高考数学考前冲刺专题《球的表面积、体积》夯基练习（教师版）

1、高考数学考前冲刺专题球的表面积、体积夯基练习一 、选择题若侧面积为8的圆柱有一外接球O，当球O的体积取得最小值时，圆柱的表面积为()A.12 B.13 C.10 D.14【参考答案】答案为：A；解析：由球的对称性可知，圆柱的高即球心到两底面圆心的距离之和，设圆柱的底面半径是r，球心到底面的距离是d，外接球O的半径为R，由球心到底面的距离、截面圆的半径、球半径之间构成直角三角形，可知r2d2=R2.由题设可得2r×2d=8rd=2d=，则R2=r2d2=r22 =4，当且仅当r=时取等号，此时d=.故圆柱的表面积S表=S侧S底=82r2=82()2=12.若三棱锥S­ABC的

2、所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，BAC=60°，则球O的表面积为()A.64 B.63 C.65 D.32【参考答案】答案为：A；解析：设球O的半径为R，AB=1，AC=2，BAC=60°，BC2=142×1×2×cos 60°=3，所以AB2BC2=AC2.即ABC为直角三角形，那么ABC所在截面圆的直径为AC，所以(2R)2=SA2AC2=64.所以S球=4R2=64.已知A，B是球O的球面上两点，AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O­ABC体积的最大值为36，

3、则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256【参考答案】答案为：C；解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O­ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO­ABC=VC­AOB=×R2×R=R3=36，故R=6，则球O的表面积为S=4R2=144.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为()A. B. C.4 D.【参考答案】答案为：A解析：由三视图可知，该几何体为一个三棱锥，令其为三棱锥ABCD，由俯视图可知，底面BCD是一个等腰直角三角形，BCD为直角.平面

4、ABD平面BCD，易知外接球的球心O为ABD的中心，则球O的半径R=，外接球的表面积等于4R2=4×2=.已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，PC为球O的直径，该三棱锥的体积为，则球O的表面积为()A.4 B.8 C.12 D.16【参考答案】答案为：A解析：依题意，设球O的半径为R，球心O到平面ABC的距离为d，则由O是PC的中点得，点P到平面ABC的距离等于2d，所以VPABC=2VOABC=2×SABC×d=××12×d=，解得d=.又R2=d22=1，所以球O的表面积等于4R2=4.故选A

5、.已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，ASC=BSC=30°，则棱锥S­ABC的体积最大为( )A.2 B. C. D.2【参考答案】答案为：A.解析：如图，因为球的直径为SC，且SC=4，ASC=BSC=30°，所以SAC=SBC=90°，AC=BC=2，SA=SB=2，所以SSBC=×2×2=2，则当点A到平面SBC的距离最大时，棱锥A­SBC即S­ABC的体积最大，此时平面SAC平面SBC，点A到平面SBC的距离为2sin30°=，所以棱锥S­ABC的体积最大为×2&

6、#215;=2，故选A.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A-BCD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为（ ）A.25B.50C.5D.10【参考答案】答案为：A解析：取AC的中点，连接OB、OD，如下图所示：由题意AC=5.因为，O为AC的中点，所以，所以，O为四面体A-BCD的外接球的球心，且球O的半径为R=2.5，因此，四面体A-BCD的外接球的表面积为.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A.6 B.12 C.18 D.24【参考答案】答案为：C解析：根据已知可得球

7、的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于1，即底面三角形的高等于3，边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于3×2×22××2×3=18.现有一块半球形原料，若通过切削将该原料加工成一个正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为()A. B. C. D.【参考答案】答案为：A；解析：当正方体的下底面在半球的大圆面上，上底面的四个顶点在球的表面上时，所得工件体积与原材料体积之比取得最大值，设此时正方体的棱长为a，则球的半径为R=a，所以所求体积比为=，故选A.已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容

8、器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为()A. B.2 C. D.4【参考答案】答案为：B；解析：设长方体三条棱的长分别为a，b，c，由题意得，解得.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2.故选B.已知三棱锥P­ABC中，AB=BC，ABBC，点P在底面ABC上的射影为AC的中点，若该三棱锥的体积为，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为()A.2 B.3 C.2 D.3【参考答案】答案为：D；解析：设三棱锥P­ABC外接球的球心为O，ABC的外接圆圆心为O1，又ABBC，所以O1为AC的中点.连接PO1，点P在底面ABC上的射影为AC的

9、中点，PO1平面ABC.P，O，O1三点共线.连接OB，O1B，如图.由已知三棱锥P­ABC的底面ABC为等腰直角三角形，设AB=a，三棱锥高PO1=h，三棱锥P­ABC的体积V=×a2h=，即a2=，设OB=R，又OB2=BOOO，R2=(a)2(hR)2，R=，由球O的体积V球=R3知，当R最小时，其外接球体积最小，由R=，当且仅当=，即h=3时取等号，因而三棱锥P­ABC的高为3时，外接球体积最小，故选D.在三棱锥D­ABC中，已知AD平面ABC，且ABC为正三角形，AD=AB=，点O为三棱锥D­ABC的外接球的球心，则点O到棱

10、DB的距离为()A. B. C. D.【参考答案】答案为：D；解析：设三棱锥D­ABC的外接球球心为O，过点O作DB的垂线，垂足为H，作平面ODA交直线BC于点E，交于点F，设平面ODA截得外接球是O，D， A，F是O表面上的点，又因为DA平面ABC，所以DAF=90°，E， 所以DF是O的直径，因此球心O在DF上，AF是三角形ABC外接圆的直径，F， 连接BD，BF，因为BFDA，BFAB，所以BF平面DAB，所以DBF=90°，因为DHO=90°，所以OHBF，又DO=OF，所以OH是DBF的中位线，OH=BF，由AB=AD=，三角形外接圆半径2R=

11、，得AF=2，在RtDAB中，DB=，在RtDAF中，DF=，在RtDBF中，BF=1，故OH=，故选D.二 、填空题在三棱锥P­ABC中，PA=PB=2，AB=4，BC=3，AC=5，若平面PAB平面ABC，则三棱锥P­ABC外接球的表面积为_.【参考答案】答案为：25解析：取AB的中点O，AC的中点O，连接OO，因为PA2PB2=AB2，所以PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，从而点O为PAB外接圆的圆心，又AB2BC2=AC2，所以ABC是以AC为斜边的直角三角形，从而点O为ABC外接圆的圆心，又因为OOBC，所以OOAB，又因为平面PAB平面ABC，且平面PAB平

12、面ABC=AB，所以OO平面PAB，所以点O为三棱锥P­ABC外接球的球心，所以外接球的半径R=OA=AC=，故外接球的表面积S=4R2=25.如图直三棱柱ABC­A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB=AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为_.【参考答案】答案为：.解析：由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，所以BAC=90°，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点.设正方形BCC1B1的边长为x.在RtOMC1中，OM=，MC1=，OC1=R=1(R为球的半径)，所以()2()2=1，即x=，则AB=AC=1，所以S矩形ABB1A1=×1=.如图，半球内有一内接正四棱锥SABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为_.【参考答案】答案为：.解析：设所给半球的半径为R，则棱锥的高h=R，底面正方形中有AB=BC=CD=DA=R，其体积为R3=，则R3=