《流体力学》2014.01

1、Fluid Mechanics流体力学流体力学柳柳 波波机电工程学院液压研究所周立强 流体力学是研究流体运动规律及其应用的科学，是力学的一个重要分支。流体力学研究的对象液体和气体。固体有一定的体积和一定的形状；液体有一定的体积而无一定的形状；气体既无一定的体积也无一定的形状。固体、液体和气体的宏观表象差异：机电工程学院液压研究所周立强 第一阶段（16世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段 第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段 第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展欧拉、伯努利 第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展第一阶段（16

2、世纪以前）：流体力学形成的萌芽阶段 公元前2286年公元前2278年大禹治水疏壅导滞（洪水归于河）（传说） 公元584年公元610年隋朝南北大运河、船闸应用；埃及、巴比伦、罗马、希腊、印度等地水利、造船、航海产业发展 系统研究古希腊哲学家阿基米德论浮体（公元前250年）奠定了流体静力学的基础第二阶段（16世纪文艺复兴以后-18世纪中叶）流体力学成为一门独立学科的基础阶段 1586年斯蒂芬水静力学原理 1612年伽利略物体沉浮的基本原理 1650年帕斯卡“帕斯卡原理” 1686年牛顿牛顿内摩擦定律 1738年伯努利理想流体的运动方程即伯努利方程 1775年欧拉理想流体的运动方程即欧拉运动微分方程

3、第三阶段（18世纪中叶-19世纪末）流体力学沿着两个方向发展欧拉（理论）、伯努利（实验）工程技术快速发展，提出很多经验公式1769年谢才谢才公式（计算流速、流量）1895年曼宁曼宁公式（计算谢才系数）1732年比托比托管（测流速）1797年文丘里文丘里管（测流量）理论1823年纳维，1845年斯托克斯分别提出粘性流体运动方程组（N-S方程）第四阶段（19世纪末以来）流体力学飞跃发展理论分析与试验研究相结合量纲分析和相似性原理起重要作用 1877-1878年 Lord Raleigh在其声理论中阐述了“因次方法”1883年雷诺雷诺实验（判断流态）1903年普朗特边界层概念（绕流运动） 1911年

4、，俄国人A.Federmann和Raibouchinsky分别发现了量纲分析的基本定理 1914年，美国人E.Buckingham引入了术语“-定理” 1933-1934年尼古拉兹尼古拉兹实验（确定阻力系数）流体力学与相关的邻近学科相互渗透，形成很多新分支和交叉学科机电工程学院液压研究所周立强1.1 理论研究方法 力学模型物理基本定律求解数学方程分析和揭示本质和规律 实验方法相似理论实验建模实验（量纲分析与相似理论） 数值方法计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一。（研究生学习阶段） 理论分析方法、实验方法、数值方法相互配合，互为补充刚体：有形状、有体积液体：无形状、有体积气体：既无

5、形状、也无体积 假设流体是由一个接一个、连续充满空间的具有确定质量的流体微团（或流体质点）组成的。微团之间无孔洞，在运动过程中相邻微团之间不能超越也不能落后，微团变形过程中相邻微团永远连接在一起。（连续性）其目的是在流体力学研究中，利用连续函数的概念和场论的方法。连续介质流体微元具有流体宏观特性的最小体积的流体团理想流体不考虑粘性的流体不可压缩性=c0limmmm Ff根据作用方式的不同，可将力分为质量力和表面力。1.3.1质量力：如：重力、惯性力、电磁力单位质量力000limlimlimxxmyymzzmfmfmfmFFF注意：单位质量力具有加速度量纲力作用在所研究的流体质量中心，与质量成正

6、比mxyzffffijk式中 ：流体微元体的质量； ：作用在该微元体上的质量力；mmF()mmxyzddmdmfffFfijk单位质量流体所受的质量力称为单位质量力，记作重力zGg V 00 xyzfffg 00 xyzGGGg V 单位质量重力x图图1-1 作用在流体表面的作用在流体表面的质量力与表面力质量力与表面力zyVng VOnPPPVaAP表面力惯性力aFa V xxyyzzfafafa xxyyzzFVaFVaFVa 单位质量惯性力0limAPA 1.3.2.表面力：应力切线方向：切向应力剪切力内法线方向：法向应力压强0limnAPpA 0limAPA PAPnPt剪切力：流体相对

