第十章应变、应力和屈服条件

1、10-1 10-1 应变张量和应力张量应变张量和应力张量10-2 10-2 屈服条屈服条件件第十章第十章 应变分析、应力分析应变分析、应力分析和屈服条件和屈服条件10-3 10-3 几个常用的屈服条件几个常用的屈服条件10-4 10-4 屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证10-1 10-1 应变张量和应力张量应变张量和应力张量一、应变张量和应力张量一、应变张量和应力张量,1,2,3iiiuvu i jt,11,1,2,322jiiji jj ijiuuuui jxx1 1、应变张量、应变张量2 2、应变率和应变增量、应变率和应变增量,1,2,3xxyxzyxyyzijzxzyzi j3 3、

2、应力张量、应力张量运动速度运动速度,12iji jj ivv应变率应变率应变增量应变增量,1ddd2iji jj iuu321230JJJ1xyzkkJ2222211142xyyzzxxyyzzxijijJJ 33121112211132231122xxyxzyxyyzijjkkizxzyzJJ JJ -应变张量的第一不变量应变张量的第一不变量（体积应变）（体积应变）-应变张量的第二不变量应变张量的第二不变量-应力张量的第三不变量应力张量的第三不变量二、应变张量和应力张量的不变量二、应变张量和应力张量的不变量1 1、应变张量的不变量、应变张量的不变量321230III-应力状态的特征方程应力状

3、态的特征方程1xyzkkI22222112xyyzzxxyyzzxijijII 331 21133xxyxzyxyyzijjkkizxzyzII II -应力张量的第一不变量应力张量的第一不变量-应力张量的第二不变量应力张量的第二不变量-应力张量的第三不变量应力张量的第三不变量2 2、应力张量的不变量、应力张量的不变量三、偏应变张量和偏应力张量三、偏应变张量和偏应力张量 实验表明，对于大多数金属材料，在较大的静水压力作实验表明，对于大多数金属材料，在较大的静水压力作用下，材料仍表现为弹性性质。为此在塑性力学中引进用下，材料仍表现为弹性性质。为此在塑性力学中引进偏偏应变张量应变张量和和偏应力张量

4、偏应力张量。令：令：11133mkkijijmijI 其中：其中：ij- -称为称为张量的偏量张量的偏量10ij- -为为Kronecker（克隆内克尔）（克隆内克尔）符号符号，也称二阶单位张量，也称二阶单位张量m- -平均正应力，取负号即为静水压力部分平均正应力，取负号即为静水压力部分称为称为偏应变张量偏应变张量当：当：ij为应变张量时，则为应变张量时，则mm，而，而ijije称为称为偏应力张量偏应力张量当：当：ij为应力张量时，则为应力张量时，则mm，而，而ijijs1222233201321det23kkijijmijijjkkimmJJIJI I ij的偏量的偏量有如下几点性质：有如下

5、几点性质：ij张量张量1 1、ij和和具有相同的主方向，其不变量可表示为：具有相同的主方向，其不变量可表示为：ij2 2、2J可通过可通过表示为：表示为：ij2222222112222333311122331166J当当2J用主值表示时，有：用主值表示时，有：22221231 2233 113J 2122211.153J3 3、如、如ij的主值满足的主值满足123，则有基本不等式：，则有基本不等式：四、关于四、关于J2的几个定义的几个定义定义定义1 122222222423()()()()3332ijijxyyzzxxyyzzxe eJ- -称为等效应变（或应变强度）称为等效应变（或应变强度）

6、2222222313()()()6()22ijijxyyzzxxyyzzxs sI- -称为等效应力（或应力强度）称为等效应力（或应力强度）在简单拉伸时，如材料不可压缩，由在简单拉伸时，如材料不可压缩，由11223310,2 和和0ijij可得：可得：由由1122330,0和和0ijij可得：可得：定义定义2 222222222322()()()()32ijijxyyzzxxyyzzxe eJ - -称为等效切应变（或切应变强度）称为等效切应变（或切应变强度）222222211()()()6()26ijijxyyzzxxyyzzxTs sI- -称为等效切应力（或切应力强度）称为等效切应力（或

