第九章第二讲

1、?本章共本章共7讲讲第三篇第三篇 相互作用和场相互作用和场第九章第九章 电相互作用和静电场电相互作用和静电场 9.3 9.3 高斯定理高斯定理高斯高斯（德（德 ）（ 1777-18551777-1855）德国数学家和物理学家。德国数学家和物理学家。长期从事于数学并将数学应用于物理长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的研学、天文学和大地测量学等领域的研究究. .著述丰富，成就甚多。他一生中著述丰富，成就甚多。他一生中共发表共发表323323篇（种）著作，提出篇（种）著作，提出404404项项科学创见。科学创见。在在CGSCGS电磁系单位制中磁感应强度的电磁系单位制中磁感应

2、强度的单位定为高斯，便是为了纪念高斯在单位定为高斯，便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。电磁学上的卓越贡献。其上每点切向其上每点切向: : 该点该点 方向方向E电电场场线线通过垂直通过垂直 的单位面积的条数等于场强的大小，的单位面积的条数等于场强的大小，即其疏密与场强的大小成正比即其疏密与场强的大小成正比 . . E一一. .电场线电场线 ：空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。空间矢量函数，描述电场参与动量传递的性质。定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数定量研究电场：对给定场源电荷求出其分布函数定性描述电场整体分布：电场线方法定性描述电场整体分布：电场线方法 E rE有限长均匀带

3、电有限长均匀带电直线的电场线直线的电场线q 实例：实例：电偶极子的电场线电偶极子的电场线+ +- -从方法论上认识电场线的意义从方法论上认识电场线的意义牛牛 顿：顿： 空间是盛放质点的容器空间是盛放质点的容器. . 法拉第：法拉第： 在空间寻找力的载体，提出场的概念，在空间寻找力的载体，提出场的概念， 并设想空间贯穿着力线，来描述场。并设想空间贯穿着力线，来描述场。麦克斯韦：麦克斯韦：总结出法拉第力线描述的数学形式总结出法拉第力线描述的数学形式. . 建立严密的电磁场方程建立严密的电磁场方程 . . “在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力在法拉第的许多贡献中，最伟大的一个就是力线的概念了。

4、借助于它可以把电场和磁场的许多性线的概念了。借助于它可以把电场和磁场的许多性质，最简单而又极富启发性的表示出来。质，最简单而又极富启发性的表示出来。” W.ThomsonW.Thomson二二. . 电通量电通量1 1）通过面元的电通量：）通过面元的电通量：SESESEed)cos(ddd 微元分析法：微元分析法：以平代曲；以平代曲； 以恒代变。以恒代变。面积元矢量：面积元矢量：nSSdd 面积元范围内面积元范围内 视为均匀视为均匀E通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过通过电场中某一给定面的电场线的总条数叫做通过该面的电通量该面的电通量 . . nSdES引入场线（力线）求空间矢量的通

5、量和环流是描述空引入场线（力线）求空间矢量的通量和环流是描述空间矢量场的一般方法间矢量场的一般方法 . . nSdES sseeSEdd 2 2）通过曲面）通过曲面 的电通量的电通量S2 2 2 3 3）通过封闭曲面的电通量）通过封闭曲面的电通量 seSEd SEEnn 2/0 2/ 规定：封闭曲面外法向为正规定：封闭曲面外法向为正穿入的电场线穿入的电场线穿出的电场线穿出的电场线00 ee 练习练习1 1：空间有点电荷空间有点电荷q q ，求下列情况下穿过曲面的电通量求下列情况下穿过曲面的电通量1) 1) 曲面为以电荷为中心的球面曲面为以电荷为中心的球面2) 2) 曲面为包围电荷的任意封闭曲面

6、曲面为包围电荷的任意封闭曲面3) 3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面曲面为不包围电荷的任意封闭曲面单个点电荷场中，由单个点电荷场中，由 + +q q 发出的电场线延伸到发出的电场线延伸到 ，由由 而来的电场线到而来的电场线到 - -q q 终止。在无电荷处，电场线终止。在无电荷处，电场线不中断、不增加。不中断、不增加。 1 1）曲面为以电荷为中心的球面）曲面为以电荷为中心的球面0:0 eq 0:0 eq 0 qSEr0 qSEr 02030d44dd qSrqrSrqSEe结果与结果与 r 无关无关2 2）曲面为包围电荷的任意封闭曲面）曲面为包围电荷的任意封闭曲面qSES S qSE0 qe