7、运动时，因粘性而产生的内摩擦力外界对所研究流体表面的作用力。与所作用的表面积大小成正比zyxVng VOnPPPVaA1.3.3.应力场：图1-2 一点处的应力PAnPPMA PB n 图1-3 一点处的应力关系（四面体）O nnnp dAxxp dAyyp dAzzp dAzxyA B C MxpO zy-xxpxpC B 正面正面负面负面M（b）（a）对于图1-2，在外法线为n的面上的点M的的应力为：0limnnAPpA 该应力可分解为如图1-3所示的分力：xpypzp正面：xpypzp负面：yypp xxpp zzpp 根据牛顿第三定律：x、y、z方向上的面积投影关系：cos,cos,c

8、os,xnxnynynznzndAdAn xn dAdAdAn yn dAdAdAn zn dA（1-7）则最终作用在四面体四个微元面积上的总外表面力分别为：yyp dAxxp dAzzp dAnnp dA作用在四面体上的外力还有质量力（包括惯性力）根据达朗伯原理：0nxyznxyzfdmp dAp dAp dAp dA 其中13ndmdAh 四面体ABC面的高（1-9）当四面体趋向于点M时，0h ，则（1-9）式可变为xyznxyzpn pn pn p （1-11）nxxxxyyxzzxnyyxyyyyzzynzxxzyyzzzzpn pn pn ppn pn pn ppn pn pn p应

9、力在三个方向上的投影形式为（1-12）应力所在平面法线法向应力的方向 xxxyxzyxyyyzzxzyzzppppppppp xxxyxzyxyyyzzxzyzzppp将（1-12）改为矩阵形式（1-13）（1-14） 0 00 00 0 xxyyzzppp由（1-14）（1-15）静止流体不显示粘性，理想流体模型无粘性。根据静止流体和理想流体的性质可知， =xxyyzzpppp 流体静力学中的压强1.4.1易流动性 任何微小的剪切力都可以使流体连续变形的性质称为流体的易流动性。与固体相比，流体微团的易流动性，使其不能用位移和变形量本身来量度，而必须用速度和变形速度来量度。1.4.2 惯性连续

10、介质范围分子效应范围mVmV振荡范围OVVMVm微元体图1-4 一点处密度的定义limVVmV 0limVmV 点密度对于均质流体mV对于可压缩流体，当压强、速度或空间发生变化时，应采用上式。（1-17）（1-18）（1-19）1.4.3重力特征GmgVV均质流体的重度，又称均质流体容重非均质流体任意一点的重度00limlimVVGmgVV mVg（1-23）（1-20）（1-21）fluid elementxydyxFux静止板恒定速度ux xvyy 二板的面积均为A图1-5 Planar Couette（库爱特粘度计）（库爱特粘度计）1.4.4 粘性 Viscosity 理想流体模型流体具

11、有抵抗其微团之间相对运动（剪切变形）的性质称为粘性。粘性与温度、压力、速度梯度有关。xy v速度梯度速度梯度(velocity gradient) or 剪切速率剪切速率(shear rate)shear stressshear rateFAv1687年， Isaac Newton 首先提出了流体粘度的模型。尽管Newton 定义的粘度是理想的（牛顿流体）。 但对于诸如低分子液体、稀薄的气体，在许多条件下仍然适用；然而对于诸如聚合物、溶液、熔液、血液、油墨和胶体悬浮液不能用Newton定律进行描述。这样的流体被称为 非牛顿流体（non-Newtonian）.1.4.5 粘性系数- -与剪切应力

