第二章一元函数微分学课题五函数的可导与连续

1、第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续【授课时数授课时数】 总时数：4 学时.【学习目标【学习目标】 1、知道函数导数的定义、几何意义和一些基本初等函数的导数； 2、会用定义求函数的导数； 3、会求曲线在一点处的切线和法线方程； 4、会判断函数在一点处的连续性和可导性。 【重、难点【重、难点】 重点：导数的概念和几何意义，通过变化率问题实例和曲线上一点处的割线的极限，借助多媒体手段引出。 难点：导数的概念和可导与连续的关系，由实例讲解方法。第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续,212gts，运

2、动方程为自由落体运动例如)(0ts)(0tts1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度0t. )(00tvt 时刻的瞬时速度求tt0,0tt 的时刻取一邻近于, t运动时间tsv平均速度tgtttg20212021)(.210tggt021000)(lim)v(tgttggtt瞬时速度ts第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续1.变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度:, )(),(00分成三步时刻的瞬时速度求为tvttss 相应的位移增量为以增量给时间时刻在,) 1 (0ttt)()(00tsttss为这段时间内的平均速度在 t

3、)2(时刻瞬时速度得的极限求平均速度在00) 3(t，t 运动方程作变速直线运动的物体一般地，ttsttstsv)()(00ttsttststt)()(limlim)v(t00000(以匀代变)第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续2.曲线的切线曲线的切线割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的

4、极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连

5、续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.曲线的切线曲线的切线第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题

6、五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 T0 xxoxy( )yf xCNM如图如图, 如果割线如果割线MNMN绕点绕点M M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,MT,直线直线MTMT就称为曲线就称为曲线C C在点在点M M处的处的切线切线. .极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT.lim)()(limtan0000 xyxxxfxfkxxx第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连

7、续函数的可导与连续,)(,)(,0);()(,)(0000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxfy记为处的导数在点数并称这个极限为函处可导在点函数则称时的极限存在之比当与如果取得增量应地函数相时处取得增量在当自变量有定义及其左右近旁在点设函数定义定义第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续0000()()()lim.hf xhf xfxh其它形式其它形式0000( )()()lim.xxf xf xfxxx00000()( )limlimx xxxf xxf xyyxx 即即000)()()(0 xxxxxxxfdxddx

8、dyxfxf或或或或第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续.,0而变化的快慢程度因变量随自变量的变化了它反映处的变化率导数是因变量在点 x.),()(,),()(内可导在开区间就称函数处都可导内的每点在开区间如果函数baxfbaxfy 说明：说明：.)()()(0000变化率为端点的区间上的平均和在以是函数比值xxxxfyxxfxxfxy第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记记作作的的导导函函数数这这个个函函数数叫叫做做原原来

9、来函函数数导导数数值值的的一一个个确确定定的的都都对对应应着着对对于于任任一一 xxfxxfyx )()(lim0即即hxfhxfxfh)()(lim)(0或0)()(0 xxxfxf第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续2.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx;)()(lim)()(lim)(0000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续如果如果)(xf在开

10、区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxxxxxxf xxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)(0存存在在xf 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存存在在xf xxfxxfx)()(lim000若xxxxx)()(lim000,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且第二章第二章 一元函数微分学

11、一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续步骤步骤:(1)()( );yf xxf x 求增量()( )(2);yf xxf xxx算比值0(3)lim.xyyx 求极限 例例11.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解xxfxxfxfx)()(lim)(0 xCCx0lim. 0 . 0)( C即即第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例22.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh

12、 .cos x (sin )c s .oxx 即44cos)(sin xxxx.22 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例33.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地1().()xxR )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例44.)1, 0()(的导数的

13、导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax ().lnxxaaa 即().xxee )1 (loglim10ttataatxh令tatxta10)1(log1limttaxta10)1(limlog1第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例55.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解xxxxyaaxlog)(loglim0.ln1)(logaxxa即1(ln ).xx xxxxxax1)1 (loglim0 xxaxxxx)1 (loglim10.log1exa

14、 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例66.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续导数基本公式导数基本公式0)(.1C1)( . 2xxxxxxeeaaa)( ,ln)(.3xxaxxa1)(ln,ln1)(log

15、. 4xxcos)(sin.5xxsin)(cos，数的定义求函数的导数如果没有明确要求用导.来求函数的导数那么我们可用以上公式第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例77.的导数求下列函数解解653221132xxxxxy616565)(xxy32. 1xxxy 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例77.的导数求下列函数解解xxxeey)9(32) 13ln2(3)9ln()9()9(2xxxxeeeey02,3. 2xxxyey13ln2) 13ln2(3020 xxxxey第二

16、章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续oxy)(xfy T0 xM1.几何意义几何意义)(,tan)(,)(,()()(0000为为倾倾角角即即切切线线的的斜斜率率处处的的在在点点表表示示曲曲线线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为000()().yyfxxx0001)().(yyxxfx 是非零常数)()1(0 xf 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为0)(0 xfy0)()2(0 xf00 xx切线方程为切线方程为法线方程为

17、法线方程为00 xx)() 3(0 xf0)(0 xfy第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例88.,)2 ,21(1方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率处的切线的在点求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续2.物理意义物理意义

18、非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :位移对时间的导数为物体的瞬时位移对时间的导数为物体的瞬时速度速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续证证,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxf

19、y )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的角点的角点为为处不可导处不可导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课

20、题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy

21、第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续.)()(,)(. 4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例88.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 x

22、xxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处处不不可可导导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续 例例99.0,0, 00,1arctan)(2处的连续性与可导性在讨论函数xxxxxxf解解且及左右近旁有定义函数在,0 x001arctanlim0)0()(lim200 xxxxfxfxx01tanlim20 xxx.又可导一定连续.0)(处可导在 xxf.0)(处可导且连续在 xxf第二章第二章 一元函数微分学一元函数微

23、分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续处连续在0)(xxxfy0)()(limlim0000 xfxxfyxx)()(lim00 xfxfxx处可导在0)(xxxfy存在xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在00)()(lim0 xxxfxfxx第二章第二章 一元函数微分学一元函数微分学课题五课题五 函数的可导与连续函数的可导与连续1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.