桁架内力的计算学习教案

1、会计学1桁架桁架(hngji)内力的计算内力的计算第一页，共66页。2. 桁架桁架(hngji)的的内力内力ABAFOOFF 研究桁架(hngji)结构中的任意二力杆，如AB，有:假想(jixing)在O处将AB切断，则BO对AO的作用为一分布力系，该力系可简化为一个力OF同理，OB段受AO的作用力为OFOOFOFBFBOAFAOBF根据AO或OB的平衡方程有：BAOOFFFFBAFF ABCDEFPPP第1页/共65页第二页，共66页。通常约定：当求得二力杆的内力为正时，即为受拉，当求得二力杆的内力为负时，即为受压。OFOFBFBOAFAO 或 称为。可用代数值FO表示。OFOFABABFA

2、BFAB杆内力(nil)FAB为正CDCDFCDFCD杆内力(nil)FCD为负第2页/共65页第三页，共66页。3. 桁架内力分析(fnx)步骤（1）判断桁架是否(sh fu)为静定结构(2) 先从桁架(hngji)中找出零杆和等轴力杆零杆内力为零的二力杆等轴力杆内力相同的二力杆（3）利用节点法或截面法求解杆的内力作为一个整体的桁架中，杆数为S，节点数为n ，静定桁架：S=2n - 3静不定(超静定)桁架：S 2n - 3桁架若可以作为一个整体，外界的支承条件是否为静定？桁架作为一个整体本身是否为静定桁架？第3页/共65页第四页，共66页。可判断(pndun)出零杆和等轴力杆的情况：无主动力

3、的三杆节点，其中二杆共线无主动力的不共线二杆节点F不共线的二杆节点，主动力沿其中一杆无主动力，共线的二杆节点或两两共线的四杆节点第4页/共65页第五页，共66页。还可利用对称性：F求桁架(hngji)的内力通常有两种方法：注意(zh y)：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时零杆不起作用，但不可将零杆去掉。第5页/共65页第六页，共66页。节点(ji din)法因各杆间通过(tnggu)销钉联接，取销钉为研究对象，外力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。以节点(ji din)D为例：当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的方向由节点指向外，沿杆的方向作用。

4、P1F2F3FD从桁架中取出销钉D为分离体，画出受力图。ABCDEFPPP第6页/共65页第七页，共66页。每个节点可建立(jinl)2个平衡方程，对有n个节点、S根杆的静定桁架，共有2n个独立方程，此外，对桁架整体，共有S+3个未知力(S个未知内力、3个对桁架整体的未知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方程一步步求得。P1F2F3FD（1）先列桁架(hngji)整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）依次对各节点取分离体列平衡方程。（3）首先取，再依次取 。（4）各杆内力统一设为拉力（即各 节点处力矢从节点向外）。第7页/共65页第八页，共66页。例 题 77 力系的平衡(pnghng

5、) 例题(lt)判断(pndun)结构中的零杆和等轴力杆。FFFABCO第8页/共65页第九页，共66页。例 题 77 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)解：此桁架整体为静定(jn dn)结构（简支），桁架本身S=21，n=12,故 2n-3=24-3=21=S，为静定(jn dn)桁架。对整体列平衡方程：0ixF0AxF0OMByAyFFFFFABCOAxFAyFByF1112201314151617181921第9页/共65页第十页，共66页。FFFABCO例 题 77 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)AyFByF000000判断(pndun)零杆和等轴力杆：= ，11122

6、01314151617181921零杆：，13，14，15等轴力杆：16 = 17 = 18 = 19 = 20 = 21 ， = 12第10页/共65页第十一页，共66页。例 题 87 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PABCDEG桁架结构(jigu)受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a ，求各杆的内力。第11页/共65页第十二页，共66页。例 题 87 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)解：PABCDEG结构整体对外约束(yush)静定；桁架 S=9,n=6, 2n-3=12-3=9=S,为静定桁架；1.对整体取分离体0ixFPFAx()PABAxF

