第07章 时变电磁场(2)

1、7-3 时变时变电磁场边界条件电磁场边界条件 适合适合静态静态场的各种边界条件场的各种边界条件原则上原则上可以直接推广到可以直接推广到时变时变电磁场。电磁场。第一，第一，在在任何任何边界上边界上电场强度电场强度的的切向切向分量是连续的分量是连续的，即，即 因为只要因为只要磁感应强度磁感应强度的的时间变化率时间变化率是是有限有限的，那么由电磁感应定的，那么由电磁感应定律的积分形式律的积分形式2t1tEE 或写成矢量形式或写成矢量形式 21()0neEE lSBE dldSt 即可获得上面结果。即可获得上面结果。对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，上式又可写为媒质，上式又可写为 2 t21

2、t 1DDen 第二第二, , 在在任何任何边界上，边界上，磁感应强度磁感应强度的的法向法向分量是连续的。分量是连续的。 由磁通连续性原理，即可证明由磁通连续性原理，即可证明 2nn1BB或写成矢量形式或写成矢量形式 21()0neBB第三，第三，电通密度电通密度的的法向法向分量边界条件与分量边界条件与媒质媒质特性有关。特性有关。 在在一般一般情况下，由高斯定律求得情况下，由高斯定律求得 SDD 1n2n或写成矢量形式或写成矢量形式 21()nSeDD式中式中 s 为边界表面上为边界表面上自由自由电荷的面密度。电荷的面密度。对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质，上式又可表示为媒质，上式又可

3、表示为n22 n11 HH 对于两种对于两种理想介质理想介质形成的边界，由于不可能存在形成的边界，由于不可能存在表面表面自由电荷，自由电荷，因此因此可见，可见，两种两种理想理想介质形成的边界上介质形成的边界上，电通密度的法向分量是电通密度的法向分量是连续连续的的。2n1nDD第四，第四，磁场强度磁场强度的的切向分量边界条件也与媒质切向分量边界条件也与媒质特性有关特性有关。 在在一般情况一般情况下，由于边界上不可能存在下，由于边界上不可能存在表面电流表面电流，根据全电流定，根据全电流定律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得t21tHH21()0neH

4、H或写成矢量形式或写成矢量形式 在在理想导电理想导电体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分量是不连续的。量是不连续的。对于对于各向同性各向同性的的线性线性介质，上式又可写为介质，上式又可写为2n2 n11 EE 在在理想导电体内部理想导电体内部不可能存在不可能存在时变电磁场时变电磁场及及时变的传导电流时变的传导电流，它，它们只可能分布在理想导电体的们只可能分布在理想导电体的表面表面。 在在任何任何边界上，边界上，电场电场强度的强度的切向切向分量及分量及磁感应磁感应强度的强度的法向法向分量是分量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在连续的，因

5、此理想导体表面上不可能存在电场切向电场切向分量及分量及磁场法向磁场法向分分量，即量，即时变电场时变电场必须必须垂直垂直于理想导电体的表面，而时变于理想导电体的表面，而时变磁场磁场必须与其必须与其表面表面相切相切。( ), ( ), ( )0E tB tJ t 0EJE 0 0HE0 0JH因因 ，01nDSD2n或或nSeD2tSHJnSeHJ或或 E H , enet H1t H2t JS 由于理想导电体表面存在由于理想导电体表面存在表面电流表面电流 ，设表面电流密度，设表面电流密度 的方的方向与积分回路构成向与积分回路构成右旋右旋关系，因关系，因 ，求得，求得 01tHSJSJ例例 已知内

6、截面为已知内截面为a b 的的矩形矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为金属波导中的时变电磁场的各分量为 ) sin(cos0zktxaHHzzz) cos(sin0zktxaHHzxx) cos(sin0zktxaEEzyy其坐标如图示。试求其坐标如图示。试求波导中的波导中的位移电流位移电流分分布和波导布和波导内壁内壁上的上的电电荷荷及及电流电流分布。波导分布。波导内部为真空内部为真空。 azyxbxzyxyzgba磁场线磁场线电场线电场线解解 位移电流为位移电流为 d0 sinsin( )yyzDJe Extk zta 在在 y = 0 的内壁上的内壁上 ( ) SyyyeEE()Syxzz

