工力弯曲应力孙讯芳

1、2010.10工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例工程实例 6-3 梁横截面上的正应力和梁的正应力强度条件梁横截面上的正应力和梁的正应力强度条件在推导纯弯曲梁横截面上正在推导纯弯曲梁横截面上正应力的计算公式时应力的计算公式时 ，要综合考虑要综合考虑 几何几何 ，物理物理 和和 静力学静力学 三方面三方面 。当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩弯矩 M ， 又有剪力又有剪力 FS 。只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩才

2、能合成弯矩只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成才能合成剪力剪力所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有，又有 切应力切应力 FSM一、纯弯曲正应力公式一、纯弯曲正应力公式推导过程演示推导过程演示I、试验与假设、试验与假设1122cabd1122cabdMMabcd1212MM假设假设平平截截面面假假设设单单向向受受力力假假设设中性层中性层：构件内部既不伸长也不收：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。缩的纤维层。中性轴中性轴：横截面与中性层的交线。：横截面与中性层的交线。MM1.几何条件几何条件m2n2s sys sLyyEsO

3、1O2 a2dxn2m2n1m1O曲率中心曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层中性层z中性轴中性轴y对称轴对称轴oa2a1yd dq qd dl ld dq qxe2e1qqqlqlyddydxdydxdaaaaaaydd2121212.物理条件物理条件(虎克定律虎克定律)syEE3.静力学条件静力学条件AzAyAMdAyMdAzMdANsss00dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM0AAydAEdAs中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心MdAyEdAyMAAz2szEIM1梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：，

4、分别为： zyzLIMyIMy2max1maxss，zzWMyIM)/(|maxmaxsmax/ yIWzz抗弯截面模量抗弯截面模量。 4.纯弯曲梁横截面上的应力纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力弯曲正应力)： 距中性层距中性层y处的应力处的应力zIMys5.横截面上正横截面上正应力的画法：应力的画法： Ms smins smaxMs smins smax 线弹性范围线弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限s sp； 精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁； 对于横力弯曲的细长梁对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比跨度与截面高度比L/h5)，上述，上述公式的误差不大，但公式中的公式的误

5、差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。为截面位置的函数。zzEIxMxIyxM)()(1)(s，6.公式适用范围：公式适用范围：1.矩形截面矩形截面62/1223bhhIWbhIzzz三种典型截面对中性轴的惯性矩三种典型截面对中性轴的惯性矩2.实心圆截面实心圆截面642/6444ddIWdIzzz 3.截面为外径截面为外径D、内径、内径d(a a=d/D)的空心圆的空心圆: )1 (322/)1 (644344aaDDIWDIzzz弯曲正应力分布弯曲正应力分布ZIMys 弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度 l 与横截面高

6、度与横截面高度 h 之之比比 l / h 5 （细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。弯曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyMs横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力二、横力弯曲正应力二、横力弯曲正应力例6-18 图示矩形截面悬臂梁，承受均布载荷q作用。已知q=10N/mm，l=300mm。b=20mm，h=30mm。试求B截面上c、d两点的正应力。 lqABbhcdh/2zyNmmqlMB522105 . 42300102拉MPa751045430105 . 435zcBcIyMs压MPa1501045230105 . 435zdBdIyMs解

7、：（1）求B截面上的弯矩（2）求B截面上c、d处的正应力例619求图示铸铁悬臂梁内最大拉应力及最大压应力。F=20KN，Iz=10200cm4。ABCF2Fyz96.4505020015012KNm16KNmy2y1MAy2y1MB解：1、画弯矩图，确定危险面。 2、确定危险点，计算最大拉应力与最大压应力。弯矩图看出，A、B两截面均可能为危险面。 MPa09.241002. 1)4 .96250(1016862maxzAIyMsMPa12.151002. 14 .961016861maxzAAIyMs梁内最大拉应力发生在A截面下边缘各点处，其值为：对A、B两截面，需经计算，才能得知哪个截面上的