7、AyFByF0232PaFaBy0iAMPFBy43()0iyFPFFByAy43()ED杆为零杆，AE与EC为等轴力杆。第12页/共65页第十三页，共66页。例 题 87 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PABAxFAyFByFCDEG2 .取节点(ji din)BByFBDBFGBF0iyF060sinByGBFF24332PPFGB0ixF060cosDBGBFF4)2(21PPFDBPFBy43() 已求得：第13页/共65页第十四页，共66页。例 题 87 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PABAxFAyFByFCDEG3. 取节点(ji din)GG0iF030co

8、s30cosPFGDPFGDGDFGCFPGBF2PFGB已求得：0iF060cos60cosGDGBGCFPFF2222PPPPFGC第14页/共65页第十五页，共66页。例 题 87 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PFPFAyAx43,PABAxFAyFByFCDEG4.取节点(ji din)AAAxFAyFAEFADF0iyF060sinAyAEFF23243PPFAE2PFFAEEC0ixF060cosAxAEADFFFPPPFAD43212第15页/共65页第十六页，共66页。例 题 87 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PABAxFAyFByFCDEG5.取节点(

9、ji din)CC2PFGC已求得：2PFECECFGCFCDF0iyF030cos30cosGCECCDFFFPPPFCD232232236 .取节点D，可列平衡方程作为验证。第16页/共65页第十七页，共66页。例 题 97 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)图示连续梁，载荷和尺寸如图，各杆的自重不计，A端为固定端，B、C、D、G、F均为光滑(gung hu)铰链。求固定端A的约束力和三根支撑杆GD、FG、BG的内力。ABCDEHG2m2m2m2m3mF第17页/共65页第十八页，共66页。例 题 97 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)ABCDEHG2m2m2m2m3mF解：

10、此结构(jigu)为混合结构(jigu)。FDGF未知约束力：A端 ， ， ，AxFAyFAMCyFCxFC处 ， ，未知内力： ， ， 。DGFGBFGHF可判断为静定结构。独立方程数：3+3+2=8CxFCyF1.取CE杆为研究对象DEC0iCM04sin2FFDGFFFDG310sin20ixF0cos DGCxFFFFFCx38cot20iyF0sin DGCyFFFFFFFCysinsin2第18页/共65页第十九页，共66页。例 题 97 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)ABCDEHG2m2m2m2m3mF2.取节点G为研究(ynji)对象GGBFGHFDGF0ixF0co

11、sGHDGFFFFFGH38310540iyF0sinDGGBFFFFFGB231053FFDG310已求得第19页/共65页第二十页，共66页。例 题 97 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)FGHFBCDEHG2m2m2m2m3mAAyFAxFAM3.取整体(zhngt)为研究对象0ixF0GHAxFFFFGH38已求得FFFGHAx380iyF0FFAyFFAy0iAM038GHAFFM03388FFMA第20页/共65页第二十一页，共66页。截面(jimin)法适用(shyng)于求结构中某一杆的内力。用一假想截面（可为平面(pngmin)或曲面）将桁架的一部分杆切开，使桁架整体

12、分为两部分；取其中任意一部分为研究对象列出平衡方程，切断的杆中内力以未知力形式出现在方程中。（1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。（2）根据所求杆的内力，适当选择截面将桁架整体切开为两部分，取其中一部分为研究对象，切断的杆的内力为未知力。（3）列出适当形式的平衡方程，求出未知力。第21页/共65页第二十二页，共66页。（1）对受平面力系作用的平面桁架仅有3个独立(dl)方程，故选择切开的截面时，应注意切断的杆一般不能多于3根。（2）若切断的杆多于3根，则必须(bx)满足：a.除一个(y )待求未知力外，其余未知力汇交于一点。b.除待求杆外，其余被切断的杆都平行。（3）截面切开时不应切在

13、节点上。（4）求解时，先找出全部零杆，并尽可能利用矩形式的平衡方程。第22页/共65页第二十三页，共66页。例 题 107 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PABCDEG桁架结构(jigu)受力如图，杆AE=EC=CG=GB=AD=ED=DG=DB=a ，求CD杆的内力。第23页/共65页第二十四页，共66页。例 题 107 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)PABCDEG解：1.判断(pndun)零杆ED杆为零杆。2.以m-m截面切开，取右半部分：mmPBDGADFGCFCDF 0iBM023aPaFCDPFCD23第24页/共65页第二十五页，共66页。例 题 117 力系的

