第四讲跨期优化new

1、宏观经济学之跨期优化模型宏观经济学之跨期优化模型北京工商大学经济学院 熊文缘起缘起u哈罗德-多马模型u（刀刃上的均衡）u索罗-斯旺模型 )(,tKminL)F(K,Y(t)tLu只有两种生产要素：资本只有两种生产要素：资本 K K 和劳动和劳动 L L 。两者。两者按照一个固定的比例投入生产，按照一个固定的比例投入生产，不能相互替代不能相互替代。),(),(ALKcFcALcKFYu两种生产要素可两种生产要素可相互替代，且规模报酬不变相互替代，且规模报酬不变。2轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文拉姆赛们的兴趣拉姆赛们的兴趣u拉姆赛Ramsey ( EJ, 1928 )u卡斯C

2、ass ( RES, 1965 )u库普曼Koopmans ( 1965 )u他们发现了什么？他们发现了什么？哈罗德哈罗德- -多马模型与索罗模型有一个共同点多马模型与索罗模型有一个共同点外生储蓄率：外生储蓄率： S(t)=sY(t)S(t)=sY(t)3轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文外生储蓄率意味着什么？u提示：从家庭收入的分配看提示：从家庭收入的分配看S(t)=sY(t)S(t)=sY(t)也就意味着：也就意味着：C C(t)(t)= =（1-s1-s）Y Y(t)(t) 也即是说人们是按照收入的固定也即是说人们是按照收入的固定比例进行消费的比例进行消费的Y(t)Y(

3、t)= =C C(t)(t)+S+S(t)(t)合理吗？合理吗？不合理不合理4轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文那么该怎么办？u储蓄率内生化储蓄率内生化拉姆赛们该怎么做呢？从何入手呢？拉姆赛们该怎么做呢？从何入手呢？从消费入手从消费入手如何内生化如何内生化于是拉姆赛们开始构建无限期界模型于是拉姆赛们开始构建无限期界模型5轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文Frank Plumpton Ramsey Frank Plumpton Ramsey （1903-19301903-1930，英国数学家、经济学家），英国数学家、经济学家）u著作对税收理论的一个贡献、一个关

4、于储蓄的数学理论等，其经济思想已包括在1987年获诺奖的索洛对经济增长理论的一个贡献。u他是维特根斯坦和罗素的在抽象思维方面无可匹敌的朋友，他同时还是一位获得了凯恩斯和哈罗德极大尊重的经济学家u一位被认为是在哥德尔之前对数学基础和数理逻辑有着卓而不群思考的数学家u一位为求解一道难题而发明了至今仍吸引着数学家们热情研究的“拉姆齐理论”但那道难题本身却被后来的数学家证明是不可能求解的数学家。6轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文Mr Keynes and Probability, 1922, Cambridge Magazine The Douglas Proposals, 192

5、2, Cambridge Magazine Review of W.E. Johnsons Logic, Part I, 1922, New Statesman Critical Notice of L.Wittgensteins Tractatus, 1923, Mind Review of Ogden and Richards Meaning of Meaning, 1924, Mind The New Principia 1925, Nature Universals, 1925, Mind The Foundations of Mathematics, 1925, Proc. of L

6、ondon Mathem. Soc. Mathematical Logic, 1926, Encyclopaedia Britannica Universals and the Method of Analysis, 1926, Aristotelian Society Mathematical Logic, 1926, Mathematical Gazette Truth and Probability, 1926. A Contribution to the Theory of Taxation, 1927, EJ Facts and Propositions, 1927, Arisote

7、lian Society A Mathematical Theory of Saving, 1928, EJ. Further Considerations, 1928. On a Problem of Formal Logic, 1928, Proc. of London Mathem. Soc. Foundations of Mathematics, Encyclopedia Britannica The Foundations of Mathematics: and other logical essays, 1931. 7轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文讲在无限期界

