线性代数 矩阵的初等变换

1、 目录 上页 下页 返回 结束 主讲教师主讲教师 理学院理学院 吕建聚吕建聚E-mail: Tel:线 性性 代代 数数 目录 上页 下页 返回 结束 线线 性性 代代 数数 教材教材线性代数线性代数 程林凤等程林凤等 高教出版社高教出版社 主要参考书主要参考书线性代数线性代数同济同济4 4版版线性代数学习指导线性代数学习指导中国矿业大学出版社中国矿业大学出版社最近十年的考题（第二周周三下午最近十年的考题（第二周周三下午 2:30500理理A327出售，每册出售，每册5元元 目录 上页 下页 返回 结束 2012-2013学年 第一学期线性代数答疑安排地点：教1-C3

2、00(答疑室) 时间：周三7-8节课 答疑安排答疑安排另外，希望参加B层次的同学抓紧报名 目录 上页 下页 返回 结束 第一章第一章 线性方程组线性方程组1.1 1.1 线性方程组线性方程组 1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换 1.3 1.3 线性方程组的矩阵解法线性方程组的矩阵解法 目录 上页 下页 返回 结束 1.1 1.1 线性方程组线性方程组 一一 引例引例解解路口路口A：1450 x 2=610 x 路口路口B：路口路口C：路口路口D：2520 x 3=480 x 3390 x 4=600 x 4640 x 1=310 x 1223341416040210330 xxx

3、xxxxx 即即1 交通问题交通问题 目录 上页 下页 返回 结束 2 化学方程式化学方程式 解解适当地选择适当地选择 1234,xxxx，使化学反应的方程式，使化学反应的方程式 12223246126xCOx H Ox Ox C H O为平衡方程式为平衡方程式.令方程式两边的碳、氢和氧原子分别相等令方程式两边的碳、氢和氧原子分别相等, 得得141234246226212xxxxxxxx1412342460: 226060 xxxxxxxx即 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1 解线性方程组解线性方程组 12312312322421442xxxxxxxxx12312xxx由由第第二二个个

4、方方程程解解出出 代代入入一一、三三方方程程 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1 解线性方程组解线性方程组 12312312322421442xxxxxxxxx解解 (1)(2)12312312321224442xxxxxxxxx(2) 2 (1) 12321xxx23322xx123442xxx12312312322421442xxxxxxxxx(3) 4 (1) 1232321322xxxxx23342xx 目录 上页 下页 返回 结束 (3) (2) 1232321322xxxxx324x 123232321322342xxxxxxx 回代回代 342x231(22)3xx1231

5、2xxx 22 1 目录 上页 下页 返回 结束 n元线性方程组的一般形式元线性方程组的一般形式: 11 11221121 1222221 122. . . . .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb齐次线性方程组齐次线性方程组: 非齐次线性方程组非齐次线性方程组: 0(1,2,.,)ibim0ib不全为线性方程组的解集线性方程组的解集: 方程组解的全体方程组解的全体 二二. 基本概念基本概念 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？如何判别方程组无解？有唯一解？有无穷多解？(2) 如何求方程组的通解？如何求方程组

6、的通解？(3) 根据方程组解的判别定理，进行理论证明。根据方程组解的判别定理，进行理论证明。要解决的问题：要解决的问题：11 11221121 1222221 122. . . . .nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb(3)去掉，这里并没有涉及去掉，这里并没有涉及 目录 上页 下页 返回 结束 三三 解法解法1 线性方程组的同解变换线性方程组的同解变换 （1）交换任意两个方程的位置；）交换任意两个方程的位置； （2）任一个方程的两边同乘一个非零的实数；）任一个方程的两边同乘一个非零的实数； （3）任一个方程的倍数加到另一个方程上）任一个方程的倍数加到另

7、一个方程上 2 求解举例求解举例 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.2 解引例解引例1.1中的方程组中的方程组 1223341416040210330 xxxxxxxx 解解 1223341416040210-+-330 xxxxxxxx (4)+(1)+2 +4 （ ）（ ）1223341604021000 xxxxxx 目录 上页 下页 返回 结束 142434330170210 xxxxxx4()xk k设为任意实数 ，则方程组的解为1234330170210 xkxkxkxk1223341604021000 xxxxxx 目录 上页 下页 返回 结束 (12,12, )ijm na

8、 imjnmn由个数， ，；， ，排成的 行 列的数表由个数， ，；， ，排成的 行 列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 A一一 定义定义,()()ijm nijm nmnAaAaA称为 行 列矩阵简记为或或。称为 行 列矩阵简记为或或。,( , )ijaAiji j称为矩阵 的第行第列的元素 简称元素。称为矩阵 的第行第列的元素 简称元素。1.2 1.2 矩阵及其初等变换矩阵及其初等变换 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 11的矩阵就是一个数。的矩阵就是一个数。 (2) 行数与列数都等于行数与列数都等于 n 的矩阵的矩阵 A，称为，称为 n 阶方阵或阶方阵或

