数理统计与计量讲义学习教案

1、会计学1数理统计数理统计(sh l tn j)与计量讲义与计量讲义第一页，共69页。18:2721.圆的面积(min j)2.自由落体运动；3.水的沸点摄氏100度。2Sr随机事件抛掷硬币，出现正面(zhngmin)还是反面？ 车站等车人数。抽样检验。 必然事件随机事件也是有规律的。概率统计是揭示和研究自然界和人类社会中随机现象数量规律性的一门学科。 第1页/共69页第二页，共69页。18:283注1：可能发生的事件的全体是确定的。注2：试验(shyn)（观察）是可重复的。(1) 不确定性在该现象发生之前，人们(rn men)无法知道将会出现那一种结果； (2) 统计规律性每一个可能结果出现(

2、chxin)的可能性的大小是确定的。数学家皮尔逊曾投掷硬币 12000次，得正面6019次；24000次，得正面12012次。 第2页/共69页第三页，共69页。18:284二、频率与概率的统计(tngj)定义频率总是在某一定值附近摆动，事件A发生的频率的稳定中心P(A)称为事件A发生的概率。注1：频率与试验有关，但概率是该事件的客观属性。注2：稳定中心不是极限(jxin)。注3：概率总是非负的，最大值为1，代表必然事件，最小值为0，代表不可能事件第3页/共69页第四页，共69页。18:285三、概率的基本(jbn)计算第4页/共69页第五页，共69页。18:286第5页/共69页第六页，共6

3、9页。18:287如果 A 与 B 两事件不可能都发生，就称 A 与 B 互不相容.对于互不相容事件，P(A+B)= P(A)+ P(B) 如果 A 与 B 两事件相互不影响，则称 A 与 B 互相独立. 对于互相独立事件，P(AB)= P(A) P(B) 例：有 10 件同类产品，其中 3 件不合格，从这 10 件产品中连抽 2 次，每次抽 1 次，抽后放回，两次都是不合格品的概率为（ C）。 A 3/10 B9/90 C 9/100 第6页/共69页第七页，共69页。18:288(1). 均匀分布 那么称X服从a, b上的均匀分布，记作 , XU a b:。 如果随机变量X在a, b上取值

4、，并且取每个值是等可能的，即具有概率密度函数 1, a( )0, xbp xba其它 第7页/共69页第八页，共69页。18:289(2). 二项分布 )!( !)1 ()()(knknCppCkXPknknkkn第8页/共69页第九页，共69页。18:2810 对于固定n及p，当k增加时 ,概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值, 随后单调(dndio)减少.二项分布的图形特点：XB(n,p)当(n+1)p不为整数(zhngsh)时，二项概率P(X=k)在k=(n+1)p达到最大值；. . .n=10,p=0.7kPk0第9页/共69页第十页，共69页。18:2811 正态分布是应用

5、(yngyng)最广泛的一种连续型分布. 正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以(suy)通常称为高斯分布. 德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为(rnwi)是正态分布的首次露面.(3). 正态分布 第10页/共69页第十一页，共69页。18:2812正态分布的定义(dngy) 若X的概率密度为),(2NX记作 f (x)所确定(qudng)的曲线叫作正态曲线.xexfx,21)(222)(22其中 和 都是常数， 任意， 0，则称X服从参数为 和 的正态分布. 第11页/共69页第十二页，共69页。18:2813 正态分布 的图形(txng)特点),(2N 正态分布的密

6、度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间(zhngjin)大，左右对称”.第12页/共69页第十三页，共69页。18:2814 决定了图形(txng)的中心位置， 决定了图形(txng)中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形(txng)特点),(2N第13页/共69页第十四页，共69页。18:2815 用上海99年年降雨量的数据(shj)画出了频率直方图.从直方图，我们可以初步看出(kn ch)，年降雨量近似服从正态分布.第14页/共69页第十五页，共69页。18:2816下面是我们用某大学男大学生的身高的数据(shj)画出的频率直方图.红线(hn xin)是拟合的正态密度曲线可见，

7、某大学男大学生的身高(shn o)应服从正态分布.第15页/共69页第十六页，共69页。18:28171, 0的正态分布称为(chn wi)标准正态分布.xexx,21)(22)(x dtexxt2221)(第16页/共69页第十七页，共69页。18:2818它的依据是下面(xi mian)的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个(y )一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 根据上面定理,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以(ky)解决一般正态分布的概率计算问题.),(2NXXY,则 N(0,1) 设第17页/共69页第十八页，共69页。18:2819利用标准正态分布

