空间向量例题更新

1、.空间向量在立体几何解题中的应用一、空间向量的基础知识1. 向量的直角坐标运算rr设 a =( a1， a2， a3 ) ， b =( b1， b2，b3) ，则rrrrra b =( a1+b1， a2+b2， a3+b3) ； a b =( a1- b1， a2- b2， a3- b3) ； ar·b =a1b1+a2b2+a3b3，r rR ) 或 a1a2a3r ra1b1+a2b2+a3b3=0a b a1 = b1， a2= b2， a3= b3(， a bb1b2b32. 夹角和距离公式aa12a22a32 ;a ? bab cosa,ba1b1 a2 b2 a3b3r

2、ra1b1 a2 b2a3b3夹角公式 cos< a ， b >=a12a22a32b12b22b32uuur222111222，则| AB |=( x2( y2y1)距离公式设 A( x ，y， z ) ， B( x，y ， z )x1 )( z2z1)向量与坐标关系，设(1，1，1)， ( 2，2，2) ，则AB(x2x1 , y2y1 , z2z1 )A xyzB x yzM为中点时得中点坐标：x= x12x2 ，y= y1y2 ，z= z1z2 即（ x1x2 ， y1y2， z1z2 ）22222由中点公式，可得以A( x1， y1， z1) ， B( x2， y2， z

3、2 ) ， C( x3， y3， z3) 为顶点的三角形重心的公式：x= x1 x2 x3 ，y= y1y2y3 ，z= z1z2z3 即（ x1x2 x3 ， y1y2y3 ， z1z2z3 ）3333333 平面法向量的概念和求法向量与平面垂直：如果表示向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 n 平面的法向量：如果 n ，那么向量n 叫做平面的法向量一个平面的法向量有无数条，它们的方向相同或相反一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题推导平面法向量的方法如下：在选定的空间直角坐标系中，设平面的法向量 n =(

4、x，y，z) 或n =( x，y，1) 或 n =( x，1，z) ，或 n =(1 ，y，z) ，在平面内任选定两个不共线的向量a ，b 由 n ，得 n ? a =0 且 n ? b =0，由此得到关于x， y 的方程组，解此方程组即可得到n .下载可编辑 .例 1在棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1 中，求平面A1C1D的法向量 n 和单位法向量n 0解：建立空间直角坐标系，如图1，则D(0 ，0，0)，A1(1 ，0，1) ，C1(0，1，1)，uuuuruuuur设 n 面 A1C1D，n =( x， y， z) 得 n DA1 ， n DC1 uuuuruuuur又 DA

5、1 =(1 ， 0， 1) ， DC1 =(0 ， 1，1) zD1C1A1B1DCAyn ? DA10x z 0xzx 1xB; 得，令 z=1图 1n ? DC10y z 0yzy 1 n =( 1， 1， 1) ， n 0= n = (1,1,1) (3 ,3, 3)n111333二、空间向量在立体几何解题中的应用( 一) 空间角1异面直线所成的角uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?CD设点 A， B 直线 a， C，D 直线 b，构造向量 AB ， CD cos< AB， CD >= uuuruuur，| AB|CD |uuuruuura( AB) 与 b

6、( CD)所成的角< AB ， CD >所对应的锐角或直角即为直线例 2在例 1 中，设 AC BD=O，求异面直线D1O， DC1所成的角的余弦值解：如图建立空间直角坐标系D-AC ， D(0 ， 0，0) ， (0 ，0， 1) ，11C (0 ， 1， 1) ， (1 ，0， 0),C(0 ， 1， 0), 则110( ,0)122uuuur1 ，uuuurD O=(1 ， 1)， DC=(0 ，1， 1) 1212zD1C1A1B1DCAyuuuuruuuuruuuuruuuurcos< D O ， DC1>=D 1 O?DC 11uuuuruuuur| D1O

7、|DC 1|异面直线D1O， DC1所成的角余弦值为123 ，36223 xB图 162线面所成的角uuur如图， AB为平面的斜线，n 为平面的法向量，如果AB 与 n 之间所成的角为锐角，则斜线AB与.下载可编辑 .之间所成的角 = 即利用向量uuur平面AB 与 n 求出的是角，实际上所求的角是 2若 为锐角，则 = ，sin=cos；2B若 为钝角，则 =( )=，sin =cos n22总之有， sinuuurAB ? nA=|cos< AB ， n >|=ABn例 3. 在例 1 中，设 E、 F 分别为 C1D1、 B1C1 的中点，求 A1D与平面 EFBD所成的角