8、之前讲在无限期界之前从一个两时跨期优化模型开始 假设： 最优化包含两个时期。第二个时期结束时的正的财富不产生效用，因此家庭在第二个时期用光了他们所有的储蓄； 在两个时期中，家庭都提供固定数量的劳动，从而获得一份不变的工资； 货币可以以某个市场利率进行投资和借贷，家庭必须能在第二个时期完全偿还自己的债务。8轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文1C第一个时期的消费2C第二个时期的消费R利率LY1第一个时期的劳动收入LY2第二个时期的劳动收入1W最优化问题开始时的财富9轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文下一步？u提示：提示：消费消费两个时期两个时期将消费在两个时期分

9、配将消费在两个时期分配该怎么做？该怎么做？10轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u回忆索罗模型，提得最多的是什么？回忆索罗模型，提得最多的是什么？拉姆赛们要怎么做呢？拉姆赛们要怎么做呢？消费如何在两期分配，并用消费增长率表示出来消费如何在两期分配，并用消费增长率表示出来增长率增长率11轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u两时期模型中，消费的增长：112112YYYYYgCCCCCgYc)1 (12cgCC12轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文我们还忽略了什么？u提示：只有两期提示：只有两期也即是说第二期的消费存在一个约束也即是说第二期的消费

10、存在一个约束第二期要花完第二期要花完13轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文约束会有几种情况？u两种情况两种情况第一期钱不够第一期钱不够第一期有结余第一期有结余14轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文预算约束（预算约束（ budget constraintbudget constraint ）)(1 (11122CWYrYCLL 部分投资：)(1 (11122WYCrYCLL部分贷款：)1)()1 ()(1 (1121221112rWYYCrCYCWYrCLLLLc1c2预算约束线)1(12rdCdCABE15轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文

11、u刚刚分析了总消费量的预算约束刚刚分析了总消费量的预算约束钱如何在两期分配钱如何在两期分配下一步？下一步？怎么选择？怎么选择？比较大小比较大小怎么比较？怎么比较？定义：定义： 效用效用16轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文定义效用定义效用1CU2CU今天消费带来的效用将来消费带来的效用效用：效用：商品满足人的欲望的能力，或者消费者 在消费商品时所感受到的满足程度17轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u两期效用的差别：两期效用的差别：什么偏好？什么偏好？时间偏好时间偏好差别受什么影响？差别受什么影响？个人偏好个人偏好人们对时间等待存在厌恶人们对时间等待存在厌恶

12、18轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文指今后收到或支付的款项折算为现值的利率。指今后收到或支付的款项折算为现值的利率。 -无忍耐性：个体不愿为消费等太长时间。 -时间水平线：个体不能进行长期计划，距现在越远的东西，越少被包括在现在的决定中。 -不确定性：将来的计划总包含不确定性。贴现率贴现率u用什么来反映人们对时间等待的厌恶用什么来反映人们对时间等待的厌恶19轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文定义效用定义效用1CU2CU今天消费带来的效用将来消费带来的效用效用：效用：商品满足人的欲望的能力，或者消费者 在消费商品时所感受到的满足程度进一步，写成两期效用的关系

13、：进一步，写成两期效用的关系：贴现率)1/(2CU将来的消费带来的今天的效用将来的消费带来的今天的效用20轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u这时候两期的效用可比了。这时候两期的效用可比了。怎么做？怎么做？两种商品数量的选择两种商品数量的选择于是，消费在两期中选择便转化为另外于是，消费在两期中选择便转化为另外一个问题。什么问题？一个问题。什么问题？1.1.预算约束预算约束2.2.无差异曲线无差异曲线3.3.相切相切21轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文消费的效用递减消费的效用递减u对于每个家庭，额外的消费带来额外的效用，并且消费的边际效用递减。0)(0)(

