函数。即有 )(xlkdxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分, 步长步长求积节点为求积节点为 为了计为了计算系数算系数Ak, 由于由于 , 所以所以nabh), 1 ,0(nkkhaxkhikxxik)( nknnkkkkkkhknkxxxxxxxx)!( !) 1()()()(110作变量代换作变量代换 当当 时时,有有 ,于是可得于是可得 xathbax,nt, 0dxxxxxdxxlAbankiiikibakk 0)(dthhntktkttthkn

36、knnnkn0)() 1)(1() 1()!( !) 1(dtitknnkabnnkiikn 00) )()!( !) 1()()00(1)()!()!knknnniikCtidtnknk ( k=0,1,n ) 代入插值求积公式代入插值求积公式( (4.1)有有 ( )0( )d()()knbnkakf xxbaCf x称为牛顿称为牛顿- -柯特斯求积公式柯特斯求积公式,C,Ck k称为柯特斯系数称为柯特斯系数引进记号引进记号( )()knkAba C ( k=0,1,n ) 则则容易验证容易验证 10nkkC bakkkkdxxlAAabC)(1 nkbaknkkdxxlabC00)(11

37、11)(10 babankkdxabdxxlab显然显然, , C Ck k是不依赖于积分区间是不依赖于积分区间a,ba,b以及被积函数以及被积函数f(x)f(x)的常数的常数, ,只要给出只要给出n,n,就可以算出柯特斯系数就可以算出柯特斯系数, ,譬譬如当如当n=1n=1时时 1011002121) 1(! 1! 011tdtCdttC当当n=2=2时时 202061)2)(1(!2!02)1(dtttC201132)2(! 1! 12) 1(dtttC200261)1(!0!22)1(dtttC课本表课本表6-16-1给出了给出了n从从1 18 8的柯特斯系数的柯特斯系数。 当当n =

38、8n = 8时，出现了负系数，从而影响稳定性和时，出现了负系数，从而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。收敛性，因此实用的只是低阶公式。 Newton-Cotes公式 柯特斯系数n1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/63 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 下面分别考虑几种特殊请况。)()()(0)(xCjbanjnjfabdxxf几个低阶求积公式几个低阶求积公式 在牛顿在牛顿- -柯特斯求积公式中柯特斯求积公式中n=1,2,4=1,2,4时，就分别时，就分别得到下面的梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式。得到下面的梯形公式

39、、辛卜生公式和柯特斯公式。(1)(1) 梯形公式梯形公式 当当n=1=1时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是梯形公式柯特斯公式就是梯形公式 )()()(21)(bfafabdxxfba定理定理4.2 （梯形公式的误差）设（梯形公式的误差）设f(x)在在 a,b 上具有上具有连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为连续的二阶导数，则梯形公式的误差（余项）为),()(12)()(31bafabfR 证证: :由插值型求积公式的余项由插值型求积公式的余项 其中其中 可知梯形公式的误差为可知梯形公式的误差为 dxxnffRbann)()!1()()()1()()()(),(10nxxxxxxxba

40、badxbxaxffR)()(21)(1由于由于(x-a)(x-b)(x-a)(x-b)在在a,ba,b中不变号中不变号, , 在在a,ba,b上上连续连续, ,根据高等数学中的积分中值定理根据高等数学中的积分中值定理 , ,在在a,ba,b上上存在一点存在一点，使，使 )(f )(6)()()()()(3fabdxbxaxfdxbxaxfbaba ),()(12)()(31bafabfR 因此因此 （2 2） 辛卜生公式辛卜生公式 当当n=2=2时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式就是辛卜生公式（或柯特斯公式就是辛卜生公式（或 称抛物线公式）称抛物线公式） )()2(4)()(61)(bfbaf