7、切应力强度）在纯剪切时，由在纯剪切时，由1133102 和其它应变分量为零的条件和其它应变分量为零的条件可得：可得： 由由11330 可得：可得：T和其它应力分量为零的条件和其它应力分量为零的条件123111,333v v v v v 考虑物体中的一点，过该点作一外法线n与3个应力主方向有相同角度的斜面，它的3个方向余弦是： 这样的斜面称为等倾面等倾面，一共有8个，由这8个等倾面所构成的微单元体，称为八面体八面体。312定义定义3 3824833ijije eJ- -称为八面体切应变称为八面体切应变821233ijijs sI- -称为八面体切应力称为八面体切应力该平面上的面力向量可写为：由该

8、平面上的面力向量可写为：由而正应力为：而正应力为：1 1223 3,iTvvv2221 1223 312313ijijNvvvvv而切应力为：而切应力为：222228123123222122331113913ijTTN 屈服条件屈服条件是物体内一点进入屈服时，其应力状态所满足是物体内一点进入屈服时，其应力状态所满足的条件。的条件。10-2 10-2 屈服条件屈服条件 对于简单应力状态，可以根据实验很容易确定其屈服条件对于简单应力状态，可以根据实验很容易确定其屈服条件（1 1）单轴拉伸）单轴拉伸 = s （2 2）纯剪）纯剪 = s 对于复杂应力加载，在应力空间中，屈服条件的数学表达对于复杂应力

9、加载，在应力空间中，屈服条件的数学表达式可概括为：式可概括为：f (ij) = 0-应力状态的函数，称为应力状态的函数，称为屈服函数屈服函数应力空间应力空间，是以，是以6 6个应力分量作为坐标轴所构成的抽象空间，个应力分量作为坐标轴所构成的抽象空间，空间中的每一坐标点代表一个确定的应力状态。上式在应力空空间中的每一坐标点代表一个确定的应力状态。上式在应力空间中构成一张曲面，该曲面称为间中构成一张曲面，该曲面称为屈服面屈服面。当当 ij位于此曲面之内，即位于此曲面之内，即f (ij) 0时时，材料处于弹性状态；材料处于弹性状态；当当 ij位于此曲面之上，即位于此曲面之上，即f (ij) =0时时

10、，材料将开始屈服而进入材料将开始屈服而进入塑性状态。塑性状态。两个简化假定两个简化假定（2 2）静水压力不影响材料的塑性性质。这时，屈服条件只）静水压力不影响材料的塑性性质。这时，屈服条件只与应力偏量有关与应力偏量有关 f 0 (J2，J3)=0 式中式中J2，J3是偏应力张量是偏应力张量sij的第二第三不变量。的第二第三不变量。（1 1）材料初始是各向同性的。即当材料在未经受过塑性变形）材料初始是各向同性的。即当材料在未经受过塑性变形之前，屈服条件与材料的取向无关，即与建立在物体上的坐标之前，屈服条件与材料的取向无关，即与建立在物体上的坐标取向无关。故屈服条件可表示为：取向无关。故屈服条件可

11、表示为：在静水压力不太大的情况下，该假设对许多金属和饱和土质是适用的。但在静水压力不太大的情况下，该假设对许多金属和饱和土质是适用的。但对于岩石一类的材料，这个假定并不符合实际，这时需采用对于岩石一类的材料，这个假定并不符合实际，这时需采用f 0 (I1，I2，I3)=0和和f 0 (J2，J3)=0进行相应的修正。进行相应的修正。 建立由建立由 1 1、 2 2、 3 3为坐标轴的直角坐标系，称之为为坐标轴的直角坐标系，称之为主应力空间。主应力空间。主应力空间中任意一点主应力空间中任意一点P P（ 1 1、 2 2、 3 3）代表物体内一点的应力状）代表物体内一点的应力状态态屈服面屈服面f