7、sse 00 e:q 00 e:q 3 3）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面）曲面为不包围电荷的任意封闭曲面结论：结论： seSEd 外外在在内内在在SqSqq00 思考：思考：1 1）是否存在）是否存在 q q 恰好在恰好在 S S 面上的情况？面上的情况？ 0 se S qE高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的带电体均不能高斯面是无厚度的数学面。在其附近，任何实际的带电体均不能简化为点电荷。所以，只可能存在简化为点电荷。所以，只可能存在q在在S外、在外、在S内，或一部分在内，或一部分在S外，一部分在外，一部分在S内的情况，而没有内的情况，而没有q恰好在恰好在S上的情况。上的情况。2

8、2）上述结论与库仑定律）上述结论与库仑定律 有何关系？有何关系？21 rF 正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿过高斯面正是由于库仑定律的平方反比关系，才能得到穿过高斯面的电通量计算结果与的电通量计算结果与 r 无关，所以高斯定理是库仑定律平无关，所以高斯定理是库仑定律平方反比关系的反映。方反比关系的反映。练习练习2 2：空间有点电荷系空间有点电荷系 ，求穿过空间求穿过空间任意封闭曲面任意封闭曲面 S S 的电通量的电通量nq.q,q211q2qnqS曲面上各点处电场强度：曲面上各点处电场强度：nEEEE 21包括包括 S S 内、内、S S 外，所有电荷的贡献。外，所有电荷的贡献。穿过

9、穿过 S S 的电通量：的电通量： 内内qSESESESEeneense021211dddd 只有只有 S S 内的电荷对穿过内的电荷对穿过 S S 的的电通量有贡献。电通量有贡献。1q2qnqS练习练习3 3：请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量请总结穿过静电场中任意封闭曲面的电通量与空间电荷分布的关系。与空间电荷分布的关系。三三 . .高斯定理高斯定理静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量静电场中，通过任意封闭曲面（高斯面）的电通量 等于该封闭曲面所包围的电量代数和的等于该封闭曲面所包围的电量代数和的 倍：倍：01 内内qSEs01d 高斯面，封闭曲面高斯面，封闭曲面 :S真空电容

10、率真空电容率:0 S S 内的净电荷内的净电荷 ：内内 q通过通过S S的电通量，的电通量， 只有只有S S内电荷有贡献内电荷有贡献 :es S S上各点的总场，上各点的总场，S S 内外所有电荷均有贡献内外所有电荷均有贡献. .:E1.1.式中各项的含义式中各项的含义2. 2. 揭示了静电场中揭示了静电场中“场场”和和“源源”的关系的关系电场线有头有尾电场线有头有尾 :q :q 发出发出 条电场线，是电场线的条电场线，是电场线的“头头” ” 吸收吸收 条电场线，是电场线的条电场线，是电场线的“尾尾” ” 0 q0 q“头头” ” “尾尾” ” “源源”静电场的重要性质静电场的重要性质 静电场

11、是有源场静电场是有源场3.3.反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。反映了库仑定律的平方反比关系，而且更普遍。4.4.利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场成立条件：成立条件：静电场静电场 求解条件：求解条件：电场分布具有某些对称性：电场分布具有某些对称性：才能找到恰当的高斯面，使才能找到恰当的高斯面，使 中待求中待求 的大的大小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求小为常量，并且能够提到积分号外，从而简便地求出出 分布。分布。 sSE dEE常见类型：常见类型：场源电荷分布场源电荷分布球对称性球对称性轴对称性轴对称性面对称性面对称

12、性例一例一 求均匀带电球体（求均匀带电球体（q、R ）的电场分布的电场分布 RoqrEEddEEdd qq ddPS对称性分析对称性分析: :以以 O 为中心，为中心，r 为半径的球面为半径的球面 S 上各点彼此等价上各点彼此等价 大小相等大小相等方向沿径向方向沿径向EE以以 O 为中心的球面为中心的球面 S 上各点上各点以半径以半径 r 的同心球面的同心球面S为高斯面为高斯面确定确定高斯面高斯面: :RoqEEddEEdd qq ddPSr由高斯定理：由高斯定理： 内内qrESEs0214d )r()q(E204 内内 ssrESESE24d0cosd 通过通过 S S 的电通量：的电通量：