8、最大压应力更大：习题习题 图示简支梁由图示简支梁由56a号工字钢制成，已知号工字钢制成，已知F=150kN。试求危险截面上的最大正应力。试求危险截面上的最大正应力smax 和同和同一横截面上翼缘与腹板交界处一横截面上翼缘与腹板交界处a点处的正应力点处的正应力s sa 。B5 m10 mAF CFA FB 12.521166560za375 kN.m M解：解：1、作弯矩图如上，、作弯矩图如上，mkN3754maxFlM2、查型钢表得、查型钢表得3cm2342zW4cm65586zIMPa160mm102342mmN10375336maxmaxzWMsMPa148mm1065586mm21256

9、0mmN10375446maxzaaIyMs56号工字钢号工字钢3、求正应力为、求正应力为 12.521166560za或根据正应力沿梁高的线性分布关系的或根据正应力沿梁高的线性分布关系的MPa160maxsMPa148MPa1602560212560maxmaxssyyaa 12.521166560za 习题习题 如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。作用。试计算截面试计算截面B-B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。 解解： 1确定截面形心位置确定截面形心位置 选参考坐标系选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为

10、如图示，将截面分解为I和和II两部分，形心两部分，形心C的纵坐标为的纵坐标为: m045. 012. 002. 002. 012. 006. 002. 012. 002. 001. 002. 012. 0cy46231m1002. 301. 0045. 002. 012. 012)02. 0(12. 0zI2计算截面惯性矩计算截面惯性矩2012020120单位：单位：mmIIIzzyCcyFmm400BB46232m1082. 5045. 008. 012. 002. 012)12. 0(02. 0zI4-6-66m108.84105.081002. 3zI3 计算最大弯曲正应力计算最大弯曲正

11、应力 截面截面BB的弯矩为的弯矩为:mN60004 . 0 FMB 在截面在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：值分别为：MPa5 .64Pa1045. 61084. 8045. 002. 012. 06000MPa5 .30Pa1005. 31084. 8045. 0600076-max,76-max,cl1120180302q=60 kN/m1m2m11BAkNmqLM5 .678/3608/22max kNmqxqLxMx60)22(121 习题习题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、

12、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q L/ 8Mx解：画M图求截面弯矩M1Mmaxyz1120180302q=60 kN/m1m2m11BA45123310832. 5101218012012mbhIz 341048. 62/mIWzz MPaIyMz7 .6110832. 560605121 s ss sq L/ 8Mx求应力M1MmaxyzMPaWMz6 .921048. 66041max1 s smMEIz4 .1941060832. 520011 MPaWMz2 .1041048. 65 .674max

13、max s s求曲率半径1120180302q=60 kN/m1m2m11BAq L/ 8MxM1MmaxyzIII、梁的正应力强度条件、梁的正应力强度条件 IyMzmaxmaxmax1.1.弯矩最大的截面上弯矩最大的截面上2.2.离中性轴最远处离中性轴最远处4.4.脆性材料脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑ttssmax,ccssmax,3.3.变截面梁要综合考虑变截面梁要综合考虑 与与MzIOzyyt，maxyc，maxOzyyt，maxyc，maxtmaxt,maxmaxt,sszIyMcmaxc,maxmaxc,sszIyMctmaxc,max

14、t,ssyy为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为例620一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载，已知：l=4m，b=140mm，h=210mm，q=2kN/m。弯曲时木材的许用正应力s10MPa，试校核该梁的强度。并求该梁能承受的最大荷载qmax。 BAlqbh82qlM图 ssMPa88. 36822maxmaxbhqlWMZ ssZWMmaxmax ZWqlMs82maxkN/m15. 5maxq解：1、画弯矩图。2、校核梁的强度梁满足强度要求。3、求最大荷载qmax代人数据得例621一原起重量为50KN的单梁吊车，其跨度l=10.5m（其计算简图如图

