3.4基本不等式学习教案

1、会计学13.4基本不等式基本不等式2a bab第1页/共39页第2页/共39页2abab第3页/共39页线性规划的两类重要实际问题的解题思路：线性规划的两类重要实际问题的解题思路： （1 1）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，）应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数。确定线性目标函数。 （2 2）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，）用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(.(一般最优解一般最优解在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较. .） （

2、3 3）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际）要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解。问题的解，即结合实际情况求得最优解。 二、新课引入，任务驱动第4页/共39页二、新课引入，任务驱动第5页/共39页第6页/共39页 这是这是2002年在北京召开的第年在北京召开的第24届国际数学届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。人民热情好客。三、新知建构，典例分析 第7页/共39页20022002年国际数学

3、家大会会标年国际数学家大会会标三国时期三国时期吴国的数学家赵爽吴国的数学家赵爽三、新知建构，典例分析 第8页/共39页思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个思考：你能否在这个图案中找出一些相等图案中找出一些相等关系或不等关系？关系或不等关系？探究探究1 1三、新知建构，典例分析 第9页/共39页问问2 2：RtRtABF,RtABF,RtBCG,RtBCG,RtCDH,RtCDH,RtADEADE是全等三角形，是全等三角形，它们的面积总和是它们的面积总和是S=S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,设设AF=a,BF=b,AF=

4、a,BF=b,则则AB=AB=则正方形的面积为则正方形的面积为S=S=。问问3 3：观察图形：观察图形S S与与SS有什么样的大小有什么样的大小关系？关系？ 22ab2ab222abab易得，易得，s s,s s,即即ADCBc22abHGFEab问问4 4：那么它们有相等的情况吗？那么它们有相等的情况吗？何时相等？何时相等？22ba 第10页/共39页问题问题4 4：s,s, S有相等的情况吗？何时相等？有相等的情况吗？何时相等？ 图片说明：当直角三角形变图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形，即a=ba=b时，时，正方形正方形EFGHEFGH缩为一个点，这时缩为一个点

5、，这时有有 22=2ababu形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0第11页/共39页结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b问问5 5：当当a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 还成立吗？还成立吗？此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式222aba b第12页/共39页0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab2abab替换后得到：替换后得到： 即：即：)0, 0(ba2abab 即：即：

6、你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？三、新知建构，典例分析 第13页/共39页2abab证明：要证证明：要证 只要证只要证_ab 要证，只要证要证，只要证_0ab要证，只要证要证，只要证2(_)0显然显然, 是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时, 中的等号成立中的等号成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba证明不等式：证明不等式：2 ab2 abba第14页/共39页特别地，若特别地，若a0，b0，则，则_2abab通常我们把上式写作：通常我们把上式写作：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当

7、a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.在数学中，我们把在数学中，我们把 叫做正数叫做正数a，b的算术平均数的算术平均数， 叫做正数叫做正数a，b的几何平均数；的几何平均数；2abab文字叙述为：文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：适用范围：a0,b0第15页/共39页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，为圆

8、心，点点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab第16页/共39页你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心，点为圆心，点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C

9、作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.2abab几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab第17页/共39页适用范围适用范围文字叙述文字叙述“=”成立条件成立条件222abab2ababa=ba=b两个正数的算术平均数不小于两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数它们的几何平均数两数的平方和不小两数的平方和不小于它们积的于它们积的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比较：填表比较：注意从不同角度认识基本不等式注意从不同角度认识基本不等式三、新知建构，典例分析 第18页/共39页 重要变形：重要变形：2220,0,22abababababa

10、bab若则，当且仅当时取等号。（由小到大）（由小到大）三、新知建构，典例分析 第19页/共39页三、新知建构，典例分析第20页/共39页11(1)0,;xxx例 . 已知求的最值. 21xx1x2121:时时原原式式有有最最小小值值即即当当且且仅仅当当解解 xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。为为何何值值时时，函函数数当当函函数数若若xxxyx,31, 3)3( 结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值第21页/共39页5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值为为

11、时时，函函数数有有最最大大值值，即即当当且且仅仅当当54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 时时有有最最大大值值即即当当且且仅仅当当、解解xxxx第22页/共39页配凑系数配凑系数分析分析: x+(1- -2x) 不是不是 常数常数.2=1为为 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 当且仅当当且仅当 时时, 取取“=”号号.2x=(1- -2x), 即即 x= 14当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418例例2. 若若 0 x0， 0

12、，若，若 是是 与与 的等比中项，则的等比中项，则ab3a3b3ba11得最小值为（得最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 1 D. 41（2009年天津理年天津理6）B因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2四、当堂训练，针对点评第31页/共39页a2.（2009山东理山东理12T)设设 满足约束条件满足约束条件 若目标函数若目标函数yx, , 0y, 0 x, 02yx, 06y

13、x3byaxz （ 0， 0）的最大值为的最大值为12，则，则 的最小值为（的最小值为（ ）bb3a2 A. B. C. D. 4 62538311略解略解：xy02-2202yx063 yxbyaxz(4,6)点选把把（4 4，6 6）代代入入z z= = a ax x+ +b by y得得4 4a a+ +6 6b b = =1 12 2, ,2 23 32 23 3 2 2a a+ +3 3b b即即2 2a a+ +3 3b b = = 6 6, ,而而+ += =+ +a ab ba ab b6 61 13 3b ba a1 13 32 25 5= =+ +( (+ +) )+ +2

14、 2 = =, ,故故A A6 6a ab b6 66 6A第32页/共39页2.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？的面积最大，最大面积是多少？四、当堂训练，针对点评第33页/共39页2.如图，用一段长为如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设解：设AB=x ，BC=242x ， 矩形花园的面积为矩形花园的面积为x(242x) m2(242 )yxx令因此，这个矩形的长为因此，这个矩形的长为12m、宽为、宽为6m时，时，花园面积最大，最大面积是花园面积最大，最大面积是72m2当当x=6时，函数时，函数y取得最小值为取得最小值为72222422(6)72yxxx 则(012)x第34页/共39页第35页/共39页221R,2( ) ,a bababab那那么么当当且且仅仅当当时时, ,等等号号成成立立(2)( 0, 0)2abababab，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握