行列式按行(列)展开

1、12.3 行列式按行行列式按行(列列)展开展开 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa引例引例, 考察三阶行列式考察三阶行列式 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa .333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 在在 n 阶行列式阶行列式D中中, 把元素把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列元素划去后

2、列元素划去后, 留下来的留下来的 n1 阶行列式叫做阶行列式叫做(行列式行列式D的关于的关于)元素元素aij 的的余子式余子式, 记作记作 Mij . 即即nnnjnjnjnnnijijijiiiinijijijiinijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD1121111111121111211111111121121221222211111111211 nnnjnjnnnijijiiinijijiiinjjnjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaM11211111112111111112112121222

3、21111111211 例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 记记 Aij = (1)i+j Mij, 称称 Aij 为元素为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA 引理引理: 如果一个如果一个n阶行列式阶行列式D的第的第 i 行元素除行元素除 ai

4、j 外外都为零都为零, 那么那么, 行列式行列式 D 等于等于 aij 与它的代数余子式与它的代数余子式 Aij的乘积的乘积, 即即 D = aij Aij . 行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余行列式的每一个元素都分别对应着唯一的一个余子式和唯一的一个代数余子式子式和唯一的一个代数余子式.nnnjnjnjnnnijijijiiiijnijijijiiinjjjnjjjaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11211111111211111111112112122122221111111121100000 = aij Aij . 定理定理3: 行列式等于它的任

5、一行行列式等于它的任一行(列列)的各元素与其的各元素与其对应的代数余子式乘积之和对应的代数余子式乘积之和, 即即D = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n);D = a1iA1i + a2iA2i + + aniAni ( i =1, 2, , n).证证:nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行二、行列式按行(列列)展开法则展开法则nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 D = ai1Ai1 + a

6、i2Ai2 + + ainAin ( i =1, 2, , n).由引理得由引理得:引理的结论常用如下表达式引理的结论常用如下表达式: nkkikinkikikAaAaD11( i =1, 2, , n).277010353 D解解: 按第一行展开按第一行展开, 得得27013 D.27 27005 77103 例例1: 计算行列式计算行列式如果按第二行展开如果按第二行展开, 得得2733)1)(1(22 D.27 .3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 例例2: 计算行列式计算行列式解解: D0551111115)1(33 05502

7、6115 5526)1(31 5028 .40 12rr 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(例例3: 证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式证证: 用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx所以所以, 当当 n=2 时时, (1)式成立式成立.假设对假设对 n-1 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, (1)式成立式成立. 对对 n 阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式, 作如下变换作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得得)()()(0)(

8、)()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 按第一列展开按第一列展开, 并把每列的公因子并把每列的公因子( xi x1 )提出提出, 就就有有:223223211312111)()( nnnnnnnxxxxxxxxxxxxDn1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 则根据归纳假设得证则根据归纳假设得证:0532004140013202527102135 D0532004140013202527102135 D例例4: 计算行列式计

9、算行列式解解: 53204140132021352152 66027013210 53241413252 6627210 .1080124220 推论推论: 行列式任一行行列式任一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对的对应元素的代数余子式乘积之和等于零应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即即ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j ;a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j .,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAaD 证证: 把行列式把行列式D = det(aij) 按第按第 j 行展

10、开行展开, 得得把把 ajk 换成换成 aik (k=1, 2, , n ), 当当 i j 时时, 可得可得,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 第第 j 行行第第 i 行行相同相同同理同理 a1iA1j + a2iA2j + + aniAnj = 0, i j 所以所以, ai1Aj1 + ai2Aj2 + + ainAjn = 0, i j 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质;01 jijiDDAaijnkjkik当当当当 .01 jijiDDAaijnkkjki当当当当 .01 jijiij当当当当 其中其中 1. 行列式按行行列式按

11、行(列列)展开法则是把高阶行列式的计展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具算化为低阶行列式计算的重要工具. ijnkjkiknkkjkiDAaAa 11三、小结三、小结2.思考题思考题nnDn00103010021321 求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和: A11+A12+ +A1n . 设设 n 阶行列式阶行列式思考题解答思考题解答解解: 第一行各元素的代数余子式之和可以表示成第一行各元素的代数余子式之和可以表示成n001030100211111 ).11( !2 nkknA11+A12+ +A1n三、三、 克拉默克拉默(Cramer)法则法则

12、nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组 若常数项若常数项b1, b2, , bn不全为零不全为零, 则称此方程组为则称此方程组为非齐次线性方程组非齐次线性方程组; 若常数项若常数项b1, b2, , bn全为零全为零, 则称则称此方程组为此方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组; 定理定理1: (克拉默克拉默(Cramer)法则法则)如果线性方程组如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零, 即即0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaD(1).,2211DDxDDxDDx

13、nn 其中其中Dj 是把系数行列式是把系数行列式D中第中第 j 列的元素用方程组右列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式阶行列式, 即即nnnjnnjnnjjjaabaaaabaaD11111111111 那么那么, 线性方程组线性方程组(1)有解有解, 且解是唯一的且解是唯一的, 解可以表为解可以表为 njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(221122222221211111212111 证明证明: 用系数行列式用系数行列式D的第的第 j 列元素的代数余子式列元素的代数余子式A1j, A

14、2j, Anj依次乘方程组依次乘方程组(1)的的n个方程个方程, 得得在把在把 n 个方程依次相加个方程依次相加, 得得,)()()(111111 nkkjknnkkjknjnkkjkjnkkjkAbxAaxAaxAa 由行列式代数余子式的性质可知由行列式代数余子式的性质可知, 上式中上式中xj 的系的系数等于数等于D, 而而 xi (i j) 的系数均等于的系数均等于0, 等式右端为等式右端为Dj .于是于是因此因此, 当当 D 0 时时, 方程组方程组(2)有唯一解有唯一解:Dxj=Dj ( j=1, 2, , n)(2).,2211DDxDDxDDxnn 由于方程组由于方程组(2)与方程

15、组与方程组(1)等价等价,故故也是方程组也是方程组(1)的唯一解的唯一解.,2211DDxDDxDDxnn 定理定理2: 如果线性方程组如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一无解或有解但不唯一, 则它的系数行列式必为零则它的系数行列式必为零. 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理3: 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(3)的系数行列式的系数行列式 D 0, 则齐次线性方程组则齐次线性方程组(3)没有非零解没有非零解.(3) 定理定理4: 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(3)有非零解有非零解, 则它的则它的系数行列式系

16、数行列式 D 必为零必为零. 在后面我们将证明在后面我们将证明: 齐次线性方程组齐次线性方程组(3)有非零解有非零解的充分必要条件为的充分必要条件为(3)的系数行列式的系数行列式 D 必为零必为零.例例1: 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解:6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822

17、 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx所以所以 6523611443325343214321424321xxxxxxxxxxxxxx解解:2311111140301253 D67 , 0 例例2: 用克拉默法则解方程组用克拉默法则解方程组23165111611403412531 D,367 23651116111404012332 D, 0 26511161111443013533 D,267 65311611111403032534 D,67 ,316736711 DDx, 067022 DDx,216726733 DDx. 1676744 DDx所以所以例例3: 问问 取何值时取何值时, 齐次方程组齐次方程组 010320421321321321xxxxxxxxx 有非零解有非零解? 111132421D)1(4)1()3(482)3()1(2 由于齐次方程组有非零解的充分必要