7、xxzJeHHe He H 在在 y = b 的内壁上的内壁上 ( ) SyyyeEE ()SyxzzxxzJeHHe He H 在在 x = 0 的侧壁上，的侧壁上， 0 xH00sin( )sin( )SxzzzyzzJee Htk ze Htk z 00(sin( )sin( )SxzzzyzzJeeHtk ze Htk z 0 xH在在 x = a 的侧壁上，的侧壁上， 在在 x = 0 及及 x = a 的侧壁上，因的侧壁上，因 ，所以，所以 。 0yE0Szyx内壁电流内壁电流7-4 标量位与矢量位标量位与矢量位 22 HHJt 线性均匀线性均匀且且各向同性各向同性媒质中，由媒质中

8、，由 Maxwell 方程可推得方程可推得22 EJEtt 利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，同时考到，同时考到 及及 ，那么上述两式变为，那么上述两式变为 2AAA 0BD222HHJt 2221EJEtt由此可见，由此可见，时变电磁场时变电磁场的的场强场强与与场源场源存在较复杂的关系。存在较复杂的关系。为了简化求解过程，引入为了简化求解过程，引入标量位标量位与与矢量位矢量位作为作为求解求解时变电磁场的时变电磁场的两个辅两个辅助函数助函数将是行之有效的。将是行之有效的。 BA()EAt 已知已知 ，因此，因此 可以表示为矢量场可以表示为矢量场 的旋度，即可令的旋度，即可令 0BAB式中式中 称

9、为称为矢量位矢量位。将上式代入式。将上式代入式 中，得中，得 BEt A上式又可改写为上式又可改写为0AEt 由此可见，矢量场由此可见，矢量场 为为无旋场无旋场。因此它可以用一个。因此它可以用一个标量场标量场 的的梯度梯度来表示，即可令来表示，即可令AEtAEt 式中式中 称为称为标量位标量位。由此得。由此得AEt 当它们与当它们与时间无关时间无关时，矢量位时，矢量位 及标量位及标量位 与场量的关系和与场量的关系和静静态场态场完全相同。因此矢量位完全相同。因此矢量位 又称为又称为矢量磁位矢量磁位，标量位，标量位 又称为又称为标标量电位量电位。AA 注意：注意：矢量位矢量位 及标量位及标量位 均

10、是均是时间时间及及空间空间函数。函数。A据据位函数定义式位函数定义式及及麦克斯韦方程麦克斯韦方程22 AAJttAt 222()AAAJtt 2()At 利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，上两式又可写为上两式又可写为2AAA EHJtEBAAEt 求得求得At 则前两式可以简化为则前两式可以简化为 222 AAJt 222t罗伦兹条件罗伦兹条件 原则上，其散度值可以原则上，其散度值可以任意任意给定，但是为了给定，但是为了简化简化计算，若计算，若令令 已经规定了矢量场已经规定了矢量场 的的旋度旋度， ，必须再规定其，必须再规定其散度散度。ABA 按照罗伦兹条件规定按照罗伦兹条件规定 的散度后，原来

11、两个相互的散度后，原来两个相互关联关联的方程变为两的方程变为两个个独立独立方程。方程。 矢量位矢量位 仅与电流仅与电流 有关，标量位有关，标量位 仅与电荷仅与电荷 有关。有关。AAJ 由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位和标量位 。求出求出 A 及及 以后，即可求出以后，即可求出电场与磁场电场与磁场。 原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程，在三维空间中需要求解求解 6 个坐标分量个坐标分量位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程222HH

12、Jt 2221EJEtt 这样，这样，麦克斯韦方程麦克斯韦方程的求解归结为的求解归结为位函数方程位函数方程的求解，而且求解过的求解，而且求解过程显然得到了程显然得到了简化简化。在三维空间中仅需求解在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于个坐标分量。在直角坐标系中，实际上等于求解求解 1 个标量方程。个标量方程。222 AAJt 222t根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。根据静态场的结果，采用类比的方法，推出其解。7-5 位函数方程求解位函数方程求解 当当时变点电荷时变点电荷位于位于坐标原点坐标原点时，其场分布一定具有时，其场分布一定具有球对称球对称特点，即特点

13、，即场量场量仅仅为变量为变量 r 的函数，与球坐标变量的函数，与球坐标变量 及及 无关。那么，在无关。那么，在除除坐标原坐标原点以外整个点以外整个无源无源（ = 0）空间，空间，位函数位函数满足的方程式为满足的方程式为 首先求解位于坐标原点的时变首先求解位于坐标原点的时变点电荷点电荷产生的矢量位，然后利用产生的矢量位，然后利用叠加叠加原理原理导出任意分布的时变导出任意分布的时变体电荷体电荷的解。的解。rtrvrr0 0) (1) (222221v式中式中上式为函数（上式为函数（ r）的）的齐次波动方程齐次波动方程，其通解为，其通解为 vrtfvrtfr21 由后面分析可以获知，式中第二项不符合