12、和速度梯度相关联与剪切应力和速度梯度相关联对于二维平面 Couette流, Newton 定义的粘度可以由下式给出xyxddyv（1-27）式式1-27表达剪切应力与表达剪切应力与 和速度梯度的关系和速度梯度的关系 绝对粘度（absolute viscosity） 与温度、压力有关联的系数与温度、压力有关联的系数 因此对于牛顿流体（Newtonian fluid ） = 。注意：是 Newtonian-model 参数, 其与温度和压力有关； 而是一个更一般的材料特性，可以随剪切率做非线性变化。h与与m概概念不相念不相同同xxddtvdyxdtvxddtd1.4.6 速度梯度的物理意义xddy

13、角变形速度（剪切变形速度）xddtdtgddyxdddydt流体与固体在摩擦规律上完全不同固体： 与正压力成正比，与速度无关流体：与xddy成正比Oxddy0塑性流体胀塑性流体牛顿流体假塑性流体图1-7 牛顿流体与非牛顿流体绝对粘度与密度有关，将它与密度比较得出运动粘度，相对粘度。 1.4.7 运动粘度 kinematic viscosity （1-32）与温度有关单位与温度和压力有关；单位2msPa s 例1-1：汽缸直径D=120mm，活塞直径d=119.6mm，活塞长度L=140mm，活塞往复运动的速度为1m/s，工作时的润滑油的=0.1Pas。求：作用在活塞上的粘性力。解：xdFAdy

14、20.11960.140.053Ad Lm30.0530.1 5 1026.5FN 3-1-01-05 10(-)/ 2(0.12-0.1196)/ 2xxdsdyD dxdFAdy因属于牛顿流体26.5 126.5xNFW 消耗功率例1-2：旋转圆筒粘度计，外筒固定，内筒转速n=10r/min。内外筒间充入实验液体。内筒r1=19.3mm，外筒 r2=20mm，内筒高h=70mm，间隙d=0.2mm，转轴上扭距M=0.0045Nm。求该实验液体的粘度。解：260n且111121rMFrArrrxdFAdy因属于牛顿流体1）对于外圆表面，有12Arh21rrr孔轴旋转2311111212126

15、0215nrnhrMrhrrrrr231100.070.01930.00473 150.0007MN m2）对于端面（圆盘旋转）OBdzydr uu r uu z圆盘缝隙中的回转运动durdzdurdz 2dAdr22rdFdAdr431221022drMr dr总力矩12MMM20.00124M计算得0.00450.004730.001240.00450.753770.004370.00124Pa s1.4.8压缩（膨胀）性 不可压缩流体模型压缩系数在一定温度下，密度的变化率与压强的变化成正比pddp流体的压缩性和热胀性0dmdVVddV因质量守恒ddV V pddV Vdpdp 虎克定律虎

16、克定律Hookes law（1-47）（1-46）体积弹性模量1pdpdpEVddV E 的单位2N m当压强一定，温度发生变化时TddV VdTdT 热膨胀系数不可压缩流体模型 在一般温度和压强情况下，流体的可压缩性很小，我们一般认为不可压缩。例如：20C水，在100MPa压强作用下，其体积减少约5%，压缩系数为5x10-10m2/N，各种矿物液压油的平均压缩系数为6x10-10m2/N，所以，在液压系统设计中，往往认为液压油不可压缩。 注意：若对液压系统进行动力学仿真时，往往需要考虑。1.4.9 理想气体状态方程pRTR气体常数空气R=8.31/0.029=287J/kgK 等温过程：压缩

17、系数 等压过程：膨胀系数 绝热过程：压缩系数 低速（标准状态，v 68m/s）气流可按不可压缩流体处理1Tddp pdpdpp 1pdV VdT TdTdTT1ddppdpdpp 由液压泵等装置吸入油液时带入的空气可以迅速溶入液体，在压力降低到一定程度时产生气泡， - dissolving （溶解） coefficient at normal pressure At normal pressure Va=Vf .21afpVVpAt high pressure, the volume of the dissolved air is much more than the volume of th

18、e liquid爬行、振动、噪声转换动作迟缓降低了热传导加速油液老化气蚀00201famixturelflaVVKKVpKVpKl: 液体可压缩性Vf: 液体体积Va0: 正常状态下气体体积p0: 标准压力p: 实际压力本小节总结：本小节总结：要求掌握：粘性的概念及其特性（与温度、压强的关系）；牛顿内摩擦定律及其计算；了解可压缩性与热膨胀性；不可压缩流体注意：运动粘度反映流体的流动性，动力粘度反映运动的剪切应力。运动要素：表征流体运动状态的物理量 场的概念：如果在全部空间或部分空间的每一点、都对应某个物理量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个场，如果这个物理量是数量，就称这个场