8、解：如图建立空间直角坐标系11(0 ，0，1) ，D-AC ， D(0 ，0，0) ，B(1 ， 1， 0) 1(0 ， 1，1) ， 1(1 ， 1，1), 则E(0，1，1)， ( 1， 1，zCBFE22C1D 11) ，1FAuuuruuurB1设 n 面 EFBD， n =( x， y， z) ，得 n DB ， n DE CuuuruuurD又 DB =(1 ，1，0) ， DE =(0 ， 1 ，1) Ay2xBxy0xyn ? DB 0x2图 2;得 11，令 y=2y z 0zn ? DE 022yz 1uuuur n =( 2， 2， 1) ，又 DA1 =(1 ， 0，1

9、) ，uuuurr32msin| DA1?n |n= uuuurr2|DA1| n |2 3即 =则所求的1与平面所成的角为l4A DEFBD43二面角的求法：二面角 l ，平面的法向量 m ，平面的法向量 n 则二面角 l 的平面角=<m ， n >所以， cos< m ， n >=m ? nmn若将法向量的起点放在两个半平面上( 不要选择起点在棱上) ，当两个法向量的方向都指向二面角内或外时，则< m ， n >为二面角的平面角的补角；当两个法向量的方向一个指向二面角内，另一个指向外时，则< m ， n >为二面角的平面角.下载可编辑 .故在

10、所求的二面角的平面角时，先求法向量的余弦值后利用图形观察其为锐角或钝角例 4.在例 1 中，求二面角D1AC D的大小的余弦值解：如图建立空间直角坐标系D-AC1， D(0 ， 0，0) ， 1(0 ，0， 1) ，A(1 ， 0， 0),C(0,1,0) n1 面 ACD1， n =( x， y，z) ，得 n1 AC ， n1 AD1 又 AC （ 1,1,0 ）， AD1 （ ,0,1）n1 ? AC0; 得xy0yx ；令 n1 =(1 ， 1，n1 ? AD10xz0z x1) ，由已知可易得平面DAC的法向量是 n 2 =(0 ， 0， 1) ，rrn ? n2cos< n1

11、 n2 >, = r1r| n| n21(1,1,1) (0,0,1)3 ，33由图知所求的角为锐角，则所求的余弦值为3 3练习 1： 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， AB=5， AD=8， AA1=4， M 为 B1C1 上一点，且 B1M=2，点 N 在线段 A1D 上，且 N (0, 8 , 16) ，求：5 51) 求直线 A1D 与 AM所成角的余弦值；2) 直线 AD与平面 ANM所成的角的正切；3) 平面 ANM与平面 ABCD所成角（锐角）的余弦值 .下载可编辑 .( 二) 空间距离线到面的距离点到面的距离面到面的距离线到线的距离1点到面的距离设 A是平

12、面外一点， AB是 的一条斜线，交平面于点 B，而 n 是平面uuurA 到平面的距离为 d的法向量，那么向量BA 在 n 方向上的正射影长就是点uuuruuur ruuurr| BA ?n |所以 d=| BA| ? |cosBA, n|rA| n |例5. 例1中，设 G、H分别是 A1B1、 CD的中点，d1Bn求点 B 到截面 AGCH的距离解：如图建立空间直角坐标系D-AC ，D(0 ，0，0) ， C(0 ，1，0),1B (1，1，1)，A(1 ， 0，1) ，则 H(0 ，1， 0)，G(1，1，1) ，z1122D 1C1uuuruuur1 A(1 ， 0，0) ， 设 n

13、面 AGGH，则 n AG ， n AH1AB1uuuruuur1 ，0) 有：令 n =(x ， y，z) ，则 AG =(0 ， 1 ， 1) ， AH =( 1，22DCuuuruuur1 yz0z1 yAy22 令 y2Bn ? AG =0， n ? AH =0，xx1 y0x1 y图 122uuur n =(1 ， 2，-1) ，又 AB =(0 ， 1，0) ，uuurr26所以点 B 到截面 AGCH的距离为AB ? n6d= uuurr故所求距离为1| AB | n | 1633练习 2：在例 1 中，求点A1 到平面 ACD1的距离.下载可编辑 .2异面直线间的距离如图 3，

14、若 CD是异面直线 a、 b 的线段，A、B分别为 a、b 上的任意两点令向量 n a，CAuuurnn b，则 n CD 公垂auuur uuur uuur uuurb AB=AC+CD+DB，BDuuuruuuruuuruuur AB ? n = AC ·n + CD ? n + DB ? n ，uuuruuur AB ? n = CD ? n ，uuuruuuruuuruuurr| AB ?n |两异面直线|AB ? n |=|CD| ? | n | ，|CD |=r| n |图 3uuurra、b 间的距离为： d= | ABr?n | | n |其中 n 与 a、 b 均垂

