工程力学新第八章

1、第八章第八章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩8- -1 轴向拉伸和压缩的概念和实例轴向拉伸和压缩的概念和实例8- -2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力8- -3 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形8- -4 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能8- -5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能 8- -6 轴向拉伸或压缩时的强度计算轴向拉伸或压缩时的强度计算 8- -7 应力集中的概念应力集中的概念8- -8 拉伸与压缩的静不定问题拉伸与压缩的静不定问题 8-9 8-9 轴向拉伸或压缩的应变能轴向拉伸或压缩的应变能8.1 轴向拉伸和压缩的

2、概念和实例轴向拉伸和压缩的概念和实例 工程中有很多构件，例如屋架中的杆，是等直杆，作用于杆上的外力的合力的作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下，杆的主要变形形式是轴向伸长或缩短。屋架结构简图受轴向外力作用的等截面直杆拉杆和压杆1.特点：特点： 作用在杆件上的外力合力的作用线作用在杆件上的外力合力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。的伸长或缩短。杆的受力简图为杆的受力简图为FF拉伸拉伸FF压缩压缩 工程实例工程实例8.2 8.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力和应力 材料力学中所研究的内力物体内各质点

3、间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。1 1 横截面上的内力横截面上的内力根据可变形固体的连续性假设，内力在物体内连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间分布内力的合力和合力偶（主矢和主矩）简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。 截面法求轴力,绘制轴力图（1）假想地截开指定截面；（2）用内力代替另一部分对所取分离体的作用力；（3）根据分离体的平衡求出内力值。步骤：轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。例题例题8-8-1 试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图(a)为求轴力方便，先求出约束力 FR=10 kN为方便，取横截面11左边为分离体，假设轴力为拉力，

4、得FN1=10 kN(拉力)解：解：为方便取截面33右边为分离体，假设轴力为拉力。FN2=50 kN(拉力)FN3=-5 kN （压力），同理，FN4=20 kN (拉力)轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN, FF思考：为何在F1，F2，F3作用着的B，C，D 截面处轴力图 发生突变？能否认为C 截面上的轴力为 55 kN？kN10kN25kN20kN54321FFFF10kN15kNkN53N2N1NFFF2 横截面上的应力横截面上的应力AFNAFN1Pa1m1N21MPa1mm1N2)()()(NxAxFx 0234FFFFOxFFOx3)(232N拉AFAF

5、OBOB)(2N拉AFAFCDCD)(2max拉AFCD 例题例题 8-68-6图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件AB、CB的应力。的应力。已知已知 F=20kN；斜杆；斜杆AB为直径为直径20mm的圆截面的圆截面杆，水平杆杆，水平杆CB为为1515的方截面杆。的方截面杆。FABC 0yFkN3 .281NF解：解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为杆，水平杆为2杆）用截面法取节点杆）用截面法取节点B为为研究对象研究对象kN202NF 0 xF45045cos21NNFF045sin1 FFN12FBF1NF2NFxy45FABC452、计算各杆件的

6、应力。、计算各杆件的应力。MPa90Pa109010204103 .286623111AFNMPa89Pa1089101510206623222AFN12FBF1NF2NFxy454 4 拉拉( (压压) )杆斜截面上的应力杆斜截面上的应力FF 斜截面上的内力： 变形假设：两平行的斜截面在杆受拉变形假设：两平行的斜截面在杆受拉( (压压) )而变形后而变形后仍相互平行。仍相互平行。=两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。长变形相同。斜截面上的总应力： coscoscos/0AFAFAFp推论推论: :斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截斜截面上

7、各点处轴向分布内力的集度相同，即斜截面上各点处的总应力面上各点处的总应力p 相等。相等。 式中， 为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。 AF0斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress)： 20coscos p2sin2sin0 p0max20maxo458.3 8.3 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形1 1、纵向变形（轴向变形）、纵向变形（轴向变形） 基本情况下(等直杆，两端受轴向力)： 杆件在轴线方向的伸长lll1纵向应变llEAFNEAlFlNll式中：E 称为弹性模量(modulus of elasticity)，由实验测定，

8、其量纲为ML-1T-2，单位为Pa；EA 杆的拉伸(压缩)刚度。EAlFlNlxEAxl)(dFNniiiNiEAlFl1bbbbb1BCABlllABABABABEAlFlN800102004001040331 . 0mmmm167. 024010200400102033NBCBCBCBCEAlFl067mm. 0167. 01 . 0BCABlll 一、一、 实验的基本情况实验的基本情况8.4 材料拉伸时的力学性能3.试件和实验条件试件和实验条件 试件和实验条件试件和实验条件常温、静载常温、静载低碳钢的拉伸低碳钢的拉伸二、低碳钢拉伸时的力学性能二、低碳钢拉伸时的力学性能由测量得到的由测量得