41、afabdxxfba定理定理4.34.3（辛卜生公式的误差）设在（辛卜生公式的误差）设在a,ba,b上具有连上具有连续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为续的四阶导数，则辛卜生求积公式的误差为 55(4)(4)21()( )( )( )( , )9022880b ab aR fffa b定理证明从略。定理证明从略。 （3 3） 柯特斯公式。柯特斯公式。 当当n=4=4时，牛顿时，牛顿- -柯特斯公式为柯特斯公式为 )(7)(32)(12)(32)(790)(43210 xfxfxfxfxfabdxxfba定理定理4.44.4（柯特斯公式的误差）设在（柯特斯公式的误差）设在a,ba,b上具有上具

42、有连续的连续的6 6阶导数，则柯特斯求积公式的误差为阶导数，则柯特斯求积公式的误差为 ),()(49458)()6(74bafabfR定理的证明从略。定理的证明从略。 例例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字) ) 15 . 0dxx例例4.11 分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯分别用梯形公式、辛卜生公式和柯特斯 公式计算定积分公式计算定积分 的近似值的近似值 ( (计算结果取计算结果取5 5位有效数字位有效数字) ) 15 . 0dxx(1) (1

43、) 用梯形公式计算用梯形公式计算 10.51 0.5d (0.5)(1)0.25 0.70711 10.42677670.4267772x xff(2) (2) 用辛卜生公式用辛卜生公式 /).(.d.xx10.70711 4 0.86603 10.430934030.4309312 (3) (3) 用柯特斯公式计算，系数为用柯特斯公式计算，系数为 , 17875. 03275. 012625. 0325 . 07 905 . 01d15 . 0 xx14.9497525.2982210.3922329.9332670.43096180积分的准确值为积分的准确值为 43096441. 032d

44、15 . 02315 . 0 xxx可见，三个求积公式的精度逐渐提高。可见，三个求积公式的精度逐渐提高。 例例4.12 4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差( (计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) ) 例例4.12 4.12 用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分用辛卜生公式和柯特斯公式计算定积分3123d)572(xxxx的近似值的近似值, ,并估计其误差并估计其误差( (计算结果取计算结果取5 5位小数位小数) ) 解解: : 辛卜生公式辛卜生公式 322036225941

45、613)(24)(6bfbafafabS由于由于 由辛卜生公式余项由辛卜生公式余项 572)(23xxxxf0)()4(xfbafabfR,),(2880)()()4(5知其误差为知其误差为 0)(fR解解:柯特斯公式柯特斯公式 知其误差为知其误差为 0)(fR322097812532912835327451) 3 (7) 5 . 2 (32) 2 (12) 5 . 1 (32) 1 (79013fffffC 该定积分的准确值该定积分的准确值 ,这个例子告诉我这个例子告诉我们，对于同一个积分，当们，对于同一个积分，当n2时，公式却是精确的，时，公式却是精确的，这是由于辛卜生公式具有三次代数精度

46、，柯特斯公这是由于辛卜生公式具有三次代数精度，柯特斯公式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式具有五次代数精度，它们对被积函数为三次多项式当然是精确成立的。式当然是精确成立的。 3220I6.3复化求积公式复化求积公式 由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，由梯形、辛卜生和柯特斯求积公式余项可知，随着随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。但由于提高。但由于n88时的牛顿时的牛顿柯特斯求积公式开始柯特斯求积公式开始出现负值的柯特斯系数出现负值的柯特斯系数。根据误差理论的分析研究，。根据误差理论的分析研究，当积分公式出现负系数时，可能导致

47、舍入误差增大，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的并且往往难以估计。因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。在方法来提高计算精度。在实际应用中，通常将积分实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛卜生

48、公式。和复化辛卜生公式。 6.3.1 复化梯形公式及其误差复化梯形公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分, ,步长步长求积节点为求积节点为 在每个小在每个小区间区间 上应用梯形公式上应用梯形公式 nabh), 1 , 0(nkkhaxk)1, 1 ,0(,1nkxxkk)()(2)(11kkxxxfxfhdxxfkk求出积分值求出积分值I Ik,k,然后将它们累加求和然后将它们累加求和, ,用用作为所求积分作为所求积分I I的近似值。的近似值。 10nkkI)()(2)()(110101kkbankxxnkxfxfhdxxfdxxfIkk)()(.)()(2)(212