14、实际的由后面分析可以获知，式中第二项不符合实际的物理条件物理条件，应该，应该舍去。因此，求得舍去。因此，求得位于原点的时变点电荷位于原点的时变点电荷产生的产生的标量电位标量电位为为rvrtft1),(r已知位于原点的静止点电荷已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为产生的电位为 Vqd rV 4d )( r将此式同上式比较，可见函数将此式同上式比较，可见函数 f1 为为Vvrtvrtfd 4 1因此，求得位于原点的因此，求得位于原点的时变点电荷时变点电荷产生的产生的标量位标量位为为 d ( , )d4 rtvr tVr式中式中r 为体元为体元 dV 至场点的距离。至场点的距离。 对于位于对于位于

15、V 中的中的任意体分布电任意体分布电荷荷，如图示。，如图示。1( , )d4Vrrr tvr tVrr,rrzyx (r, t)V dV,rrr tvr - r0 在在 r 处产生的电位由上式积分处产生的电位由上式积分求得求得 为了求出矢量位函数为了求出矢量位函数 A，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展，可将矢量位函数方程在直角坐标系中展开，则各个分量均满足开，则各个分量均满足结构相同结构相同的非齐次标量波动方程式，即的非齐次标量波动方程式，即xxxJtAA 222yyyJtAA 222zzzJtAA 222显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，显然，对于每一个分量均可

16、求得结构如同前式的解。三个分量合成后，矢量位矢量位 A 的解为的解为,( , )d4VrrJ r tvA r tVrr式中式中 V 为电流为电流 J 的分布区域。的分布区域。1( , )d4Vrrr tvr tVrr,( , )d4VrrJ r tvA r tVrr 上两式表明，空间某点在时刻上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位产生的位必须必须根据时刻根据时刻 的场源分布函数进行求积。换言之，位于的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处处 t 时刻的场强时刻的场强不是不是由同一由同一时刻时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比的源的分布决定的，而是取决于比 t 时刻时刻导前导前 的时刻

17、的时刻的源分布。的源分布。rrtvrrtvrrv 这就意味着，位于这就意味着，位于 r 处的源产生的场传到处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段处需要一段时间，这段时差就是时差就是 。已知已知 ( r r )为源点至场点的距离，因此为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的代表电磁波的传播速度传播速度。 由式由式 可见，电磁波的可见，电磁波的传播速度传播速度与与媒质特性媒质特性有关。在真空有关。在真空中，最新测得的数据为中，最新测得的数据为1v)m/s( 1032997924581800v这就是光波在真空中的传播速度，或简称为这就是光波在真空中的传播速度，或简称为光速光速。光速通常以。光

18、速通常以 c 表示。表示。 值得注意的是，即使在某一时刻值得注意的是，即使在某一时刻源源已消失，只要前一时刻源还存已消失，只要前一时刻源还存在，它们原来产生的空间在，它们原来产生的空间场场仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放仍然存在，这就表明源已将电磁能量释放到空间，而到空间，而空间电磁能量可以脱离源单独存在空间电磁能量可以脱离源单独存在，这种现象称为，这种现象称为电磁辐电磁辐射射。 当当静止静止电荷或电荷或恒定恒定电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场电流一旦消失，它们所产生的静电场或恒定磁场也随之失去，因而静态场又称为也随之失去，因而静态场又称为束缚场束缚场，没有辐射作用。，没有辐射作

19、用。 若源随时间变化若源随时间变化很快很快，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附，空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离，也与源的决于空间距离，也与源的变化快慢变化快慢有关。有关。 位于时变源位于时变源附近附近的时变电磁场，时差很小，场强随时间的变化基本的时变电磁场，时差很小，场强随时间的变化基本上与源的变化上与源的变化同步同步，所以，所以近处近处的时变场称为的时变场称为似稳场似稳场。 离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以离开时变源很远的地