9、到的F F - - L L曲线可以转换为曲线可以转换为。AFLL 对低碳钢对低碳钢Q235Q235试件进行拉伸试验，通过试件进行拉伸试验，通过 弹性阶段弹性阶段 屈服阶段屈服阶段 强化阶段强化阶段 局部变形（颈缩）阶段局部变形（颈缩）阶段低碳钢试样在整个拉伸过程中的四个阶段： (1) 阶段弹性阶段 变形完全是弹性的。Oa段应力与应变成正比段应力与应变成正比E弹性模量弹性模量E是直线是直线Oa的斜率的斜率直线部分的最高点直线部分的最高点a所对应的应力称为所对应的应力称为比例极限比例极限， pOa段材料处于段材料处于线弹性阶段线弹性阶段ab段不再为直线，但解除拉力后变形仍可完全消段不再为直线，但解

10、除拉力后变形仍可完全消失（弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值失（弹性变形），材料只出现弹性变形的极限值-弹性极限弹性极限， e当应力大于弹性极限后，若再解除拉力，则试样当应力大于弹性极限后，若再解除拉力，则试样会留下一部分不能消失的变形会留下一部分不能消失的变形-塑性变形。塑性变形。 (2) 阶段屈服阶段 在此阶段伸长变形急剧增大，但抗力只在很小范围内波动。 应力基本保持不变，应变显著增加屈服 此阶段产生的变形是不可恢复的所谓塑性变形；在抛光的试样表面上可见大约与轴线成45的条纹，这是由于材料内部相对滑移形成的，称为滑移线( ，当=45时 的绝对值最大)。2sin20在屈服阶段内的最高应力

11、和最低应力称为上屈服在屈服阶段内的最高应力和最低应力称为上屈服极限和下屈服极限。极限和下屈服极限。上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素上屈服极限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，一般是不稳定的。有关，一般是不稳定的。下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料下屈服极限则有比较稳定的数值，能够反映材料的性能的性能通常把下屈服极限称为通常把下屈服极限称为屈服极限屈服极限或或屈服点屈服点s材料屈服表现为显著的塑性变形，而零件的塑性变形材料屈服表现为显著的塑性变形，而零件的塑性变形将影响机器的正常工作，所以屈服极限是衡量材料强将影响机器的正常工作，所以屈服极限是衡量材料强度的重要指标度的重要

12、指标Q235 s=235MPa(3) 阶段强化阶段 过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变过屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，要使它继续变形，必须增形的能力，要使它继续变形，必须增加拉力，这种现象称为材料的加拉力，这种现象称为材料的强化强化。最高点最高点e所对应的应力：所对应的应力：b材料所能承受的最大应力，称为材料所能承受的最大应力，称为强度极限强度极限或或抗拉极限抗拉极限，它是衡量材，它是衡量材料强度的另一个重要指标。料强度的另一个重要指标。在强化阶段中，试样的横向尺寸有明显的缩小。在强化阶段中，试样的横向尺寸有明显的缩小。 (4) 阶段局部变形阶段 试样上出现局部收缩颈缩，并导致断裂。

13、低碳钢 曲线上的特征点： 比例极限p(proportional limit) 弹性极限e(elastic limit)屈服极限s (屈服的低限) (yield limit)强度极限b(拉伸强度)(ultimate strength)Q235钢的主要强度指标：s = 240 MPa，b = 390 MPa低碳钢拉伸破坏断口%100001lll断后伸长率断后伸长率断面收缩率断面收缩率%100010AAA%5为塑性材料为塑性材料%5为脆性材料为脆性材料低碳钢的低碳钢的%3020%60为塑性材料为塑性材料0如果把试件拉到超过屈服极限的如果把试件拉到超过屈服极限的d点点:此时卸此时卸载载应力应变关系沿应

14、力应变关系沿dd回到回到d点点dd与与Oa平行平行卸载过程中，应力和应变按照直线规律变化卸载过程中，应力和应变按照直线规律变化这就是卸载定律这就是卸载定律1、弹性范围内卸载、再加载、弹性范围内卸载、再加载2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载卸载后短期内再次加载卸载后短期内再次加载:可见在再次加载时，直到可见在再次加载时，直到d点以前的点以前的材料的变形都是弹性的，过了材料的变形都是弹性的，过了d点才点才开始出现塑性变形。开始出现塑性变形。第二次加载时，其比例极限得到了第二次加载时，其比例极限得到了提高，但是塑性变形和延伸率却有提高，但是塑性变形和延伸率却有所下降，这种现象称为冷作