15、），由45a号工字钢制成。而现拟将其重量提高到Q=70KN，试校核梁的强度。若强度不够，再计算其可能承受的起重量。梁的材料为Q235钢，许用应力=140MPa；电葫芦自重G=15KN，暂不考虑梁的自重。 （Q+G）l/4lQ+G解：（1）做弯矩图，确定危险面 KNmlGQM22345 .10)5070(4)(max（2）计算最大弯曲正应力 31430cmWz ssMPa1561014301022363maxmaxzWM由型钢表查得45a号工字钢的抗弯截面模量故梁内最大工作正应力为 KNmNmWMZ200102)101430()10140(566maxsKNGlMQ3 .61155 .10200

16、44max（3）依据强度条件，进行强度计算梁的最大承载能力： 因此，梁的最大起重量为61.3KN。例622图所示外伸梁，用铸铁制成，截面为T字形。已知梁的载荷F110kN，F24kN,铸铁的许用应力st=30MPa，sC=100MPa。截面的尺寸如图所示试校核此梁。 CB1mF21m1mF1D34y2y1C201202090解：作弯矩图 确定截面形心位置并计算形心轴惯性矩 mmAAyyyc50201209020802012010902014423231089. 730201201212020402090122090mIzczBctzBtMPaIyMMPaIyMssss1 .451098. 71

17、0901041 .251098. 710501046331max6332maxczCMPaIyMss8 .181098. 71050103)(6332maxtzcttMPaIyMss8 .331098. 71090103)(6331maxB截面： C截面： 所以，铸铁梁的拉伸强度不满足，即AB梁是不安全的。分别校核铸铁梁的拉伸和压缩强度 例623 受均布载荷q作用的矩形截面梁AD，左端铰支，B处由直径为d的圆杆BC悬吊，测得圆杆BC的轴向线应变为501106，试求梁AD的最大弯曲正应力。已知：d10mm，E200GPa，q3.5kN/m，b=40mm，h=60mm。 xC3mbhdDBA1.7

18、5kNm0.9844 kNm解：求BC杆的内力 PaPaE100200105011020066sNPaAFBC7870010. 0411002002s02102qlxFMBCAmx0 . 2MPa9 .72maxmaxWMs利用平衡方程求出B点的位置绘制AD梁的弯矩图。求AD梁上最大正应力为习题习题 两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比比 P1P2？lF1F2Fhbz)(a)(bhbz解：解： 分析：该题的关键：两分析：该题的关键：

19、两种梁的最大弯曲正应力种梁的最大弯曲正应力相等且等于许用应力。相等且等于许用应力。由弯曲正应力计算公式:2max1max得再根据sssPPhb1262111max1maxbhlPWMzs62222max2maxhblPWMzs解：由弯矩图可见解：由弯矩图可见Mmax20kN mstzMWmax20100102632. 30MPa s该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全M()kN m201125.Q()kN20251545kN15kN2m4m100200mKN /10AB习题习题 图示外伸梁，受均布图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应载荷作用，材料的许用应力力 =160MPa，校核该

20、，校核该梁的强度。梁的强度。 习题习题 简支梁在跨中受集中载荷P=30kN，l=8m，120 MPa。试为梁选择工字钢型号。 m).(kN60830414maxlPM解：由强度条件，得 33463maxcm500)(m105101201060sMWz选择工字钢28a 433cm1011. 7,cm508zzIWABP2l2l4Pl习题习题 梁AC的截面为10工字钢，B点用圆钢杆BD悬挂，已知圆杆的直径d=20mm，梁及杆的=160MPa，试求许用均布载荷q。 解：由平衡条件05 . 132, 0)(qFFmBAqFB49qF49N 得由,92NssdqAF mkNdq/34.229)1020(