49、10nnxfxfxfxfxfh)()(2)(211bfxfafhnkk)()(2)(211bfxfafhTnkkn记记 (4.5)(4.5)(4.5)(4.5)式称为复化梯形公式。式称为复化梯形公式。 当当f(x)f(x)在在a,ba,b上有连续的二阶导数上有连续的二阶导数, ,在子区间在子区间 上梯形公式的余项已知为上梯形公式的余项已知为 1,kkxx13,)(12 kkkkTxxfhRk在在a,ba,b上的余项上的余项 10310)(12nkknkTTfhRRk设设 在在 a,b 上连续，根据连续函数的介值定理知，上连续，根据连续函数的介值定理知，存在存在 ，使，使 )(xf ba,)()

50、(110ffnnkk ba,因此因此, ,余项余项 )(12)()(1223fhabfnhRT ba,复化梯形求积算法实现复化梯形求积算法实现 （1 1）复化梯形公式计算步骤）复化梯形公式计算步骤 确定步长确定步长h=(b-a)/N ( N h=(b-a)/N ( N 为等分数为等分数 ) ) 对对k=1,2,k=1,2,N,N，计算，计算T=T+f(a +kh)T=T+f(a +kh) T= h T= h f(a)+ 2T + f(b) f(a)+ 2T + f(b) /2/2（2 2）复化梯形公式的流程图）复化梯形公式的流程图 开 始 定 义f(x ) 输 入a , b , N (b -a

51、 )/N h , 0 T 对k = 1 ,2 , , N -1 T + f (a + k * h ) T h * f (a )+ 2 T + f(b ) / 2 T 结 束 6.3.2 复化辛卜生公式及其误差复化辛卜生公式及其误差将积分区间将积分区间 a,b 划分为划分为n等分等分, ,记子区间记子区间 的中点为的中点为 在每个小区间上应用辛卜生在每个小区间上应用辛卜生公式，则有公式，则有 1,kkxxhxxkk2121)()(4)(6)()(11010211kkkbankxxnkxfxfxfhdxxfdxxfIkk)()(2)(4)(61101121bfxfxfafnknkkk121101(

52、 )4()2()( )6nnnkkkkhSf af xf xf b记记 (4.6)(4.6)称为复化辛卜生公式称为复化辛卜生公式 类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜类似于复化梯形公式余项的讨论，复化辛卜生公式生公式 (4.6) 的求积余项为的求积余项为 4(4)4(4)( )( )18022880sbahbaRfh f ba,如果把每个子区间如果把每个子区间 四等分四等分, ,内分点依次记内分点依次记 1,kkxx432141,kkkxxx同理可得复化柯特斯公式同理可得复化柯特斯公式 1010)(12)(32)(7902141nknkkknxfxfafhC)(7)(14)(32111043

53、bfxfxfnkknkk)(4945)( 2)6(6fhabRc求积余项为求积余项为 ba, 复化求积公式的余项表明，只要被积函复化求积公式的余项表明，只要被积函数发数发f(x)f(x)所涉及的各阶导数在所涉及的各阶导数在 a,b 上连续，上连续，那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化那么复化梯形公式、复化辛卜生公式与复化柯特斯公式所得近似值柯特斯公式所得近似值的余项和步长的关系依次为的余项和步长的关系依次为 、 。因此当。因此当h0 (即即n)时时, ,都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个都收敛于积分真值，且收敛速度一个比一个快。快。 nnnCST,)(2h)(4h)(6hnnnCST,复

54、化辛卜生求积算法实现复化辛卜生求积算法实现（1 1）复化辛卜生公式计算步骤复化辛卜生公式计算步骤 确定步长确定步长h=(b-a)/N,S1=f (a+h/2) , S2=0 ( N 为等分数为等分数 ) 对对k=1,2,=1,2, ,N-1，计算，计算 S1= S1+f (a+kh+h/2) , S2= S2+f (a+kh) S = h f ( (a) +4S1+ 2 S2+ f ( (b) ) /6/6 （2 2）复化辛卜生公式流程图）复化辛卜生公式流程图 开 始 定 义f(x ) 输 入a , b , N (b - a ) / N h , a + h /2 x f(x ) S1 , 0