15、硬化所下降，这种现象称为冷作硬化 工程中经常利用冷作工程中经常利用冷作硬化来提高材料的弹性阶硬化来提高材料的弹性阶段，如起重的钢丝绳和建段，如起重的钢丝绳和建筑用的钢筋，常以冷拔工筑用的钢筋，常以冷拔工艺提高强度。又如对某些艺提高强度。又如对某些零件进行喷丸处理，使其零件进行喷丸处理，使其表面发生塑性变形，形成表面发生塑性变形，形成冷硬层，以提高零件表面冷硬层，以提高零件表面层的强度。但另一方面，层的强度。但另一方面，零件初加工后，由于冷作零件初加工后，由于冷作硬化使材料变硬变脆，给硬化使材料变硬变脆，给下一步加工造成困难，很下一步加工造成困难，很容易产生裂纹，往往需要容易产生裂纹，往往需要在

16、工序之间安排退火，以在工序之间安排退火，以消除冷作硬化的影响。消除冷作硬化的影响。有些材料有些材料 明显的四个阶段明显的四个阶段有些材料有些材料 没有屈服、颈缩阶段，没有屈服、颈缩阶段，但有弹性阶段和强化阶段但有弹性阶段和强化阶段对于没有明显屈服点的塑性材料，规对于没有明显屈服点的塑性材料，规定以定以产生产生0.2%的塑性应变的塑性应变时的应力作时的应力作为屈服指标，称为为屈服指标，称为名义屈服点名义屈服点。2 . 0o%2 . 02 . 0铸铁拉伸的应力应变曲线铸铁拉伸的应力应变曲线铸铁拉伸的应力应变曲线铸铁拉伸的应力应变曲线拉伸：拉伸： 与与 无明显的线性关系，拉断前无明显的线性关系，拉断

17、前应变很小应变很小. .只能测得只能测得 。抗拉强度差。抗拉强度差。弹性模量弹性模量E E 以总应变为以总应变为0.1%0.1%时的割线斜时的割线斜率来度量。破坏时沿横截面拉断。率来度量。破坏时沿横截面拉断。b割线弹性模量 用于基本上无线弹性阶段的脆性材料 脆性材料拉伸时的唯一强度指标： b试样拉断时横截面 上的真实应力。 铸铁拉伸时的应力应变曲线8.5 8.5 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能试件和实验条件试件和实验条件常温、静载常温、静载低碳钢压缩变扁，不会断裂，由于两端摩低碳钢压缩变扁，不会断裂，由于两端摩擦力影响，形成擦力影响，形成“腰鼓形腰鼓形”。 在屈服阶段以前，低碳钢在屈

18、服阶段以前，低碳钢压缩力学性能与拉伸力学系能压缩力学性能与拉伸力学系能相同。在屈服阶段以后，试件相同。在屈服阶段以后，试件越压越扁，横截面面积不断增越压越扁，横截面面积不断增大，抗压能力也继续增高，因大，抗压能力也继续增高，因而测不出压缩时的强度极限。而测不出压缩时的强度极限。铸铁压缩的应力应变曲线铸铁压缩的应力应变曲线压缩后破坏的形式压缩后破坏的形式:破坏面与轴线大约成破坏面与轴线大约成 45 55与拉伸比较与拉伸比较铸铁抗压的强度比抗拉高铸铁抗压的强度比抗拉高45倍倍其他脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度。其他脆性材料抗压强度也远高于抗拉强度。脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同脆性材料的抗拉

19、与抗压性质不完全相同 对于脆性材料（如铸铁），压缩时的对于脆性材料（如铸铁），压缩时的应力应变曲线为微弯的曲线，试件压断前应力应变曲线为微弯的曲线，试件压断前出现明显的屈服现象，并沿着与轴线出现明显的屈服现象，并沿着与轴线4555度的斜面压断。度的斜面压断。 c压缩强度极限压缩强度极限（约为（约为800MPa）。它是）。它是衡量脆性材料（铸铁）压衡量脆性材料（铸铁）压缩的唯一强度指标。远大缩的唯一强度指标。远大于拉伸时的强度极限于拉伸时的强度极限tc一、一、 安全系数和许用应力安全系数和许用应力 要使构件有足够的强度，工作应力应小于要使构件有足够的强度，工作应力应小于材料破坏时的极限应力材料破

20、坏时的极限应力工作应力工作应力u 为了保证构件的正常工作和安全，必须使为了保证构件的正常工作和安全，必须使构件有必要的强度储备。即工作应力应小于材构件有必要的强度储备。即工作应力应小于材料破坏时的极限应力的若干分之一。料破坏时的极限应力的若干分之一。极限应力极限应力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料）（2.0Su）（ctu8.6 8.6 轴向拉伸或压缩时的强度计算轴向拉伸或压缩时的强度计算u由于 (1) 主客观之间存在差距。如材质不均，载荷计算不精确,构件尺寸变化，计算简图与实际结构的差异 (2) 考虑强度储备。考虑可能遇到意外事故或其它不利情况，如超载,工作条件恶劣,腐蚀等。 故引入安全因数,