9、n 阶阶矩阵。矩阵。 (3) 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 naaaA,21 称为行矩阵或称为行矩阵或 n 维行向量。维行向量。ai 称为称为A的第的第 i 个分量。个分量。称为列矩阵或称为列矩阵或 m 维列向量。维列向量。(4) 只有一列的矩阵只有一列的矩阵 maaaA21【注注】几种特殊矩阵几种特殊矩阵 目录 上页 下页 返回 结束 (5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。(6) 矩阵矩阵 111E(约定未写出元素全为零约定未写出元素全为零)称为单位矩阵。称为单位矩阵。(7) 矩阵矩阵 nD 21称为对角矩阵。记作称为对角矩阵。记作12(,.,)nDd

10、iag 目录 上页 下页 返回 结束 二二 两个矩阵相等两个矩阵相等设设 ，如果，如果(),()ijm nijm nAaBb(1,;1, )ijijab im jn则称则称 ，记作，记作 A = B。 0000 000000问问： 与与 相等吗？相等吗？ 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，矩阵的三种矩阵的三种(1) 交换矩阵的某两行，记为交换矩阵的某两行，记为jirr (2) 以不等于的数乘矩阵的某一行，记为以不等于的数乘矩阵的某一行，记为irk 记为记为jirkr 类似定义三种类似定义三种jiijikcckkcc

11、c )3()0()2()1(以上六种变换统称为矩阵的以上六种变换统称为矩阵的三三 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 目录 上页 下页 返回 结束 矩阵的初等行变换举例。矩阵的初等行变换举例。12rr 212411214142A112121244142 目录 上页 下页 返回 结束 212rr 112103224142112103220342314rr 32rr 112103220024 目录 上页 下页 返回 结束 【注注2】jirr jirr ikrirk1jikrr jikrr 初等列变换也有类似的结果初等列变换也有类似的结果逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换 目录 上页 下页 返回 结束

12、及及( (行最简行最简形就是所谓的最简单的形就是所谓的最简单的“代表代表”) ) 书书P9 P9 定义定义1.1.4 0000100021200211 00000000002100010230行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 目录 上页 下页 返回 结束 行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵 0000100001100201 00000000002100010210（1）台阶左下方元素全为零台阶左下方元素全为零；（2）每个台阶上只有一行每个台阶上只有一行；（3）每个台阶上第一个元素不为零每个台阶上第一个元素不为零。行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵：行最简阶梯形行最简阶梯形 (1)(2)(3) + (4)台阶上的第

13、一个元素为台阶上的第一个元素为1,1,且其所在列其它元素全为零。且其所在列其它元素全为零。 目录 上页 下页 返回 结束 243022301211)1( 420022301211)2( 210020103011)3( 210020101001)4( 矩阵矩阵(2)称为称为， 矩阵矩阵(4)称为称为 目录 上页 下页 返回 结束 0000100021200211 00000000002100010230下面矩阵也是下面矩阵也是行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵下面矩阵是下面矩阵是行最简阶梯形矩阵行最简阶梯形矩阵 0000100001100201 00000000002100010210 目录 上页 下页

14、返回 结束 【定理定理1.1】 每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为每个非零矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵, 进而化为行最简阶梯形矩阵进而化为行最简阶梯形矩阵. 21112112144622436979A 9796321132211124121121rr 321r 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 31000620000111041211221r243rr 235rr 例例1 目录 上页 下页 返回 结束 0000031000011104121110104011030001300000B43rr 342rr 21rr 3

15、2rr 31000620000111041211【问题问题】如果可以利用初等列变换，矩阵如果可以利用初等列变换，矩阵B可以化简成的最可以化简成的最简单形式是什么？简单形式是什么？加注：阶梯形加注：阶梯形不唯一，最简不唯一，最简阶梯形唯一阶梯形唯一此问题可以考虑不要此问题可以考虑不要 目录 上页 下页 返回 结束 接例接例1 97963422644121121112 00000310003011040101r43 cc 00000001000001000001 00000301003001040001 00000301003101041001214ccc 3215334cccc OOOEr形状为形状为 目录 上页 下页 返回 结束 等价具有下列性质：等价具有下列性质：定义定义2 2、如果矩阵如果矩阵B B可以由矩阵可以由矩阵A A经过一系列初等经过一系列初等变换得到，则称变换得到，则称A A与与B B等价，记为等价，记为 。BA 如果矩阵如果矩阵B可以由矩阵可以由矩阵A经过一系列行初等变换得到，经过一系列行初等变换得到，则称