19、为数量场。若是矢量，就称这个场为矢量场。场的描述方法：拉格朗日（ Lagrange）法和欧拉（Euler）法场又可分为： 稳定场 时变场（不稳定场）1.5.1 拉格朗日拉格朗日法（随体法或跟踪法）基本思想：跟踪每个流体微团的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理量及其变化规律。()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，时刻，微团坐标为（a，b，c）；则t 时刻位移流体质点的位置坐标变为：物理概念清晰，但处理问题十分困难0t（1-53）()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，1.流体质点的位置坐标：2.速度：()()

20、()()()()x abctuu abctty abctvv abcttz abctww abctt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，3.流体质点的加速度222222()()()()()()()()()xxyyyyu abctx abctaaabctttv abcty abctaaabctttw abctz abctaaabcttt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，流体质点的运动方程1.5.2 欧拉法（Euler法）Euler 描述法 ： 在流体所占据的空间中，对每一个固定点，研究流体质点经过该点时其力学量的变化情况，整个流体的运动可认为

21、是空间各点流动参量变化情况的综合。 用空间点位置坐标 ( x, y, z )来表示某一确定点，称(x, y, z)为 Euler 坐标或空间坐标。通常称f ( x, y, z, t )为Euler 变量。 若以f 表示流体的某一个物理量，其Euler 描述的数学表达式是： (),fF xyztFtr， ， ，（1-56） 在任意 t 时刻，空间任意一点 ( x, y, z ) 的V、 p、T、将是 （x, y, z, t ）的函数，即 ()()()()VV xyztpp xyztTT xyztxyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，（1-57）若x、y、z为常量，上式表示在空间某一特定点上，

22、 V、 p、 T、随时间 的变化情况；若 t 恒定，则上式表示空间各个点在某一个特定时刻有关力学量的 数值分布。V, , p, , 等有关力学量都是空间点x、y、z 坐标的函数 速度场、压力场、密度场等 流体运动的问题转化为研究有关矢量场和数量场问题 按场内函数空间位置 x、 y、 z是否变化， 分为 均匀场和非均匀场 。按场内函数与 t 的关系，分为定常场（稳定场）和非定常场（不稳定场）。1.5.3 Lagrange法与法与Euler法的关系设表达式 f =（a、b、c、d、t）表示流体质点在 t 时刻的物理量。如果设想流体某一质点（a、b、c、d ）恰好在 t 时刻运动到空间点 （x, y

23、, z）上，则应有()()()xx abcdtyy abcdtzz abcdt， ， ， ， ， ， ， ， ， ，()()()()aa xyztbb xyztcc xyztdd xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ，()fabctfa xyztb xyztc xyzttF xyzt， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，LagrangeEuler为了与教材一致(),fF xyztFtr， ， ，设Euler表达式：()xyzt， ， ，及()()()xyzx abctutdy abctfudttz abctutr， ， ， ， ， ， ，常微分方程的解为：当0tt时，abcr， ，11

24、0220330()()()cc abctccabctccabct， ， ， ， ， ， ，,t),c,cz(cz,t),c,cy(cy,t),c,cx(cx321321321()()()xx abctyy abctzz abct， ， ， ， ， ， ，将此式代入 f =F (x，y，z，t )，即得到 Lagrange 描述。 例1-3 已知Lagrange描述： ttxaeybe，求速度与加速度的Euler描述。解：速度与加速度的Lagrange描述为：ttxyyttxxydxdyuaeubedtdtduduaaeabedtdt ，因已知ttxaeybe，可得ttaxebye，并将此式代入