21、把极限应力打一个折扣，其具体值应根据构件的材料和具体的工作环境,并结合实验和现实技术水平综合确定. nu n安全系数是大于安全系数是大于1的数，其的数，其值由设计规范规定。把极限应值由设计规范规定。把极限应力除以安全系数称作许用应力。力除以安全系数称作许用应力。塑性材料的许用应力塑性材料的许用应力 sssnn2 . 0或ns塑性材料的安全系数塑性材料的安全系数脆性材料的许用应力脆性材料的许用应力 ccttnn或nt脆性材料的安全系数脆性材料的安全系数常用材料的许用应力约值(适用于常温、静荷载和一般工作条件下的拉杆和压杆） 材料名称 牌号 许用应力 /MPa低碳钢低合金钢灰口铸铁混凝土混凝土红松

22、（顺纹）Q23516MnC20C3017023034540.440.66.4170230160200710.310轴向拉伸轴向压缩二、二、 强度条件强度条件 要使拉压杆有足够的强度，要求杆内的最要使拉压杆有足够的强度，要求杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力，即强度条大工作应力不超过材料的许用应力，即强度条件为件为 AFNmax根据强度条件，可以解决三类问题根据强度条件，可以解决三类问题:2. 2. 截面选择截面选择 已知拉已知拉( (压压) )杆材料及所受荷载，按强度条杆材料及所受荷载，按强度条件求杆件横截面面积或尺寸。件求杆件横截面面积或尺寸。3. 计算许可荷载计算许可荷载 已知拉已知拉

23、( (压压) )杆材料和横截面尺寸，按强杆材料和横截面尺寸，按强度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。度条件确定杆所能容许的最大轴力，进而计算许可荷载。FN,max=A ，由，由FN,max计算相应的荷载。计算相应的荷载。max,NmaxAFmax,NFA1.1.强度校核强度校核 已知拉已知拉( (压压) )杆材料、横截面尺寸及所受荷载，杆材料、横截面尺寸及所受荷载，检验能否满足强度条件检验能否满足强度条件 对于等截面直杆即为对于等截面直杆即为;max例题例题8-118-11 图示吊环，图示吊环， 载荷载荷F=1000kN，两边，两边的斜杆均由两个横截面为矩形的钢杆构的斜杆均由两个

24、横截面为矩形的钢杆构成，杆的厚度和宽度分别为成，杆的厚度和宽度分别为b=25mm，h=90mm，斜杆的轴线与吊环对称，轴，斜杆的轴线与吊环对称，轴线间的夹角为线间的夹角为=200 。钢的许用应力为。钢的许用应力为=120MPa。试校核斜杆的强度。试校核斜杆的强度。 0yF解：解：1、计算各杆件的轴力。研究、计算各杆件的轴力。研究节点节点A为的平衡为的平衡N1032. 520cos2101000cos253FFN 由于结构的对称性，两杆轴力相等由于结构的对称性，两杆轴力相等0cos2NFF2、强度校核、强度校核 由于斜杆由两个矩形杆构成，故由于斜杆由两个矩形杆构成，故A=2bh，工作应力为工作应

25、力为abhFAFNNP102 .11810902521032. 52665斜杆强度足够斜杆强度足够 MPa120例题例题8-128-12 油缸盖和缸体采用油缸盖和缸体采用6个螺栓联接。个螺栓联接。已知油缸内径已知油缸内径D=350mm，油压，油压p=1MPa。若螺栓材料的许用应力若螺栓材料的许用应力=40MPa，求，求螺栓的直径。螺栓的直径。pDF24每个螺栓承受轴力为总压力的每个螺栓承受轴力为总压力的1/6解：解： 油缸内总压力油缸内总压力即螺栓的轴力为即螺栓的轴力为pDFFN2246DpF 22.6mmm106 .22104061035. 0636622pDd NFA 24422pDd根据强度条件根据强度条件AFNmax例题例题8-138-13图示结构，已知斜杆图示结构，已知斜杆AC为为50505的等边角钢，水平杆的等边角钢，水平杆AB为为10号槽钢，号槽钢，材料的许用应力为材料的许用应力为=120MPa。试求许可载荷试求许可载荷F。 0yFFFFN2sin/1解：解：1、计算杆件的轴力。（斜、计算杆件的轴力。（斜杆为杆为1杆，水平杆为杆，水平杆为2杆）节点杆）节点AFFFNN3cos12 0 xF0cos21NNFF0sin1FFNAF1NF2NFxy2、根据斜杆的强度，求许