8、函数(hnsh)数值表，可以解决一般正态分布的概率计算.正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是x0时, (x)的值.当-x0时xx第18页/共69页第十九页，共69页。18:2820),(2NX若XYN(0,1) 若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab第19页/共69页第二十页，共69页。18:2821 一个(y )统计问题总有它明确的研究对象.研究对象的全体称为(chn wi)总体(母体)，总体中每个成员称为个体.研究某批灯泡的质量考察国产 轿车的质量1.总体第20页/共69页第二十一页，共69页。18:2822 然而(rn r)

9、在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.该批灯泡寿命(shumng)的全体就是总体灯泡的寿命国产轿车每公里的耗油量所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体第21页/共69页第二十二页，共69页。18:2823 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取(chu q)若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取(chu q)过程称为 “抽样”，所抽取(chu q)的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为52. 样本(y

10、ngbn)第22页/共69页第二十三页，共69页。18:2824总体（理论分布） ？ 样本 样本值 统计是从手中已有的资料-样本(yngbn)值，去推断总体的情况 总体分布决定了样本(yngbn)取值的概率规律，也就是样本(yngbn)取到样本(yngbn)值的规律，因而可以由样本(yngbn)值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁第23页/共69页第二十四页，共69页。18:28254. 几个(j )常见统计量样本均值样本(yngbn)方差niiXnX11niiXXnS122)(1样本(yngbn)标准差niiXXnS12)(11niiXXnS12)(1在教程中称有偏标准差实际上，对样本容量为

11、n的情况，当有平均值时，由其中的n1个偏差就可以推出剩下的那个偏差，因此，偏差自由度为n1，在公式中使用n1是比较合理的，特别是样本容量不大时。当样本容量很大时，使用 n1与n计算出的标准差相差不大。另外，使用n1也避免了样本容量为1时还能求出标准差的情况。极差minmaxXXR第24页/共69页第二十五页，共69页。18:2826总体(zngt)样本(yngbn)（总体参数）（估计量）第25页/共69页第二十六页，共69页。18:2827频率(pnl)由高到低第26页/共69页第二十七页，共69页。18:28282.直方图功能：掌握质量数据的分布(fnb)和估算不合格品率步骤：1）收集数据，

12、不少于50-100个2）分析数据，计算极差R Xmax Xmin3）确定组数k和组距h，组数k根据样本容量定，hR/（k-1）4）确定组界，对于第一组：下限：Xminh/2；上限：Xminh/2；第27页/共69页第二十八页，共69页。18:2829判断质量(zhling)分布形态第28页/共69页第二十九页，共69页。18:28303,3如果没有落在这一区间，则认为出现(chxin)了异常。应用方法：以下控制线UCL和上控制线LCL取代3,3 以中线(zhngxin)CL取代中线CL，下控制线UCL和上控制线LCL，为 和 的函数，应注意：XRXR批平均值的均值，不是整体均值批级差的均值，不

13、是整体级差第29页/共69页第三十页，共69页。18:2831基本思想：从N件（不合格品数为D）抽取n件，规定n件中允许(ynx)不合格数上限为c，当不合格品数量d小于或者等于c时，认为N件产品都合格，否则不合格。 表示方法：（N，n，c）接收概率：精确方法：近似方法：cdnNdnDNdDCCCpL0)(超几何分布cddnddnqpCpL0)(cddedpL0!)(二项分布泊松分布第30页/共69页第三十一页，共69页。18:2832两种错误：1.第一种错误，将合格产品判为不合格，对生产方不利，生产风险(fngxin)，其概率记为2.第二种错误，将不合格产品判为合格，对使用方不利，使用风险(f

14、ngxin)，其概率记为第31页/共69页第三十二页，共69页。18:2833基本(jbn)思想：从如果总体为正态分布，),(2N),(2nXN，则样本(yngbn)为正态分布标准差已知的一次抽样方案： 最好的抽检方案，相同的样本容量n，得到最好的检验效果；相同的检验效果，只需要较少的样本容量n。 根据第一种错误概率 ，第二种错误概率 ，以及参数m0，m1，求出样本均值的范围，如果样本均值落在此范围内，则判定为合格，否则不合格标准差未知的一次抽样方案： 适用性较好；检验效果随n的增大而改善；要达到与标准差已知的一次抽样方案相同的效果，n要增至（1k2/2）倍（k是合格判定系数）第32页/共69

15、页第三十三页，共69页。18:2834 第33页/共69页第三十四页，共69页。18:2835yxo40003000200010002 4 6 8 10 从图看到, 数据点大致落在一条直线附近, 这告诉我们变量x和y之间大致可看作线性关系.从图中还看到, 这些点又不完全在一条直线上, 这表明x和y的关系并没有确切到给定x就可以唯一(wi y)确定y的程度.假定(jidng)y和x之间存在如下关系：但是由图也可以看到，并不是所有的点都在直线上，也就是说，实际的yi值与理论表达式存在着差异i。随着a和b的变化，由于这种差异也会变化，如何使得这种差异最小？第34页/共69页第三十五页，共69页。18