14、平衡(pnghng) 例题(lt)解: (1)求支座(zh zu)约束力以整体为研究对象：0iAM021321PPFByByF3221PP 8kNABCDEFG1P2PAyFAxF图示桁架各杆长均为1m，P1=10kN , P2=7kN , 求杆EG的内力。AxF00ixFAyFByFPP219kN0iyFByF第25页/共65页第二十六页，共66页。BDFG2PByF(2)用截面m-m切开桁架(hngji)，取右半部分为分离体：对平面一般力系，有三个独立的平衡(pnghng)方程。当切断杆的数目不超过(chogu)三根时，可将切断杆的内力求出。3F82. 9kN(受拉)mmE1F2F3FAB

15、CDEFG1P2P123例 题 117 力系的平衡 例题0235 . 05 . 132FPFBy0iDMAyFAxFByF即杆EG的内力为9.82kN(拉力)。第26页/共65页第二十七页，共66页。例 题 117 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)0iyF1F23122PFBy4 .10kN(受压)030cos22FPFBy30cos2PFBy2F15. 1kN(受拉)E1F2F3FBDFG2PByF0123221PFFBy0iEM第27页/共65页第二十八页，共66页。例 题 127 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)1P2P3P4P5P4a3a5a桁架结构(jigu)受力如图

16、，试求其中杆的内力。第28页/共65页第二十九页，共66页。例 题 127 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)1P2P3P4P5P4a3a5a解：1.受力分析(fnx)：此桁架S= ,n= ,27152n-3=215-3=27=S为静定桁架。2.用m-m截面将桁架切开，取其上半部分为分离体：mm第29页/共65页第三十页，共66页。例 题 127 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)1P2P3P4P5P4a3a5amm4P1P2P3P5P4a 3a5a3.对分离体列平衡(pnghng)方程由于除杆外，其余切断的杆均为铅垂方向，故可列：0ixF0cos121FPP)(455421211

17、PPPPF（拉力）1F第30页/共65页第三十一页，共66页。例 题 137 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)1P3P2P12345678ddddhh/2图示平面(pngmin)桁架，已知：P1=P,P2=2P,P3=3P ,求桁架中的杆24，杆25，杆35的内力。第31页/共65页第三十二页，共66页。例 题 137 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)1P3P2P12345678ddddhh/2解：1.受力分析(fnx)：此为静定桁架，其中杆23，杆67为零杆。002.求支座约束力xF1yF1yF8001xixFF03243218dPdPdPdFyPFy27801iM0iyF0

18、3281PPPFFyyPFy251第32页/共65页第三十三页，共66页。例 题 137 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)1P3P2P12345678ddddhh/21P12345dd3.沿I-I截面切开，取左半部分为(fn wi)分离体： 05iM0223cos124dPdFhFy24F35F25F22221244344223252cos232hdPhddhPdPdhdFPdFy（压力）第33页/共65页第三十四页，共66页。例 题 137 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)02iM0351hFdFyPhdFhdFy25135（拉力）1P12345dd24F35F25F00iM

19、023cos125dPdFdFy0dhdhPdhhPPF63225222225（拉力）第34页/共65页第三十五页，共66页。例 题 147 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)ABO1O2半径为R 的均质薄壁无底圆筒，放置于光滑水平面上，筒内装有两个重 P ，半径为 r 的均质球，已知 R/2 r R ,不计摩擦和筒厚，试求系统能够平衡(pnghng)的圆筒重量。第35页/共65页第三十六页，共66页。例 题 147 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)ABO1O2解：1.受力分析(fnx)O1O2ABPP1FDF2F1FRF2FWx分别以两球和圆筒为分离体画出受力图。圆筒受地面的支

20、持力为沿筒壁周边的分布力，其合力为RF第36页/共65页第三十七页，共66页。例 题 147 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)O1O2PP1FDF2F2.以两圆球为对象(duxing)0ixF21FF 01iOM0sin2cos22rFrPcot12PFF第37页/共65页第三十八页，共66页。例 题 147 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)AB1FRF2FWx3.以圆筒为对象(duxing)和 组成一力偶，故 和 也必组成一力偶。1F2FWRF0iM0)(sin22xRWrFWrPRPRWWrRPRx22)(2显然，应有Rx 0)1 (20RrPWx由而已知 r R ，保证了

