高等数学(同济第六版)D8_4[1]

1、四、二次曲面四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面曲面及其方程 第八八章 定义定义1. 如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念故所求方

2、程为故所求方程为例例1. 求动点到定点求动点到定点方程方程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹表示上表示上(下下)球面球面 .定义定义2. . 一条平面曲线一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面. .旋转曲线和定直线旋转曲线和定直线称为旋转曲面的称为旋转曲面的母线母线和和旋转轴旋转轴.: 0),(: 轴旋转的旋转曲面轴旋转的旋转曲面绕绕曲线曲线zzyfC : 0),(: 轴轴旋旋转转

3、的的旋旋转转曲曲面面绕绕曲曲线线yzyfC : 0),(: 轴轴旋旋转转的的旋旋转转曲曲面面绕绕曲曲线线xyxfC : 0),(: 轴旋转的旋转曲面轴旋转的旋转曲面绕绕曲线曲线zzxfC 其余依此类推其余依此类推. . 0),(22 zyxf. 0),(22 zxyf. 0),(22 zyxf. 0),(22 zyxf例例3. 试建立顶点在原点试建立顶点在原点, 旋转轴为旋转轴为z 轴轴, 半顶角为半顶角为的圆锥面方程的圆锥面方程. 解解: 在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为绕绕z z 轴旋转时轴旋转时, ,圆锥面的方程为圆锥面的方程为两边平方两边平方定义定义3.平行定直线并沿定曲

4、线平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线移动的直线 l 形成形成的轨迹叫做的轨迹叫做柱面柱面. 表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.C 叫做叫做准线准线, l 叫做叫做母线母线.222Ryx表示表示圆柱面圆柱面. . xyzl1M一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴; ;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴; ;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2.

5、母线母线四、二次曲面椭圆锥面的形成 研究曲面的伸缩变形法研究曲面的伸缩变形法 平面图形的伸缩变形法平面图形的伸缩变形法.1. .椭圆锥面椭圆锥面 ,222222zaybax 22222zbyax 倍倍可可得得椭椭圆圆锥锥面面轴轴方方向向伸伸缩缩沿沿把把圆圆锥锥面面abyzayx2222 22222zbyax 2.椭球面椭球面 得旋转椭球面得旋转椭球面 椭球面的形成椭球面的形成 1 222222 czbyax122222czayx 3.单叶双曲面单叶双曲面 单叶双曲面的形成单叶双曲面的形成 得旋转单叶双曲面得旋转单叶双曲面 , 1 2222轴旋转轴旋转绕绕平面上的双曲线平面上的双曲线把把zcza

6、xxoz 122222czayx 4.双叶双曲面双叶双曲面 双叶双曲面的形成双叶双曲面的形成 绕绕 x 轴旋转轴旋转, 得旋转双叶双曲面得旋转双叶双曲面 1 2222 czaxzox平面上的双曲线平面上的双曲线把把122222cyzax 5.椭圆抛物面椭圆抛物面 椭圆抛物面的形成椭圆抛物面的形成 得旋转抛物面得旋转抛物面, 22轴旋转轴旋转绕绕平面上的抛物线平面上的抛物线把把zzaxzox zayx222 6.双曲抛物面双曲抛物面 双曲抛物面与平面双曲抛物面与平面x t的截痕的截痕 l 为平面为平面x t上的抛上的抛物线物线截痕截痕 当当 t 变化时变化时 l 的形状不变的形状不变 位置只作位

7、置只作平移平移 而而 l 的顶点的轨迹的顶点的轨迹L为平面为平面y 0上的抛物线上的抛物线 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组例如例如, ,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. C表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C. ?)2()2(,222222表表示示什什么么曲曲线线又又

8、如如，方方程程组组 ayaxyxaz. 2 , )0 ,2( , )2()2(222的圆周的柱面的圆周的柱面为为半径半径为中心为中心面上以点面上以点准线是准线是轴轴母线平行于母线平行于表示表示aaxOyzayax )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二二、空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程 动点从动点从A点出发，点出发，经过经过t时间，运动到时间，运动到M点点, , Atax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数为参数，解解: :xyzo 螺旋线的重要性质螺旋线的重要性质,:00 .:00 bbbz .2 , 2