12、( ( 1 1， 2 2， 3 3)=0)=0代表主应力空间中的一个曲面代表主应力空间中的一个曲面 1230123,0,0ffI II 过原点O以 为法线的平面，称为平面ONON 与各坐标轴夹相同角度ONQ平面S在ON上的一点S，其应力为 1，2，3 1=2=3 代表静水压力 在平面上的一点Q，其应力为 1，2，3 1230 说明平面上矢量所代表的应力状态只有偏量部分OP= 1e1+ 2e2+ 3e3 = (s1+m)e1+ (s2+m)e2+(s3+ m)e3= (s1e1+ s2e2+ s3e3)+ (me1+ me2+ me3) =ONOQ在在应力空间中任意应力空间中任意一点一点P，其应

13、力为其应力为 1，2，3 ONPQ平面1,2,3aamsa其中：其中：为主偏应力向量时，其分量为为主偏应力向量时，其分量为ONOQ一个应力状态是否会进入屈服只取决于它一个应力状态是否会进入屈服只取决于它 平面上的投影平面上的投影 屈服面的一般形状屈服面的一般形状屈服面是一个以屈服面是一个以 平面的法线为母线的柱面，即屈服面平面的法线为母线的柱面，即屈服面与与 平面垂直平面垂直平面屈服面屈服面在屈服面在 平面上的投影在平面上的投影在每每30300 0分割段中都具有相似分割段中都具有相似形。形。eee一、一、Tresca(Tresca(屈雷斯卡屈雷斯卡) )屈服条件屈服条件 TrescaTresc

14、a认为当最大切应力达到某个极限值时材料将进入屈服认为当最大切应力达到某个极限值时材料将进入屈服 若若 1 1、 2 2、 3 3不规定大小顺序，则屈服条件是不规定大小顺序，则屈服条件是 在在 平面上是直线平面上是直线10-3 10-3 几个常用的屈服条件几个常用的屈服条件平面屈服面eee02131kfij1212122222xssk121131231222kkk k1是材料常数是材料常数 材料常数材料常数k k1 1值可由简单实验确定值可由简单实验确定 （1 1）单轴拉伸：屈服时）单轴拉伸：屈服时 1 1 = = s s， 2 2 = = 3 3 =0 =0，代入屈服条件，代入屈服条件k k1

15、 1= = s s/2/2（2 2）简单剪切：屈服时）简单剪切：屈服时 = = s s 1 1= = s s， 2 2=0=0， 3 3= = s s, , 代入屈服条件代入屈服条件 k k1 1= = s s比较上两式可知：比较上两式可知：s=2sTrescaTresca屈服条件可表示为：屈服条件可表示为：13s或或132sTrescaTresca屈服条件也可表示为：屈服条件也可表示为：22cosssJ Mises Mises在在19131913年提出了屈服条件：当偏应力的第二不变年提出了屈服条件：当偏应力的第二不变量达到某个极限时量达到某个极限时, ,材料进入屈服。即：材料进入屈服。即：

16、MisesMises屈服条件在屈服条件在 平面上是一个圆，在应力空间是一圆柱体平面上是一个圆，在应力空间是一圆柱体二、二、Mises(Mises(米塞斯米塞斯) )屈服条件屈服条件 平面屈服面eee2220ijfJkk2是材料常数是材料常数 2222CrJkJ2与弹性状态的形状改变能成正比 J2 的物理意义J2 也与材料八面体上的切应力成比例 如果材料服从如果材料服从MisesMises屈服条件，则屈服条件，则: :2111242ijijijijs es sJGG材料常数材料常数k k2 2值由简单实验确定值由简单实验确定 （1 1）单轴拉伸：屈服时）单轴拉伸：屈服时 1 1 = = s s，

17、 2 2 = = 3 3 =0 =0，代入屈服条件，代入屈服条件: :22222133ssJkk（2 2）简单剪切：屈服时）简单剪切：屈服时 = = s s 1 1= = s s， 2 2=0=0， 3 3= = s s, , 代入屈服条件代入屈服条件: :22222ssJkk3sseeeMises圆内接Tresca六边形外切Tresca六边形两种屈服条件比较 如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则TrescaTresca六边形内接于六边形内接于MisesMises圆圆 如假定简单剪切时两个屈服面重合，则如假定简单剪切时两个屈服面重合，则TrescaTresca六边形外切于六边形外切于MisesMises圆圆 1、Lode实验：1926年，Lode进行了薄壁圆筒受拉力T和内水压p共同作用的实验。取圆筒的平均半径为R，厚度为t，