21、 xR第38页/共65页第三十九页，共66页。7.3 7.3 考虑摩擦的平衡考虑摩擦的平衡(pnghng)(pnghng)问题问题PNFF摩擦力的存在(cnzi)性实例： 实际工程问题一般都存在摩擦。但在有些工程问题中，当摩擦阻力不大或摩擦并不起主要作用时，可忽略不计摩擦的作用。 实际接触面并非理想光滑， 必须足够大，才可推动重物滑动。故一定有摩擦力 存在。FfFfF第39页/共65页第四十页，共66页。摩擦的存在既有利也有弊：利用于传动(chundng)机械、启动或制动。弊消耗能量，磨损零件，降低精度和机械效率。摩擦的分类：仅有相对运动趋势时产生的已有相对运动时产生的接触表面凸凹不平引起的物

22、体接触面之间有液体成膜的第40页/共65页第四十一页，共66页。fs-静滑动摩擦因数(无量(wling)纲), 可由工程手册中查出。静摩擦力是当物体在相互接触的位置有相对滑动趋势(但并未发生相对滑动)时，约束作用于物体的切向反力。其方向与滑动趋势方向相反，其大小max,ffFF静摩擦力的最大值 可由实验测得，设 为约束对物体的法向约束力，则max,fFNF2.静摩擦力(jn m c l)（静滑动摩擦力）库仑定律NsffFfFFmax,(7.7)PNFFfF第41页/共65页第四十二页，共66页。静滑动摩擦因数(ynsh) fS 与材料、接触面光滑度、温度、湿度有关，与接触面积大小无关。（1）来

23、源(liyun)接触面非光滑（2） 的方向与物体相对接触面的fF物体受到的静摩擦力 的特点：fF（3） 的大小fF物体处于平衡时：摩擦力参与平衡，且FS=FS,max=fSFN物体处于平衡时：摩擦力参与平衡，但NSffFfFFmax,第42页/共65页第四十三页，共66页。3.静摩擦因数的几何意义(yy)摩擦角RFNF静平衡时全约束力 的作用线一定在摩擦角内RF当时max,0ffFF f0ftanNfFFmax,NNSFFfSf对应的夹角 称为。f当max,ffFF时称为全约束力fNRFFF非光滑面约束对物体的约束力包括法向约束力（正压力）及切向约束力（静摩擦力），其合力摩擦角大小(dxio)

24、仅由摩擦因数决定PfRFNFmax,fFPfF第43页/共65页第四十四页，共66页。 利用摩擦角判断受力物体(wt)是否平衡自锁现象fnF平衡(pnghng)，自锁现象若某接触面上的物体所受主动力的合力(hl)作用线在摩擦角的范围之内，则不论此力有多大，物体总是平衡的。自锁现象不平衡，非自锁现象F 若某接触面上的物体所受，则不论此力有多小（只要不等于零），。fn第44页/共65页第四十五页，共66页。例如：斜面(ximin)上的重物nff非自锁Pf临界平衡n自锁ffPfnP测定 的方法f第45页/共65页第四十六页，共66页。当物体相对于约束表面(biomin)有相对滑动速度时，摩擦力为动(

25、滑动)摩擦力。4. 动滑动摩擦(hu dn m c)力F= f FN (7.8)sff f 近似是常数，称为动(滑动)摩擦因数，通常第46页/共65页第四十七页，共66页。PNFfF若主动力 的作用线向上移，结果如何？FFPNFfFFPFNFfF第47页/共65页第四十八页，共66页。5、滚动(gndng)摩阻力偶考虑(kol)圆轮置于不光滑的水平路面上，设轮子与路面(lmin)均是刚性的 (不变形) ，A处为点接触（理想状态！）。由FhFMniiA1)(因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。时，轮子会连滚带滑。NSFfF 当时，轮子作纯滚动。NSFfF而：F 需大于某一值时，轮子才会滚动。因