14、CUCUcU22轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文)()(21CUCUU简单的效用函数如下：无差异曲线：连接了具有同样效用水平的点。c1c2U0U1U223轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u无差异曲线特征：(1)斜率为负(2)离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高(3)任何两条无差异曲线都不可能相交(4)无差异曲线凸向原点)()(02112CUCUdCdCdUc1c2U0U1U2AB24轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文跨期替代的弹性跨期替代的弹性u跨期的替代弹性：)/()/()/()/(12121212CCCCddCdCdCdCdc1

15、c2U0U1U2AB反应了无差异曲线的斜率变化对消费比率的影响程度25轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文凯恩斯拉姆齐规则凯恩斯拉姆齐规则u对数效用函数CCUlog)(2121log11log),(CCCCU无差异曲线的斜率：预算约束线斜率：)1(12rdCdC26轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文122112)1()()(CCCUCUdCdCc1c2E最优点( )*2*1, CC无关曲线，斜率：12)1 (CC1112rCC27轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文消费的增长率消费的增长率1/12112CCCCCCCgcrgrgrCCcc)1l

16、n()1ln()1ln(1112凯恩斯拉姆齐规则最简单的形式一个变量的对数关一个变量的对数关于时间的导数等于于时间的导数等于其增长率其增长率28轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文uCES效用函数1211)11(CCU)()1 ()()(122112CCCUCUdCdC)1(12rdCdC/112)11(rCC1/12112CCCCCCCgc)(1rgc无差异曲线的斜率：无差异曲线的斜率：预算约束线斜率：预算约束线斜率：29轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文一个变量的对数关于一个变量的对数关于时间的导数等于其增时间的导数等于其增长率长率u至此，大家联系以前学过

17、的凯恩斯、哈罗德、索罗等相关模型，发现了什么？u这里就在谈消费，没那些个模型什么事！u就是消费自个儿在玩轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文30回顾：索罗动态过程回顾：索罗动态过程轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文31y1Fk1 , 1=y2=Fk2 , 1I1/L1=S1/L1=sy1(K2-K1)/L1=I1/L1K2/L1-k1=sy1（L2 L1 ）/ L1=nK2/(L2/(1+n) -k1=sy1(1+n) k2 -k1=sy1k2 -k1=sy1-nk2k2 =（sy1+k1）/ (1+n) 产出产出投资投资资本资本变化变化产出产出变化变化演化过

18、程演化过程轻松学宏观之索罗模型 北京工商大学经济学院 熊文32Y1C1S1I1K1L1Y2C2S2I2K2L2 rgcngLu利率的确定)( kfr )( kfrgc)( (1)(1kfrgc稳态时若考虑资本折旧以及人口增长LLgkfdkdykgkkfy)( )(Lcgkfg)( )( (1Lcgkfg凯恩斯拉姆齐规则的一般形式33轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文回忆索罗模型回忆索罗模型 knkfskEK*ABCsf(k)f(k)(n+)kkk人均消费人均储蓄34轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文资本积累的黄金法则资本积累的黄金法则u对于给定的n和，对应于

19、每个储蓄率s存在唯一的稳定状态k*=k*(s), k*0, dk*(s) /ds 0u问题：寻找一个使长期人均消费最大化的增长率。u稳定状态的人均消费 sknskfc*35轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文黄金法则的分析黄金法则的分析 sknskfc*dsdknskfdsdc*)(1消费增长率：)()(*gggskknskf当消费最大时：资本积累的黄金法则36轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文资本积累的黄金法则资本积累的黄金法则nkfg)(黄金法则的经济学意义：如果一个经济发展的目标是使人均消费最大，那如果一个经济发展的目标是使人均消费最大，那么在技术和劳动

20、增长率不变时，人均资本的边际么在技术和劳动增长率不变时，人均资本的边际产品应等于人口增长率与折旧率之和产品应等于人口增长率与折旧率之和37轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文k人均产出等(n+)kf(k)kgsgf (k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*38轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文Ramsey-cass-koopmansRamsey-cass-koopmans模型模型*)()(kgkfcLkckGR0kcGRBgk0稳态的消费：黄金率kgckfkL)()(39轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文kcLcgkfg)(