16、:2836第35页/共69页第三十六页，共69页。18:2837第36页/共69页第三十七页，共69页。18:2838niiniiniiiyyxxyyxxr12121)()()(相关系数可以(ky)检验回归方程的有效性第37页/共69页第三十八页，共69页。18:2839第38页/共69页第三十九页，共69页。18:28401）常见(chn jin)的非线性关系2）相关(xinggun)指标222)() (yyyyRiiR越大，越接近1，表示拟合越好第39页/共69页第四十页，共69页。18:2841第40页/共69页第四十一页，共69页。18:2842l l 术语术语 1.1 1.1 修约间

17、隔修约间隔 确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的数值一经确确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。定，修约值即应为该数值的整数倍。 例例1：如指定修约间隔为：如指定修约间隔为0.1，修约值即应在，修约值即应在0.1 的整数倍中选取，的整数倍中选取，相当于将数值修的到一位小数。相当于将数值修的到一位小数。 例例2：如指定修约间隔为：如指定修约间隔为100，修约值即应在，修约值即应在100 的整数倍中选取，的整数倍中选取，相当于将数值修约到“百”数位。相当于将数值修约到“百”数位。 第41页/共69页第四十二页，共69页。18:28431.2 1.2 有效

18、位数有效位数 对没有小数位且以若于个零结尾的数值，从非零数字最左位向对没有小数位且以若于个零结尾的数值，从非零数字最左位向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数；对右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零）的个数；对其他十进位数，从非零数字最左、位向右数而得到的位数，就其他十进位数，从非零数字最左、位向右数而得到的位数，就是有效位数。是有效位数。 例例1 1：35000，若有两个无效零，则为三位有效数，应写为，若有两个无效零，则为三位有效数，应写为35035010102 2；若有；若有三个无效零，则为两位有效数，应写为三个无效零，则为两位有效数，应写为35 35 10 103 3

19、。 例例2 2：3.2、0.32、0.032、0.0032 均为两位有效位数；均为两位有效位数；0.0320 为三位有效为三位有效位数。位数。 例例3 3：12.490 为五位有效位数；为五位有效位数；10.00 为四位有效位数。为四位有效位数。 第42页/共69页第四十三页，共69页。18:28441.3 1.3 0.5 单位修约（半个单位修约）单位修约（半个单位修约） 指修约间隔为指定数位的指修约间隔为指定数位的 0.5 单位，即修约到指定数位的单位，即修约到指定数位的 0.5 单位。单位。 例如：将例如：将60.28 修约到个数位的修约到个数位的0.5 单位，得单位，得60.5 2 2

20、确定修约位数的表达方式确定修约位数的表达方式 2.1 2.1 指定数位指定数位 a.指定修约间隔为指定修约间隔为10-n（n 为正整数），或指明将数值修约到为正整数），或指明将数值修约到n 位小数；位小数； b.指定修约间隔为指定修约间隔为 1，或指明将数值修约到个数位；，或指明将数值修约到个数位； c.指定修约间隔为指定修约间隔为 10n，或指明将数值修约到，或指明将数值修约到10n 数位（数位（n 为正整数），为正整数），或指明将数值修约到“十”、“百”、“千”数位。或指明将数值修约到“十”、“百”、“千”数位。 2.2 2.2 指定将数值修约成指定将数值修约成n n 位有效位数。位有效位

21、数。 第43页/共69页第四十四页，共69页。18:28453 3 进舍规则进舍规则 3.1 3.1 拟舍弃数字的最左一位数字小于拟舍弃数字的最左一位数字小于5 时，则舍去，即保留的各位数字时，则舍去，即保留的各位数字不变。不变。 例例1 1：将将12.1498 修约到一位小数，得修约到一位小数，得12.1。 例例2 2：将将12.1498 修约成两位有效位数，得修约成两位有效位数，得12。 3.2 3.2 拟舍弃数字的最左一位数字大于拟舍弃数字的最左一位数字大于5；或者是；或者是5，而其后跟有并非全部，而其后跟有并非全部为为0 的数字时，则进一，即保留的末位数字加的数字时，则进一，即保留的末

22、位数字加1。 例例1 1：将将1268 修约到“百”数位，得修约到“百”数位，得13102（特定时可写为（特定时可写为1300）。）。 例例2 2： 将将1268 修约成三位有效位数， 得修约成三位有效位数， 得 127 10 （特定时可写为（特定时可写为 1270） 。） 。 例例3 3：将将10.502 修约到个数位，得修约到个数位，得11。 第44页/共69页第四十五页，共69页。18:28463.3 3.3 拟舍弃数字的最左一位数字为拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为，而右面无数字或皆为0 时，若所保留的末时，若所保留的末位数字为奇数（位数字为奇数（1，3，5，7，9）则