13、204 rqEqq:Rr 外外内内30334 3434 RqrErRqq:Rr 内内内内)r()q(E204 内内204Rq or 21r rER球体外区域球体外区域 电量集中电量集中于球心的点电荷于球心的点电荷球体内区域球体内区域rE 讨论：讨论：1. 1. 求均匀带电球面（求均匀带电球面（ ）的电场分布，并画出）的电场分布，并画出 曲线曲线. .q,RrE2. 2. 如何理解带电球面如何理解带电球面 处处 值突变？值突变？ERr )( 4)( 30RrrrqRrE 0rRoE21 r 高斯面：高斯面：半径半径 r 的同心球面的同心球面带电面上场强带电面上场强 突变是采用面模型的结果，实际问

14、突变是采用面模型的结果，实际问题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃题中计算带电层内及其附近的准确场强时，应放弃面模型而还其体密度分布的本来面目面模型而还其体密度分布的本来面目.E)( 43)()( )(3)( 0 2202031322123101RrrqrRRRrRrRrRrE 计算带电球层（计算带电球层（ ） 的电场分布的电场分布 ,R,R211R2Ro 带电球层的电场分布带电球层的电场分布21RROEEE厚度厚度较大较大厚度厚度较小较小厚度为厚度为零球面零球面21RRO21RRo racb1R2R 例二例二 无限长均匀带电直线（无限长均匀带电直线（ ）的电场）的电场 qoqddrP

15、EEEEdddd 与与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面.对称性分析：对称性分析： 点处合场强点处合场强 垂直于带电直线垂直于带电直线, ,P EP与与 地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面地位等价的点的集合为以带电直线为轴的圆柱面.对称性分析：对称性分析： 点处合场强点处合场强 垂直于带电直线垂直于带电直线, ,P EP取长取长 L L 的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面的同轴圆柱面，加上底、下底构成高斯面 S S 侧侧上上下下SESESESESddddrLESESESE 2d0cosd2cosd2cos 侧侧上上下下LS qoqd

16、drPEEEEdddd 0012d LqrLESE 内内由高斯定理：由高斯定理：rE02 rE1 LS qoqddrPEEEEdddd roE讨论：讨论：1.无限长均匀带电柱面无限长均匀带电柱面( )的电场分布的电场分布 ,REroRR 对称性分析：对称性分析：柱对称柱对称选高斯面选高斯面:同轴圆柱面同轴圆柱面由高斯定理计算由高斯定理计算rE:RrE:Rr020 2.2.求无限长、求无限长、 均匀带电柱体的电场分布时，高斯面均匀带电柱体的电场分布时，高斯面如何选取？如何选取？3.3.当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时，当带电直线，柱面，柱体不能视为无限长时， 能否用高斯定理求电场分布？能否

17、用高斯定理求电场分布？ 如果不能，是否意味着高斯定理失效？如果不能，是否意味着高斯定理失效？讨论：讨论：高高斯斯面面lr高高斯斯面面lr不能，不能，不是。不是。 例三例三 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ） 如何构成封闭的高斯面？如何构成封闭的高斯面？对称性分析：对称性分析：视为无限长均匀带电直线的集合视为无限长均匀带电直线的集合 方向方向 垂直于带电平面，垂直于带电平面，离带电平面距离相等的场点离带电平面距离相等的场点彼此等价彼此等价EoxEdE dPP 高斯面：高斯面：两底面与带电平面平行、离带电平面距离相两底面与带电平面平行、离带电平面距离相等，

18、轴线与带电平面垂直的柱面。等，轴线与带电平面垂直的柱面。SESESESE 2d2cosd0cosd0cos侧侧右右左左 右右侧侧左左SESESEdddSESd xonnS S 0012 SqSESE 内内d由高斯定理：由高斯定理：02 02 xoE02 E其指向由其指向由 的符的符号决定号决定 讨论：讨论： 1.1.本题是否还有其它构成高斯面的方法？本题是否还有其它构成高斯面的方法？底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的任意底面与带电平面平行、轴线与带电平面垂直的任意形状的柱面均可（不一定为圆柱面）。形状的柱面均可（不一定为圆柱面）。可以为任意形状可以为任意形状2.2.带电平面上电场强度突变的原因？带电平面上电场强度突变的原因？采用面模型，未计带电平面的厚度。采用面模型，未计带电平面的厚度。自学教材自学教材226226页页 例例6 6：计算厚计算厚 h 的均匀带电无限大平行气体层的的均匀带电无限大平行气体层的 电场分布。电场分布。yo