21、1016092362smkNWqz/68.151049210160266s 得由,2maxmaxsszzWqWM mkNq/68.1510号工字钢AdBCD2m1mq329q2q+-43q45q43q 6-4 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力和梁的切应力强度条件和梁的切应力强度条件一、梁横截面上的切应力公式一、梁横截面上的切应力公式 1、公式推导：、公式推导： n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxBAyyx xdxxM+dMMFSFSs ss s+ds st ty t t t t :0X s s 1eydA s s s s 1eydA)d(Bdx t t 0 mnmmdx

22、xt tyt tA11eyzdAdxdMBIxt*1zeySdA xSFxMddBISFzzS*tBISFzzSy*tI、矩形梁横截面上的切应力、矩形梁横截面上的切应力横截面上距中性轴等远的各点处横截面上距中性轴等远的各点处切应力切应力大小相等大小相等。各点的切应力方向均与各点的切应力方向均与截面侧边平行截面侧边平行。bISFzzSy*tFS横截面上的剪力横截面上的剪力IS横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩b求应力点处的宽度求应力点处的宽度S*Z横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为y的横线以外部分的面积的横线以外部分的面积对中性轴的静矩对中性轴的静矩t ty切应力，方向与切应力，方向

23、与Fs相同相同220*zy4h2b2y2hyy2hbyAS)4(222yhIZSFtAFS23maxtZyA*y0y0bh/2h/2t tmaxII、工字形梁横截面上的切应力、工字形梁横截面上的切应力BISFzzSy*tdSIFBISFZZSzzS*maxt分母两项查表。分母两项查表。其他截面的切应力最大值，一般也在中性轴处。其他截面的切应力最大值，一般也在中性轴处。ozymaxmaxmin工字钢截面切应力公式推导工字钢截面切应力公式推导III、薄壁环形截面梁、薄壁环形截面梁r0zymax横截面上切应力的大小沿横截面上切应力的大小沿壁厚无变化。壁厚无变化。切应力的方向与圆周相切切应力的方向与圆

24、周相切。图图 5-7 为一段薄壁环形截面梁。为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为环壁厚度为 ,环的平均半径为环的平均半径为r0，由于由于 r0 故可假设故可假设AFs2max式中式中A=2 r0 为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为中性轴上，其值为VI、圆截面梁、圆截面梁式中式中42dA =为圆截面的面积为圆截面的面积AFbFSzzSIS34*maxodkkzoymax最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上假设假设kk沿宽度沿宽度上各点处的上各点处的切应力均汇交于切应力均汇交于点点。o各点处切应力沿各点处切应力沿 y 方向的分量

25、方向的分量沿宽度相等。沿宽度相等。在截面边缘上各点的切应力在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。的方向与圆周相切。V、等直梁横截面上最大剪应力的一般公式、等直梁横截面上最大剪应力的一般公式对于对于 等直梁等直梁 ，其最大剪应力，其最大剪应力t tmax一定在最大剪力一定在最大剪力FSmax所所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上 。全。全梁各横截面中最大剪应力可统一表达为梁各横截面中最大剪应力可统一表达为bISFzzS*maxmaxmaxtb 横截面在中性轴处的宽度横截面在中性轴处的宽度FS max 全梁的最大剪力全梁的最大剪力Iz

26、整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩Sz*max 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩二、梁的切应力强度条件二、梁的切应力强度条件 ttmax梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为tbISFzzS*maxmax在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。进行强度校核。式中式中 ， t为材料在横力弯曲时的许用切应力。为材料在横力弯曲时的许用切应力。在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。通常先按正应力选

27、出截面，再按切应力进行强度校核。通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再按切应力进行强度校核。一般并不需要再按切应力进行强度校核。但在以下几种特殊条件下，需校核梁的切应力：但在以下几种特殊条件下，需校核梁的切应力：1、梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大；、梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大；2、在焊接或铆接的组合截面（如工字钢）钢梁中，当其横截面、在焊接或铆接的组合截面（如工字钢）钢梁中，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值；腹板部分的厚度与梁高