20、方，由于时差很大，辐射效应显著，所以远处远处的的时变场称为时变场称为辐射场辐射场。 为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的高频高频电流激励发射电流激励发射天线，而通常天线，而通常 50Hz 交流电交流电不可能有效地辐射电磁能量。不可能有效地辐射电磁能量。 由于标量电位由于标量电位 和矢量磁位和矢量磁位 A 随着时间的变化总是随着时间的变化总是落后落后于源，因于源，因此，位函数此，位函数 及及 A 通常称为通常称为滞后位滞后位。 前式中的第二项前式中的第二项 不符合实际的物理条件。因为不符合实际的物理条件。因为 意味意味着场比源着场比源导前导前，这就

21、不符合先有源后有场的，这就不符合先有源后有场的因果关系因果关系。vrtf2vrt那么，它又可理解为向那么，它又可理解为向负负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的方向传播的波，也就是来自无限远处的反射反射波。波。vrt当然，因子当然，因子 又可写为又可写为vrtvrt)( 对于点电荷所在的对于点电荷所在的无限大无限大的自由空间，这种反射波是不可能存在的的自由空间，这种反射波是不可能存在的。 对于对于面面分布及分布及线线分布的电荷及电流，可以类似推出它们产生的标分布的电荷及电流，可以类似推出它们产生的标量位和矢量位。其结果分别如下：量位和矢量位。其结果分别如下：,1 ( , )d4SSrrr

22、tvr tSrr, ( , )d4SSrrJr tvA r tSrr,1 ( , )4llrrr tvr tdlrr, ( , )d4lrrIr tvA r tlrr应注意上述公式仅可用于应注意上述公式仅可用于均匀、线性、各向同性均匀、线性、各向同性的媒质。的媒质。 7-6 能量密度与能流密度矢量能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场。2e1( , ) ( , )2w r tEr t电场能量密度电场能量密度2m1( , ) ( , )2wr tHr t磁场能量密度磁场能量密度2( ,

23、 ) ( , )lp r tEr t损耗功率密度损耗功率密度因此，时变电磁场的能量密度为因此，时变电磁场的能量密度为 221( , ) ( , ) ( , )2w r tEr tHr t对于对于各向同性各向同性的的线性线性媒质媒质 可见，时变场的能量密度是可见，时变场的能量密度是空间空间及及时间时间的函数，而且时变电磁场的函数，而且时变电磁场的能量还会的能量还会流动流动。 为了衡量这种能量流动的为了衡量这种能量流动的方向方向及及强度强度，引入，引入能量流动密度矢量能量流动密度矢量，其其方向方向表示能量表示能量流动流动方向，其方向，其大小大小表示表示单位单位时间内时间内垂直垂直穿过单位面穿过单位

24、面积的能量。或者说，积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的垂直穿过单位面积的功率功率，所以能量流动密度，所以能量流动密度矢量又称为矢量又称为功率流动密度矢量功率流动密度矢量。 能量流动密度矢量能量流动密度矢量在英美书刊中称为在英美书刊中称为坡印亭矢量坡印亭矢量，在俄罗斯书，在俄罗斯书刊中称为刊中称为乌莫夫矢量乌莫夫矢量。能流密度矢量能流密度矢量 与电场强度与电场强度 及磁场强度及磁场强度 的关系如何？的关系如何？SEH 能量流动密度矢量或简称为能量流动密度矢量或简称为能流密度矢量能流密度矢量以以 表示，表示， 单位为单位为W/m2。S 设设无外源无外源 (J = 0, = 0) 的区域的区域 V

25、 中，媒质是中，媒质是线性线性且且各向同性各向同性的，的，则此区域中麦克斯韦方程为则此区域中麦克斯韦方程为 EHEtHEt ( )0H( )0E利用矢量恒等式利用矢量恒等式 ，将上式代入，整理，将上式代入，整理后求得后求得()EHHEEH222 () 22HEEHEtt 将上式两边对区域将上式两边对区域 V 求积，得求积，得 222 1()d( )d d2VVVEHVEHVEVt , , , , E, HV考虑到考虑到 ，那么，那么 ()d()VSEHVEHdS222 1() d d( )d2SVVEHEVEHVt S根据能量密度的定义，上式又可表示为根据能量密度的定义，上式又可表示为 d() dlVSw VEHdSp VtV上式称为上式称为时变电磁场的能量定理时变电磁场的能量定理。任何满足上述麦克斯韦方程的时变。任何满足上述麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理。等式左端为体积内能量在单位时间内电磁场均必须服从该能量定理。等式左端为体积内能量在单位时间内的减少，右端为单位时间体积内的