25、上式，得Euler描述xyxyuxuyaxay ，例1-4 已知Euler描述： xyuxuy ，初始条件为，0txayb时，求速度与加速度的Lagrange 描述。解：12xyttdxdyuxuydtdtxc eyc e ，0txayb又因时，得-ttttxyyttxxyxaeybeuxaeuybeduduaaeabedtdt，Lagrange 描述1.5.4 加速度场AOrr+drdrBMAMxzyOM（x，y，z）u（x，y，z，t）MM（x+dx，y+dy，z+dz）u（x+dx，y+dy，z+dz，t+dt）dt图1-16 Lagrange法与Euler法图1-17 流场内空间点()

26、xyztuu， ， ，速度场中某点M位置()xdxydyzdztdtxyztddtdtuuua， ， ，以u为中心，将u 按泰勒（Taylor）级数展开()xdxydyzdztdtxyztdxdydzdtxyztuuuuuu， ， ，Taylor级数展开请参阅高等数学有关章节由上，则有xyzduuudtdttxyzuuuuuuu()xdxydyzdztdtxyztdtdxdydzdtx dty dtz dtt dtuuuuuu， ， ，a在直角坐标上的投影：xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyzduuuuuuuudttxyz

27、讨论：在欧拉描述中，着眼点是空间点（不是质点），物理量被表示为空间点的函数；因此，要描述质点物理量随时间的变化，没有Lagrange直接。要求一质点物理量随时间的变化，必须跟着质点看物理量变化，这时作为质点空间位置的坐标（x,y,z）也就是时间t的函数了（注意，在欧拉描述中，x,y,z本是自变量，但讨论到质点运动，作为质点空间位置的x,y,z时，它就变为时间t的函数）。这样，求欧拉的物理量F跟随质点的时间变化率随体导数（有时称质点导数）时，就有： xyzdx ty tz ttdtdxdydztxdtydtzdtuuutxyztFFFFFFFFFFuF，由上式看出，随体导数是两项之和，第一项，是

28、物理量F场的时间变化率（x, y, z不变），称局部导数，第二项，是物理量F随质点位置变化引起的（u u方向上F的变化），称对流导数（或位变导数）。 xyz ijk汉密尔顿（汉密尔顿（W. R. Hamilton）Nabla nbl例1-5：已知速度场解：22423xyxyxyxyzuu，试问 （1）点（1，1，2）的加速度是多少 ；（；（2）流动是几元流 ? （3）流动是恒定流还是非恒定流 ? （4）是均匀）是均匀流还是非均匀流动。流还是非均匀流动。xxxxxxxyzyyyyyyxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxxxxxyyyyyxyduuuauudtx

29、yduuuauudtxy22222222424242333423xyxyxyxyxyaxyxyxyzxyxyzxyzaxyxyxyzxy22224283242332xyaxyxyxxyxyzxaxyxyxyzy代入点（1，1，2）得421813122175421 3312213xyaa 三元流；不随时间变化，稳定流（恒定流）；随空间变化，非均匀流。例1- 6：流场的速度分布为：22z65375xyxyxtyxyzt uuu，求流体在点（2，1，4 ）和时间t =3 时的速度、加速度。 解：代入点 （2，1，4） 和时间t =3，得速度值为 2222z656 2 1 5 2 34233 1375

30、7 2 15 4 346xyxyxtyxyzt uuuxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz因 2222223 5x6xy5xt6y5t3y6x7xy5zt0 5x18xy60 xyt25xt 065036750 =18xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzxduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzxyxtyyxyztyduuaudtt 2222 5657314755 525zzzyzuuuuuxyzzxyxtyyxyxyzttzzt 代入点（2、1、4）

31、与t=3的值，得加速度的值856 18880 xxyyzzduadtduadtduadt1.6.1迹线 ：迹线：流体质点在不同时刻的运动位置的连线。迹线的概念直接与 Lagrange 描述联系。 对于 Euler描述求迹线较为复杂。 ()()()xyzdxx abctudttddyy abctfudtdttdzz abctudttr， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdtuabctdydtuabctdzdtuz abct， ， ， ， ， ， ，()()()xyzdxdydzuabctuabctuz abdtct， ， ， ， ， ， ，流线方程Euler描述是某一确定时间，某物理

