高中三年级二轮复习专题：平面向量(老师)文科

1、专题平面向量考点整合1. 向量的概念(1) 零向量模的大小为 0,方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.a(2) 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为(3) 方向一样或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4) 如果直线I的斜率为k,那么a = (1, k)是直线I的一个方向向量.(5) 向量的投影：|b|cos a, b叫做向量b在向量a方向上的投影.2. 向量的运算(1) 向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的根底，应熟练掌握其运算规律.(2) 平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律.a b运

2、算结果不仅与a, b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即 a b = |a|b|cos a, b>.3. 两非零向量平行、垂直的充要条件假设 a= (x1, y1), b = (x2, y2),那么 a/ b? a = b? xy X2y1 = 0.a 丄 b? a b = 0? X1X2 + y1y2= 0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆.真题感悟1. (2021 )在四边形ABCD中，AC= (1,2), BD = (-4,2)，那么该四边形的面积为 ()A. 5B. 2 ,5C . 5D . 10答案C解析因为Ac bd = 0, AC丄 BD.四边形 AB

3、CD 的面积 S= |AC|BD| = |x 5X 2 5 = 5.2. (2021 )点 A( 1,1)、B(1,2)、C(- 2, 1)、D(3,4),那么向量 AB在CD方向上的投影为(A. 2 B. 2C.3、23 '152 D. - 2答案A3. (2021 )向量a, b, c在正方形网格中的位置如下列图，假设c= ?a+ Q(人 吐R)，那么b=答案4解析以向量a和b的交点为原点建立直角坐标系，那么a = ( 1,1), b= (6,2), c= (- 1,3)，根据 c= ?a+ Q? ( 1, 3) = X 1,1) + p(6,2)有?d- 6 卩=1,汁 2 尸3

4、,解 之得 X= 2 且 尸- 1，故 '=4.2 卩4. (2021 )在平行四边形 ABCD中，AD = 1 , / BAD = 60 ° E为CD的中点.假设AC BE= 1,那么AB的长为1答案1解析在平行四边形 ABCD中，取AB的中点F，那么BE= FD ,BE= FD = AD AB ,> > > 又 AC= AD + AB ACBE = (AD + AB) (AD qAB)=Ad21ad Ab+Ad Ab |Ab2=|AD|2 + |AD|AB|cos60 2|Ab|21、/1 t 1 t 2 彳=1+ -X 2|AB| 2|AB|2= 1.

5、1tTT 1 - |AB|AB|= 0，又 |AB|H 0, |AB|= 35. (2021 )如图，在矩形 ABCD中，AB = '2, BC = 2,点E为BC的中点，点F在边CD上,答案2解析方法一坐标法.以A为坐标原点，AB, AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，那么A(0,0), B( 2, 0), E( 2, 1), F(x,2).故AB= ( ,2, 0), AF = (x,2), AE = ( .2, 1),BF = (x .2, 2), AB aF = ( 一 2, 0) (x,2)= 2x.又AB Af = . 2, x= 1. BF = (1 一 2, 2

6、). AEbF = (-；2, 1)(12, 2)= '2 2 + 2 =2 方法二用AB, BC表示 AE, BF是关键.设DF = xAB,那么 CF = (x 1)AB.AB AF = Ab (AD + DF)=AB (AD + xAB)= xAB2= 2x, 又 Ab af = .'2, 2x= 2, Ae ebf = (Ab + BE) - bC+t 1 t t '2=AB + 2BC BC+ 22 1=弩1 AB2+*bC2='2 1 X 2 + * 4= 22 2BF = BC+ CF = Be + 豎1 Ab 富-1 Ab 2Ab题型与方法题型一

7、向量的概念与线性运算n【例 11 (1)向量 a= (cos a, 2), b = (sin a, 1)，且 a II b，那么 tan a-等于()1 1A . SB.gC . 3D. 3 (2)|O)A|= 1 , |OB|= ,3, 6a OB= 0,点 C 在/ AOB ,且/ AOC = 30° 设OC = mC)A+ nOfe, m(m, n R),那么 =.n 审题破题(1)直接根据向量共线的坐标表示求tana,再用差角公式求tan a 7 ; (2)寻找点C满足的条件.答案(1)C(2)3解析(1) t a I b, cos a= 2sin a1 11 .n2小-ta

