浅析洛必达法则求函数极限

1、-用洛必达法则求未定式极限的方法一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用围一洛必达法则定理定理11 假设函数与函数满足以下条件：1在的*去心邻域可导，且23 则包括A为无穷大的情形定理2 假设函数和满足以下条件1在的*去心邻域可导，且23 则包括A为无穷大的情形此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：。定理证明：作辅助函数于是函数F(*)及G(*)在连续，在可导，并且今对任意一点，利用柯西中值定理得由的定义，上式即所以当时这时显然有，对上式两端取极限，即证毕。关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。二洛必达法则使用条件只有在分子、分母同时趋于零或者同

2、时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。连续屡次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，假设是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。例1：求分析：根据洛必达法则使用条件，此式为型，所以可以使用洛必达法则，但是，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进展第二次。解： 事实上，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。二、洛必达法则的应用一 根本类型：不定式直接应用法则求极限例2：求解： 这是待定型。运用洛必达法则，我们有因为

3、从而 例4：求解：上述极限是待定型，于是二 未定式的其它类型：、型极限的求解此外，除了这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如等待定型，由于他们都可以转化为，因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值2。关于如何转换，例如则是形式，这时，可以写为，这就转化为了。此外对于等不定式，可以取对数化为的形式，再运用如上方法便可转化为了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明3。例5：解：这是型，设法化为形式： = = = =例6：求解：这是 =e*p =e*p =例7：求解:这是待定型，经变形得，而故 例8：求解：这是待定型，可变形为，成了待定型，于是例9：求解：这是待定型，由对数恒等式知，运用

4、例8可得三、洛必达法则对于实值函数的失效问题洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的根本原因有以下几种。一使用洛必达法则后，极限不存在非，也就是不符合以上定理1、2的条件34 例10：计算 解：原式=二使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件3 例11：计算 解：原式=1三使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件3

5、 例12：计算 解：令，则原式=四求导后有零点，也就是不满足条件例如，的极限是不存在的，事实上，取，此时分母的导数是有零点的。四、洛必达法则与其它求极限方法比拟使用洛必达法则时不要无视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最适宜的方法。对于解函数极限的题，假设是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。一洛必达法则与无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记以下等价无穷小量：当时，用此方法应要注意，加减的无

6、穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换5，下面举个例子作为比拟。例13 求解1：运用无穷小量代替法解2：利用洛必达法则= = = =分析：此题假设直接用洛必达法则，则会较麻烦，相反，假设之前先用无穷小量替代，就可简化解题过程。解：=二洛必达法则与运用极限的运算和的极限求极限比拟6利用极限的定义和适当放大法也是可以求出一些较为“简单形式变量的极限。一旦我们知道了一些极限后，用加减乘除的方法就可以计算出一些较为复杂的极限，这也是极限运算中比拟常见、便捷的方法。如下几个例子，就可以运用加减乘除简便的求出函数的极限。

7、例14：求解1: =这里运用到了解2：此题假设是使用洛必达法则，则需要使用洛必达法则四次，显的尤为繁琐，这里可以给出洛必达法则求此极限的解题过程，以做说明。 = 第一次运用洛必达法则 = = 第二次运用洛必达法则 = = 第三次运用洛必达法则 = 第四次运用洛必达法则所以原式=。单已例14为例，纵观用极限运算和极限来求函数极限同使用洛必达法则求极限，显而易见前者要显的简单的多，在实际极限运算中，要灵活应用，找出最适合该题的解法。三洛必达法则与利用夹逼定理求函数极限比拟夹逼定理也是求函数极限的一种有效方法。定理容：如果对于点的*一零域的一切，但本身可以除以或对于绝对值大于*一正数的一切有不等式成

8、立，且，则。使用两边夹法则求函数极限，关于在于把适当放大或者缩小。下面举个例子分别用洛必达法则和夹逼定理来求函数极限，以作比拟。例15：求解1：运用两边夹定理对于任意，当时，有且根据两边夹定理，则解2：利用洛必达法则分析：首先可以看出原式是属于形式，所以要利用转换，把原式化为洛必达法则标准形式，但是这里，需要运用到两次转换，过程显得有些繁琐。 第一次转换 先求 第二次转换 = = 综上：原式=纵观这两种解法比拟，假设说篇幅，单是解题过程，两边夹定理要比洛必达法则简便，但是假设说难易程度，则洛必达法则要比两边夹定理的应用来的简单易懂些。五、洛必达法则求极限考前须知小结诚然，洛必达法则的容简单，使

9、用方便，但在使用过程中，一但疏忽以下几点，很可能造成运算出错。一洛必达法则条件不可逆洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的。因此，在型或型中，存在，并不能断言不存在，只是这是不能使用法则，而必须寻找其他适宜的解题方法，以下例子可以明显看出。例16：求分析：根据洛必达法则使用条件，此题属于型，此时假设使用洛必达法则则，显而易见极限不存在，但是是否原式的极限也不存在.答案是否认的，下面我们用其他方法来解此题。解：结果为1，所以原式的极限是存在的。所以，法则失效时要寻求别的方法来求极限。二使用洛必达法则时，应及时化简使用洛必达法则时，应及时化简，主要是指代数、三角函数的变形，经常使用的就有无穷小量代

10、替法、别离极限不为零的因子、变量代换等下面通过例子说明7。例17：分析：此题假设是直接使用洛必达法则，察其复杂程度，求导定会带来复杂运算，直接使用无穷小量代换又不知分子如何代换，故可以考虑拆开来看，具体解题过程如下。解： = = = =上题运用了无穷小量代替法、别离极限不为零的因子、洛必达法则等几种方法，由这题可知，洛必达法则不可贸然使用，必要时应同其他方法结合使用，以化简解题过程。三不定型转换从上面洛必达法则介绍中可知，使用洛必达法则的只有，对于其他不定型只有对其进展转换，变为不定型，才能使用洛必达法则求解。然，转换过程也有一定讲究。对型进展转化时，谁放分子，谁放分母是有讲究的，如下例子说明。例18：求分析：明显此题是属于不定型，假设如下转换：极限反倒变复杂了，所以替换应看清如何简便计算，以进展适宜的替换。解：. 以上几点注意只能说明洛必达法则中常出现的几点，但是也不可能涵盖到出现的所有情况完全，在解题过程中，只有根据题目，灵活运用各种所学的知识，才能方便解题，提高解题效率。参考文献1欧中.朱学炎.金福临.传璋.数学分析. M .高等教育.19972燮昌.邵品琮.数学分析纵横谈. M .：大学，19913吴炯圻.跃辉.唐