32、特性的分布。1.6.2 流线 ：流线：描述流场中各点流动方向的曲线，线上任一点的切线方向与 该点在该时刻的速度矢量方向一致。0d ru000()()()xyzdxdydzuabctuabctuabct， ， ， ， ， ， ，流线的性质 ： （1）过一点只能有一条流线；（2）流线不能转折。 流线就是液体或气体流动时轨迹，常用于研究液体或气体环绕固体面流动的状况流线（streamline） 风洞棒球风洞1.6.3 流面、流管与流束C对于场中的任意一条曲线C（非矢量线），在其上的每一个点处，也皆有且仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体，就构成一张通过曲线C的曲面，称之为矢量面。当C为一封闭曲线时，

33、通过C的矢量面，就构成了一个管形曲面，称之为矢量管。对于流体分别称之为流面和流管。C流面流管流束 ：流管内的流线组成一束。 流体朝一个方向流动即流道的轴线方向流动，这样可以 把空间近似看成一个流管。在数学上变成一维问题，用断面上平均物理量来代替断面上的物理量的实际分布。流管的两个重要特性：（1）流体不能穿越流管 ；（2）当封闭曲线的面积A很小时，流管断面可认为物理量均匀分布。管状流动： 流道上与流线族成正交的面。其面积用 A 来表示，则断面上的平均速度定义为过流断面：AudAA其中，AQudA流量端面上一点的速度平均速度例1-7 已知：xuxt，yuyt 0zu ，。 求t=0时，经过点M（-

34、1，-1）的流线和迹线。dxdyxtyt解：流线微分方程为：xtytc当t=0时，x=-1，y=-11c 经过点M（-1，-1）的流线为1xy dxx tdt 求迹线dyy tdt ，1211ttxcetyc et 当t=0 时，x=-1，y=-1120cc11xtyt 消去t2xy例1-8已知流体质点运动轨迹是 x=at +1, y = bt1，求流线族。 解：11xatybt，a、b 表达式，为11xyabtt，流体质点的运动速度xydxdyua ubdtdt，11xyxyuaubtt ，将a、b代入上式由流线方程，可得11dxdyxy流线族11xc y 1.7 速度分解定理速度分解定理刚

35、体运动：平移运动旋转运动流体微团：平移运动旋转运动变形运动角变形运动线变形运动ududy平移绕定轴旋转变形（线性变形与转角变形）剪切流动：图1-28 方形流体微团ADCBMxuyudydx22xxyyudxuxudxux22xxyyudyuyudyuy22xxyyudyuyudyuy22xxyyudxuxudxux具有速度梯度流体微团的平移运动 平移运动速度 xyzuuu， ，流体微团的线变形运动 A、C点之间在x方向上的速度差：xCxAxuuudxx线变形速度:xxxudx dtuxdx dtxADCBMxuyudydx22xxyyu dxuxudxux22xxyyu dyuyudyuy22

36、xxyyu dyuyudyuy22xxyyu dxuxudxuxdt时间内拉伸长度单位长度、单位时间线性变形速度xxyyzzuxuyuzyxzuuudivxyzu单位体积膨胀率：同理可得：流体随空间的变化0div u表示无源或不可压缩流体0div u表示被压缩，或有泄漏、蓄能器蓄能等0div u表示被拉伸、膨胀；流体有补充，即有泵、蓄能器释放能量等流体微团的线变形运动contd. 流体微团的旋转运动 B、C点速度22xBxxyCyyudyuuyudxuuxB、C点相对于M点的旋转角速度： 22xxudyuydyyB点C点22yyudxuxdxxdy/2规定：逆时针旋转为正 MBFCBFCyxdx/2速度增量与x轴相反速度增量与y轴相同 MF 相对于 M点的旋转角速度为BM和CM 这两条边旋转角速度的平均值 12yxzuuxy同理可推至空间坐标121212yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxy1122xyzxyzuuu ijkuxyzijk或右手定则若0有势无旋涡线方程：xyzdxdydz涡量（即旋度）：等于2倍的。其值越大，涡旋强度越大。其值越大，涡旋强度越大。rotuuyzxxzyyzzu