8、n a-, - - tan a .3.2 411 + 一叶2方法一 |OA|= 1, |OB|= 3, oA Ob= 0,不妨假设点 C在AB上，且/ AOC = 30°以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，建立直角坐标系，那么 A点 坐标为(1,0), B 点坐标为(0, . 3), C 点坐标为 4， 43 , OC = mOA+ nOB (m, n R), 所以存在m = 3, n 1使假设成立，此时 m= 3.44n方法二由条件|OA|= 1, |OB| 3, OA OB= 0,可建立以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴的直角坐标系，那么 OA =

9、 (1,0), OB = (0, . 由OC= mOA + nOB,得OC = (m,；3n).又因为/ AOC = 30°点C在/AOB,可得警=tan30%，13,即 m= 3.n反思归纳向量的共线定理和平面向量根本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理平面向量根本定理是平面任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示,这个定理的一个极为重要的导出结果是，如果a, b不共线，那么 入a +血=pia +妙的充要条件是 入=p且？2= p.共线向量定理有一个直接的导出结论， 即如果OA= xOB + yOC，那么A, B, C三点共线的充要条件是 x+ y= 1.AC变式训练

10、1如下列图，在 ABC中，点O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB,于不同的两点M , N,(A . 2B . 4 9CQD . 9答案C解析 Mo = Ao-Amab+ AC 1 t 11 t 1 t=mAB= 2mAB+2AC.T 11 T 1 t同理 NO= 2 n AC+ 2AB , M , O, N 三点共线,-JaC + 1AB ,；AC= 0，由于Ab , AC不共线，根据平面向量根本定理1 1 -> 1 ->12mAB+2AC = 21 1 入T 1 入2 m2AB+ 22+£= 0且1 ；+- = 0，消掉入即得m+ n = 2,222 n故1

11、+ 4= 2(m+ n)丄 + -m n 2m n1 n 4m 19=2 5+ m+E?1(5+ 4) = 2题型二平面向量的数量积例2】(1)向量a和b的夹角为120° |a|= 1, |b|= 3，那么|5a b| =.(2)(2021 )在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1,假设M、N分别是边BC、CD上的点，且满足|BMJ = 即，那么AM AN的取值围是 |BC| |CD|审题破题 利用公式|a|2= aa直接计算；利用基向量法，把AM , AN都用AB, AD表示，再求数量积.答案(1)7(2) 1,4解析(1)|5a - b|2= (5a b)2= 25a2

12、10a b+ b21=25X 12 10X 1 X 3X + 32= 49,所以 |5a b|= 7.土 十內 5 |BM| ICNInN 1A(2)如下列图，设f =丁|BC| |CD|=X0W疋1)，那么Bm =泊C,CN= QD, DN = CN CD=(入-1)CD, Am An=(AB+ BM) (Ad + DN)=(AB+ ?BC) AD + ( 1)CD =(入一1)AB CD + 旧C AD=4(1 ?)+ 入=4 3 入当 匸0时，AM aN取得最大值4; 当入=1时，Am aN取得最小值1. AM aNj 1,4.反思归纳向量的数量积计算有三种方法：(1)利用向量数量积的定

13、义，计算两个向量的模与夹角；(2)根据向量数量积的几何意义，明确向量投影的含义；(3)建立坐标系写出向量坐标，利用向量的坐标进展运算.变式训练 2(1)(2021 )在厶 ABC 中，/ A= 90° AB= 1 , AC= 2设点 P, Q 满足 AP= ?AB, AQ=(1 为AC,入 R 假设 BQ CP = 2，那么 X=.2答案23解析由题意知 BQ = AQ AB = (1 ?)AC AB,CP= AP AC= ?AB AC，且 AB AC= 0,故 Bq cp= (z 1)Ac2 ?Ab2=4( Z 1)入=3 Z 4= 2，即 Z= 2.3(2)(2021 )向量 a