23、进一，为偶数（）则进一，为偶数（2，4，6，8，0）则舍弃。）则舍弃。 例例1 1：修约间隔为修约间隔为0.1（或（或10-1） 拟修约数值拟修约数值 修约值修约值 1.050 1.0 0.350 0.4 例例2 2：修约间隔为修约间隔为 1000（或（或 103） 拟修约数值拟修约数值 修约值修约值 2500 2 103（特定时可写为（特定时可写为 2000） 3500 4 103（特定时可写为（特定时可写为4000） 例例3 3：将下列数字修约成两位将下列数字修约成两位有效位数有效位数 拟修约数值拟修约数值 修约值修约值 0.0325 0.032 32500 32103（特定时可写为（特定

24、时可写为3200） 第45页/共69页第四十六页，共69页。18:2847第46页/共69页第四十七页，共69页。18:28484 0.5单位修约与0.2单位修约 基本思想：将原来数值乘基本思想：将原来数值乘2 2或者或者5 5，修约后，再还原，修约后，再还原 只讲只讲0.5 0.5 单位修约，单位修约，0.2单位修约与其类似单位修约与其类似 将拟修约数值乘以将拟修约数值乘以2，按指定数位依规则修约，所得数值再除以，按指定数位依规则修约，所得数值再除以2。 例如：将下列数字修约到个数位的例如：将下列数字修约到个数位的0.5 单位（或修约间隔为单位（或修约间隔为0.5） 拟修约数值拟修约数值 乘

25、乘2 2A修约值修约值 A修约值修约值 （A） （2A） （修约间隔为（修约间隔为1） （修约间隔为（修约间隔为0 .5） 60.25 120.50 120 60.0 60.38 120.76 121 60.5 -60.75 -121.50 -122 -61.0 第47页/共69页第四十八页，共69页。18:2849第48页/共69页第四十九页，共69页。18:2850第49页/共69页第五十页，共69页。18:28510XX 1.误差的定义(dngy)：测量值与真实值的差异2.相对误差(xin du w ch)实际相对误差%1000X标称相对误差%100X额定相对误差%100maxX最大额定

26、相对误差%100maxmaxX可以作为测量传感器的精度等级maxX为满量程值第50页/共69页第五十一页，共69页。18:28523. 误差(wch)的种类（1）系统误差特点：服从某一确定的规律分类： 定值系统误差：误差大小和方向保持不变 变值系统误差：误差大小和方向按确定的规律变化(binhu) 线性系统误差：误差线性变化(binhu) 周期性系统误差：误差周期性变化(binhu) 复杂规律变化(binhu)的系统误差：误差复杂变化(binhu)（2）粗大误差(wch)： 明显超出确定条件下期望的误差(wch)，往往由于人工疏忽或环境的干扰造成，所以也称疏失误差(wch)或粗差（3）随机误差

27、： 在相同的条件下，误差以不可预定的方式变化，具有随机性。其产生原因是多种因素共同作用的结果。第51页/共69页第五十二页，共69页。18:2853（1）精密度、正确度和精确度4. 误差(wch)对测量结果的影响（2）各误差对结果的影响(yngxing) 随即误差：主要影响(yngxing)精密度 系统误差：主要影响(yngxing)正确度 只有随即误差和系统误差都很小时，精确度才高，结果(ji gu)可靠 粗大误差：对测量结果的歪曲，应剔除 第52页/共69页第五十三页，共69页。18:28545. 误差(wch)的处理第53页/共69页第五十四页，共69页。18:28551.正交试验(sh

28、yn)方法的提出多因素的试验(shyn)问题第54页/共69页第五十五页，共69页。18:2856第55页/共69页第五十六页，共69页。18:2857A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3第56页/共69页第五十七页，共69页。18:2858第57页/共69页第五十八页，共69页。18:2859第58页/共69页第五十九页，共69页。18:2860正交试验法优点： （1）试验点代表性强，试验次数少。 （2）不需做重复试验，就可以估计试验误差。 （3）可以分清因素的主次(zhc)。 （4）可以使用数理统计的方法处理试验结果，提出展望好条件。正交试验（表）法的特点： （1）均衡分散性代表性。

29、（2）整齐可比性可以用数理统计方法对试验结果进行处理。2.正交试验方法的优点(yudin)与特点第59页/共69页第六十页，共69页。18:2861A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3123654789用正交试验(shyn)法安排试验(shyn)只需要9次试验(shyn)A1 A2 A3B3B2B1C1C2C3第60页/共69页第六十一页，共69页。18:2862第61页/共69页第六十二页，共69页。18:2863L8(27)正交表的代号(diho)正交表的横行(hngxng)数字码数（因素的水平数）正交表的纵列数（最多允许安排因素的个数）第62页/共69页第六十三页，共69页。18:2864A温度（）因素水平B时间（Min）C用碱量（x%）123808