9、bh 上升的高度上升的高度时时当当 上升的高度与转上升的高度与转过的角度成正比过的角度成正比. . .2在工程技术上叫做螺距在工程技术上叫做螺距bh 例例2. 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:解解: 将第二方程变形为将第二方程变形为故所求为故所求为三、空间曲线在坐标面上的投影 投影柱面与投影柱面与xOy面的交线叫做曲线面的交线叫做曲线C在在xOy面上的投影曲线面上的投影曲线, , 或简称投影或简称投影. . 类似地可以定义曲线类似地可以定义曲线C在其它坐标在其它坐标面上的投影面上的投影. . v投影柱面与投影投影柱面与投影( (曲线曲线) ) 以空间曲线以空间曲线C为准线

10、、母线平行于为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线轴的柱面叫做曲线C关于关于xOy面的投影面的投影柱面柱面. .投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线v投影投影( (曲线曲线) )的确定的确定 设空间曲线设空间曲线C的一般方程的一般方程为为 方程组中的两个方程消去变量方程组中的两个方程消去变量z后可后可得一个关于得一个关于x, y的方程的方程 H(x y)0 曲线曲线C在在xOy面上的投影曲线的方程为面上的投影曲线的方程为 三、空间曲线在坐标面上的投影这就是曲线这就是曲线C关于关于xOy面的投影柱面的方程面的投影柱面的方程. . 投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的

11、投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程空间曲线空间曲线投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线 例例3. 已知两球面的方程为已知两球面的方程为x2 + y2 + z2=1和和 x2 + (y-1)2 + (z-1)2 = 1 求它们的交线求它们的交线C在在xOy面上的投影方程面上的投影方程. . 解解： x2 y2 z2 2y 2z 1 将将x2 y2 z2 1代入得代入得 1 2y 2z 1 即即y z 1. . 将将z 1 y代入方程代入方程x2 y2 z2 1 得得 x2 y2 (1 y)2 1 即即

12、x2 2y2 2y 0. 方程方程x2 (y 1)2 (z 1)2 1化为化为 两球面的交线两球面的交线C在在xOy面上的投影方程为面上的投影方程为 这就是交线这就是交线C关于关于xOy面的投影柱面方程面的投影柱面方程. . 空间立体空间立体曲面曲面补充补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影例如例如, ,所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域为面上的投影区域为: :上半球面上半球面和锥面和锥面在在 xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线二者交线二者交线所围圆域所围圆域:二者交线在二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域 .在各坐标

13、面上的投影在各坐标面上的投影椭圆抛物面椭圆抛物面)2(222 zzyx-10-50510 x-10-50510y02040z-10-50510 x 第八八章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组例如例如, ,方程组方程组表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C. C )()()(tzztyytxx空间曲线的参数方程空间曲线

14、的参数方程二二、空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影 投影柱面与投影柱面与xOy面的交线叫做曲线面的交线叫做曲线C在在xOy面上的投影曲线面上的投影曲线, , 或简称投影或简称投影. . 类似地可以定义曲线类似地可以定义曲线C在其它坐标在其它坐标面上的投影面上的投影. . v投影柱面与投影(曲线) 以空间曲线以空间曲线C为准线、母线平行于为准线、母线平行于z z轴的柱面叫做曲线轴的柱面叫做曲线C关于关于xOy面的投面的投影柱面影柱面. .投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线v投影(曲线)的确定 设空间曲线设空间曲线C的一般方程的一般方程为为 方程组中的两个方程消去变量方

15、程组中的两个方程消去变量z后可后可得一个关于得一个关于x, y的方程的方程 H(x y)0 曲线曲线C在在xOy面上的投影曲线的方程为面上的投影曲线的方程为 三、空间曲线在坐标面上的投影这就是曲线这就是曲线C关于关于xOy面的投影柱面的方程面的投影柱面的方程. . 投影柱面投影柱面投影曲线投影曲线消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程内容小结内容小结 空间曲线空间曲线三元方程组三元方程组或参数方程或参数方程 求投影曲求投影曲线线 (如如, 圆柱螺线圆柱螺线)思考与练习思考与练习 P37 题题 1

16、，2，7（展示空间图形展示空间图形）P37 题1 (2)(1)答案答案:(3)P37 题2 (1)思考思考: :交线情况如何?交线情况如何?P37 题2(2)P37 题 7备用题备用题求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程. 解：解： 旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 ,它与所给平面的它与所给平面的思考题思考题,22222 zxzxy交线方程为交线方程为消消去去z得得投投影影柱柱面面, 122 yx在在 面上的投影为面上的投影为xoy.0122 zyx思考题解答