14、B与Ac的夹角为 120° 且 |AB|= 3, |AC|= 2假设 AP =瓜B+ AC,且 Ap丄BC,那么实数 入的值为.答案712解析由AP丄BC知AP Bc= o,即AP Bc =(瓜B+AC)(ACab)=(卜 i)AB ac 入 AB2+AC2= g 1)X 3X 2X 2 入x 9+ 4 = o，解得 匸 g题型三平面向量与三角函数的综合例 3向量 a= (cos a, sin a, b= (cosx, sinx), c= (sinx+ 2sin a, cosx+ 2cos 0)，其中 0< a<x< n.(1)假设a=n求函数f(x) = bc的最

15、小值与相应x的值；4n假设a与b的夹角为3，且a丄c,求tan2a的值.审题破题求解此题的关键是准确利用向量的坐标运算化简条件，将其转化为三角函数中的有关问题.(1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角 函数式转化为二次函数式， 由此可解得函数的最小值与对应的 x值.注意利用换元法令t= sin x+ cos x时，要确定t的取值围.(2)由夹角公式与 a丄c可得关于角 a的三角函数 等式，通过三角恒等变换可得结果.解(1) / b = (cosx, sinx),nc= (sinx+ 2sin a, cosx+ 2cos", a= 4,/ f(x)=

16、b c= cosxsin x + 2cosxsin a+ sin xcosx + 2sin x cos a= 2sin xcosx+ 2(sin x+ cosx).n2令 t= sinx+ cosx 4<x< n，那么 2sinxcosx= t2 1,且一1<t< .2.那么 y = t2+ 2t 1= t+孑 2 |, 1<t< 2,sinx+ cosx= 即.2sin x +=n4<x< nn n 5n 72<x+ 4<4n x+4=6n11 n x= 12 *函数f(x)的最小值为一3相应x的值为*n(2) / a与b的夹角为3

17、, cosn= a b = cos ocosx + sin «sinx = cos(x a).3|a|b|n -0< a<x< n,0<x a< n,x a= 3.3 cos0sinx+ 2sin a+ sin a(cosx+ 2cos"= 0,n sin(x+ a) + 2sin2 a= 0, 即卩 sin 2 a+ 3 + 2sin2 a= 0. 35/2Sin2 a+ 2 cos2 a= 0, tan2 a=反思归纳在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的

18、关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等； 另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题.在解决此类问题的过程中， 只要根据题目的具体要求， 在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.'Tp变式训练 3(2021)设向量 a= ( 3sinx, sinx), b= (cosx, sinx), x 0,.设函数f(x)= a b，求f(x)的最大值. 解(1)由 |a|2= ( ;3sinx)2 + sin2x= 4sin2x, |b|2= cos2x+ si n2x= 1,与|a|= |b|,得 4sin2x= 1.又x 0,扌，从而 sinx= &#

19、163; 所以 x= n2 2 6(2)f(x) = a b= .'3sinx cosx+ sin2x-.'3 .11 2 sin2x 2cos2x + 少 c n , 1=sin 2x-6 + 2，当x = n 0, 2时，sin 2x- f取最大值1.3所以f(x)的最大值为3,小题冲关ABC的外接圆的圆心为 O,半径为2, OA + AB + AC= 0且|OA|= |AB|，那么向量CA在 CB上的投影的长度为()A/.'3B. 3C. .'3D . - 3答案A解析由OA+Ab+ Ac = 0, 得 AB+ Ac = Ao.又O ABC外接圆的圆心，

20、OB = OC,(四边形ABOC为菱形，AO丄BC. 由|OA|= |AB|= 2,知 AOC为等边三角形. 故CA在 CB上的投影的长度为|CF|= 2cosn = '. '3.2. 如图， ABC 中，/ C= 90 °且 AC =A . 2B . 3答案B解析 CM CB= (CB+ BM) CB= CB2 + CBX |bA = CB2 + |cb (CA- CB) = CB2= 3.3 3313. (2021 )设厶ABC, Po是边AB上一定点，满足 PoB = AB,且对于边 AB上任一点 P,恒 有 PB PC > PoB PoC，那么()A . Z ABC = 90 °