21、 LKRgkf)( 当gc=0时kKRk0gckKRgc=040轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态学模型的动态学 k* 0c 0c 0c k 0k0k0kc 0k0c 0k0c 41轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态学模型的动态学u利用相图，可以研究c、k初始值给定，经济的增长路径 k初始值已经给定，关键在于c的初始值如何确定。42轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态学模型的动态学 E k* 0c k c 0kk(0) D F C B A 43轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态学模型的

22、动态学u唯一可能路径： E 0c k c 0k44轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文kKRgc=00kOAAABBBkc45轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u回顾：回顾：u拉姆赛拉姆赛-发现：发现：储蓄率外生不合理储蓄率外生不合理u思考：思考：如何内生化？如何内生化？收入：消费与储蓄收入：消费与储蓄u从消费入手从消费入手两期模型（从简单开始）两期模型（从简单开始）u消费在两期的分配消费在两期的分配预算约束预算约束无差异曲线（效用）无差异曲线（效用）u最大化最大化两个斜率两个斜率Lcgkfg)( )( (1Lcgkfg46轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大

23、学经济学院 熊文无限期界模型无限期界模型 u家庭效用的描述家庭效用的描述两期模型两期模型)()(21CUCUU2121log11log),(CCCCU1211)11(CCU无限期界无限期界每一时期效用的加总每一时期效用的加总近期越重要值越大：贴现率：消费效用：每家庭人数，,其,)()0()()()()(tCUeLtLHtLdtHtLtCUUntotte47轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u采用常相对风险厌恶的效用函数： 1, 011tCtCU瞬时效用函数瞬时效用函数48轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文无限期界模型无限期界模型 瞬时效用函数瞬时效用函数dt

24、HLtCdtHtLtCUottnottee)0(1)()(1)(1)(1无限期界无限期界1)()(1tCtCU49轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文u回顾：u下一步？下一步？预算约束预算约束u收入收入资本收益与劳动所得资本收益与劳动所得50轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文家庭决策行为家庭决策行为u家庭家庭 目标函数： 约束条件：一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生劳动收入的现值。 0maxttdtHtLtCueU51轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文约束约束 000ttRttRdtHtLtwtAeHKdtHtLtCe 果上以连续复利计

25、算的结，表示在期间tdrtRt0052轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文二、家庭与厂商的行为二、家庭与厂商的行为u预算约束 u构造拉格朗日函数：u对c(t)求导数，得到一阶条件为：0)()()(0)()()0()(ttgntRtgnttRdttweekdtetce)()()0(1)()(0)(0)()(1dtetcedttweekdttcBLtgnttRttgntRotte常规方法二、家庭与厂商的行为二、家庭与厂商的行为u两边取对数，再对 t求导数，有：u 上式即欧拉方程u已知，C(t)=c(t)A(t)u则：tgntRteetcBe)()()()()()()(gntrtct

26、cgtrgtrtctc)()()()(1)()()()()()()()(trtrtAtAtctctCtC模型的动态学模型的动态学uc的动态学 *, 0, 0, 0kkcgtkfkkcgtkfkkcgtkfgtkfgtrtctc此时，则此时，则记为此时决定的，则55轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态学模型的动态学 c k k* 0c 0c 0c 56轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态学模型的动态学uk的动态学 0,0,0ktkgntkfcktkgntkfckctkgntkfcktkgntctkfk平，然后递减。递增，直到黄金资本水随给定，由时的持平投资实际投资57轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文k人均产出等(n+)kf(k)kgsgf (k)cgs2f(k)s1f(k)k1*c1*c2*k2*58轻松学宏观之跨期优化模型 北京工商大学经济学院 熊文模型的动态