28、之比小于型钢截面的相应比值；3、由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时、由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。例624 圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径dmin。 kN/m20qm4ABd40kN40kN40kNmmaxmaxsszWM63310160321040dmm137d34maxmaxttAQ623101004104034dmm1 .26dmm137d解：1、画出剪力图和弯矩2、按正应力强度条件设计

29、 ， ， 3、按切应力强度条件设计所以例625 如图所示木梁受一可移动的荷载F40kN作用。已知s=10MPa，t=3MPa。木梁的横截面为矩形，其高宽比为h:b=3:2。试选择梁的截面尺寸。hbzy1mABFxABF解：解除支座约束，求支座反力 0AM0 FxFB 0BM01xFFAxFFA1FxFB 21FxFxxxFxFxMA任一横截面上的弯矩为求M(x)极大值 0dxxdM 022dxxMd 02FxFdxxdMmx21 mkN10442121maxFFFxMMxkN4010maxFxFFFxA63323maxmax101031080611010bbhWMzsmmb7 .138mmbh

30、20823根据弯曲正应力的强度条件 MPaMPabhAFSman308. 2104023233maxtt校核弯曲切应力例例6-26 6-26 悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m1m。胶合面的许可切。胶合面的许可切应力为应力为0.340.34MPaMPa，木材的，木材的= 10 MPa= 10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。 s ss s 21maxmax6bhlFWMz1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 SF FM Fl 3.75kNN37506101501

31、0010692721 lbhFs s t tt t bhFAFS2/32/32max3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 kN01N100003/101501001023/2662 bhFt tFl100505050z解：解： gZZSbhFbbhhbFbISFt tt t 341233323*g4.4.按胶合面强度条件按胶合面强度条件计算许可载荷计算许可载荷 3.825kNN382541034. 010150100343663 gbhFt t5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 3.75kNkN825. 3kN10kN75. 3minmin iFFFl100505

32、050M FlzSF F例例6-27 T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知已知s sy=100MPa，s sL=50MPa，t t=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。求。求：1)C左侧截面左侧截面E点的正应力、切应力；点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切校核梁的正应力、切应力强度条件。应力强度条件。CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0) 1CAFF，求支座反力：解：mkN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0)2,

33、BCCSCSSMMFFMF，图如右：、作梁的右左MPa1 . 21010102 .18)105 .12400(1075. 0)(MPa6 .2010102 .18105 . 7105 . 0) 315493*,12433bISFIyMzzCSEzECE左拉ts s s s ss s s s s s s ss s s syzcCCyLzcCCLyzcBByLzcBBLMPa2 .89I)y05. 0(MMPa0 .48IyMMPa0 .24IyMMPa6 .44I)y05. 0(M)4 正应力强度校核：正应力强度校核：MPa9 . 21010102 .18102/)50(1010切)515492

34、3*maxmaxmaxttczzS，ybISF应力强度校核：该梁满足强度要求该梁满足强度要求习题习题 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度简支梁受均布荷载作用，其荷载集度q3.6kN/m梁的跨长梁的跨长 l=3m ,横截面为横截面为bh=120180mm2, 许用弯曲正应力许用弯曲正应力s s=7MPa，许，许用切应力用切应力t t=0.9MPa, 校核梁的强度。校核梁的强度。ABq解：梁的正应力强度校核解：梁的正应力强度校核最大弯矩发生在跨中截最大弯矩发生在跨中截面上，其值为面上，其值为mKNqlM.05.482max 梁横截面的的抗弯截面系数为梁横截面的的抗弯截面系数为mmbhWz326480006 横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力 25. 6maxmaxMPaWMz梁的切应力强度校核梁的切应力强度校核矩形截面的面积为矩形截面的面积为mbhA25106 .21 梁横截面上的最大剪应力梁横截面上的最大剪应力 ttMPaAFS375. 023maxKNqlFS4 .52max梁最大的剪力为梁最大的剪力为 所以此木梁是安全的。所以此木梁是安全的。梁的合理设计梁的合理设计按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应主要是依据梁的正应力强度条件力强度条件 ss