55、S2 对k = 1 ,2 , , N -1 S1 + f (a + k * h + h /2 ) S1 S2 + f (a + k * h ) S2 h * f (a )+ 4 S1 + 2 S2+ f(b ) / 6 S2 结 束 例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的复化梯形公式、的复化梯形公式、n=4n=4的复化的复化 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 10dsinxxxI例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的复化梯形公式、的复化梯形公式、n=4n=4的复化的复化 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 10dsinxxxI解解: :首先计算出所需各节点

56、的函数值首先计算出所需各节点的函数值,n=8,n=8时，时， 125. 081h由复化梯形公式由复化梯形公式(6.5)(6.5)可得如下计算公式：可得如下计算公式： 9456909. 0) 1 ()875. 0(2)75. 0(2)625. 0(2) 5 . 0(2)375. 0(2)25. 0(2)125. 0(2) 0(1618fffffffffT由复化辛卜生公式由复化辛卜生公式(6.6)(6.6)可得如下计算公式可得如下计算公式9460832.0)875.0()625.0()375.0()125.0(4) )75.0()5 .0()25.0(2)1 ()0(2414fffffffffS（

57、积分积分准确值准确值I=0.9460831I=0.9460831） 这两种方法都需要提供这两种方法都需要提供9个点上的函数值，计个点上的函数值，计算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准算量基本相同，然而精度却差别较大，同积分的准确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比确值（是指每一位数字都是有效数字的积分值）比较，复化梯形法只有两位有效数字较，复化梯形法只有两位有效数字(T(T8 8=0.9456909),=0.9456909),而复化辛卜生法却有六位有效数字。而复化辛卜生法却有六位有效数字。例例6.13 6.13 依次用依次用n=8n=8的复化梯形公式、的复化梯形公式、n=4n=4

58、的复化的复化 辛卜生公式计算定积分辛卜生公式计算定积分 10dsinxxxI例例6.14 用复化梯形公式计算定积分用复化梯形公式计算定积分 才能使误差不超过才能使误差不超过 10dxeIx51021解解: :取取 , ,则则 , ,又区间长度又区间长度b-a=1b-a=1，对，对复化梯形公式有余项复化梯形公式有余项 xexf)(xexf )(52210211121)(12)( enfhabxRT即即 ,n212.85,n212.85，取，取n=213n=213，即将区间，即将区间0,10,1分为分为213213等份时，用复化梯形公式计算误差等份时，用复化梯形公式计算误差不超过不超过 。 521

59、06en51021问区间问区间0,10,1应分多少等份应分多少等份6.3.3 6.3.3 误差的事后估计与步长的自动选择误差的事后估计与步长的自动选择 复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的复化求积方法对于提高计算精度是行之有效的方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出方法，但复化公式的一个主要缺点在于要先估计出步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长步长。若步长太大，则难以保证计算精度，若步长太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在太小，则计算量太大，并且积累误差也会增大。在实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次实际计算中通常采用变步长的方法，即把步长逐次分半，直至达到某

60、种精度为止。分半，直至达到某种精度为止。 变步长的梯形公式变步长的梯形公式 变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，变步长复化求积法的基本思想是在求积过程中，通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长通过对计算结果精度的不断估计，逐步改变步长（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给（逐次分半），直至满足精度要求为止。即按照给定的精度实现步长的自动选取。定的精度实现步长的自动选取。 设将积分区间设将积分区间 a,b n等分，即分成等分，即分成n个子区间，个子区间，一共有一共有n+1个节点，即个节点，即x=a+kh, , k=0,1,，n，步，步长长 。对于某个子区间。对于某个子区间 , ,