26、此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 存在，而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为。fFhFCNFPfFA第48页/共65页第四十九页，共66页。由平衡条件： ， ，PFNFFfFhMf由于 阻碍轮子的滚动，称为滚(动摩)阻力偶。fM组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为),(fFFFh将该力系向A点简化为法向约束力 和切向约束力 外，还应有一力偶，其力偶矩为 。fFfMNFFCPAhFCNFPfFAfM或hFCNFPfFA第49页/共65页第五十页，共66页。滚阻力偶(l u)与主动力偶(l u)大小相等，方向相反，随主动力偶(l u)的增大而增大。但滚阻力偶(l u)不可能无限制的增大。其力偶(l

27、u)矩的最大值为：maxfM,NF称为。轮子不发生滚动的物理条件：NmaxffFMM,0 与物体接触面的变形相关，而与接触面的粗糙程度无关。材料越硬，接触面变形越小， 也就越小。 的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的力偶矩Fh大于 ，轮子即可滚动。NF 的几何意义：使法向约束力FN向前进方向平移(pn y)的最大距离。第50页/共65页第五十一页，共66页。hFCNFPfFAfM由轮子(ln zi)的平衡条件：FFfFhMf0ixF0iAM物理条件：NSfFfF NfFM故轮子平衡时所受的主动力满足： 及NSFfF hFFN若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：hfSA点无滑动轮子不滚动

28、故：当 时，轮子静止。NFhFNSNFfFFh当 时，轮子纯滚动。NSFfF 当 时，轮子连滚带滑。第51页/共65页第五十二页，共66页。若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数(xsh)满足：hfS则：当 时，轮子静止。NSFfF NNSFhFFf当 时，轮子纯滑动。NFhF当 时，轮子连滚带滑。hFCNFPfFAfM第52页/共65页第五十三页，共66页。6.考虑摩擦(mc)的平衡问题的分析要点（1）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力达到(d do)其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。（2）静摩擦力(jn m c l)方向的判断：a.画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。b.

29、若相对运动趋势可有选择时，先假定一个运动的方向及摩擦力指向，求解后摩擦力的范围应为：NSfNSFfFFf根据摩擦力的正负号可判断。c.同一物体在，注意判断运动趋势时各接触点的。（3）静摩擦力的大小：物体处于平衡状态时，摩擦力Ff 大小未知，且NSfFfF物体处于临界平衡状态时 ，摩擦力不独立。NSffFfFFmax,第53页/共65页第五十四页，共66页。带摩擦(mc)圆轮的滚动问题：设轮的重量为W , 半径(bnjng)为r，不计重量的AB杆长 l ,轮与杆及轮与地面的摩擦因数分别为fSC , fSD ，试求：保证轮子静止时fSC 和 fSD 应满足的条件 ？例 题 157 力系的平衡(pn

30、ghng) 例题DFCOWAaB第54页/共65页第五十五页，共66页。(1)对轮子(ln zi)列平衡方程：0iOM0rFrFfDfCfDfCFF 解：以轮为对象(duxing)，轮有向右运动(yndng)的趋势。例 题 157 力系的平衡 例题故C、D处的摩擦力方向如图。CDOW/2ABNDFNCFfCFfDFBF 0ixF0cossinfDfCNCFFFNCfCFFcos1sin 0iAM0aFaWaFNCNDWFFNCND第55页/共65页第五十六页，共66页。例 题 157 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)fDFCDOW/2ABNDFNCFfCFBF(2)物理(wl)条件：N

31、CSCfCFfFNDSDfDFfFNCSCNCfCFfFFcos1sincos1sinSCf第56页/共65页第五十七页，共66页。例 题 157 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)(3)以杆AB为对象(duxing)：FCAaBNCFfCFAxFAyF 0iAM0lFaFNCFalFFNCNCWFalWFFNCNDFalFFFNCfCfDcos1sincos1sin)(WFalfFfFSDNDSDfDCDOW/2ABNDFNCFfCFBFfDF第57页/共65页第五十八页，共66页。例 题 157 力系的平衡(pnghng) 例题(lt)cos1)(sincos1sinaWFlFlWFalFalfSDfDFCDOW/2ABNDFNCFfCFBFFCAaBNCFfCF