15、直 ( 即 a， b 的公垂向量 ) ， A、 B 分别为两异面直线上的任意两点例 6在例 1 中，求直线DA1和 AC间的距离uuuruuuur解： AC =( 1， 1，0) ， DA1 =(1 ， 0，1) 设 DA1和 AC公垂线段上的向量为n =( x， y， z) ，r uuur0xy0yxn ? AC1可取 n =(1 ， 1， 1) ，由r uuuur，即令xn ? DA10xz0zx又 uuuruuurr=(0 ， 0，1) ，所以点A到平面1 1的距离为d=| AA1 ?n |3 ，AA1A CDr3| n |即直线 DA1 和 AC间的距离为3 3练习 3如图 4，正四棱

16、锥 S ABCD的高 SO=2，底边长 AB=2 ，求异面直线 BD和 SC之间的距离zSCDO.下载可编辑 .yABx图 4.3线面距离直线 a 与平面平行时，直线上任意一点A 到平面的距离就是直线a 与平面之间的距离其求法与点到面的距离求法相同4平面与平面间的距离平面与平面平行时，其中一个平面上任意一点到平面的距离就是平面与平面间的距离其求法与点到面的距离求法相同1）用法向量求直线到平面间的距离，首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题2）用法向量求两平行平面间的距离，首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离

17、问题转化成点到平面的距离问题例 8在例1 中，设 P、 Q、 R分别是 A1C1、A1D和 B1A 上任一点，z(1) 求证：平面 A PQ平面 B RC；(2)求平面 A PQ与平面 B RC间的距离D 11111uuuuruuurA1解： (1)由前面例题知AC11 =( 1， 1， 0) ， B1C =( 1， 0， 1) ，uuuuruuurQRA1 D =( 1， 0， 1) ， B1A =(0 ， 1， 1) ，Duuuruuuur uuuruuuuruuuruuurA设 A1PAC11 ， AQ1A1D ， B1RB1A(、 、R，且均不为 0)xuruur设 n 、 n 分别是

18、平面 A1PQ与平面 B1RC的法向量，12ruuurruuuurruuuururn1 ? A1 P 0n 1 ? A1C10n 1 ? A1C10由ruuur即 ruuuur即 ruuuur，可解得： n1 =(1 ， 1， 1) ，n1 ? A1Q 0n 1 ? A1D 0n 1 ? A1D 0ruuurruuurruuuruurn2?B1R 0n 2 ?B1 A0n 2 ? B1 A0=( 1，1， 1) ，由ruuur即 ruuur即 ruuur，可解得 n2n2 ? B1C 0n2 ? B1C 0n 2 ? B1C 0C1PB1yCBur=uururuur所以n1n2，n1n2，所以

19、平面平面A PQB RC11uuruur如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用n1 n2n1 ? n2 =0 来证明(2)A(1 ， 0， 0) ， D(0 ， 0， 0) ，A1(1 ， 0， 1) ， C1(0 ， 1， 1) ，.下载可编辑 .uuuuruuuuruuur DA1 =(1 ， 0，1) ， DC1 =(0 ， 0， 1) ， AD =(1 ，0， 0) ，r设平面 A1C1D的一个法向量n =( x，y， 1) ，ruuuur( x , y ,1 )(1, 0,1 )0x1r则n ? DA 10，即， n =(-1 ， -1 ，1) ruuuur(

20、x , y ,1 )(0,1,1 )0y1n ? DC 10uuurr( 1,0,0)( 1,1,1)平面1与平面11间的距离= | AD ? n |3ABCA CDdr( 1)2( 1)2123| n |将平面 AB1C与平面 A1C1D间的距离转化成点A 到平面 A1C1D的距离例 9. 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 ，BCA90 o ， ACBC2 ， A1在底面 ABC 上的射影恰为AC 的中点 D ，又知 BA1AC1 。（ I ）求证： AC1 平面A1 BC ；（ II ）求 CC1 到平面 A1 AB 的距离证明： （I）如图，取AB 的中点 E ，则 DE / BC ，因

21、为BCAC，所以 DEAC ，又 A1D平面 ABC ，以 DE , DC , DA1 为 x, y, z 轴 建 立 空 间 坐 标 系 ， 则A 0, 1,0 ，C 0,1,0，B2,1,0，A10,0,t，C1 0,2, t，uuuuruuuruuurAC10,3,t， BA12,1,t， CB2,0,0，uuuruuur由 AC1?CB0，知 A1CCB ，又 BA1AC1 ，从而 AC1平面 A1BC ；uuuuruuur3t20 ，得 t3 。（II ）由 AC? BA11ruuuruuur设平面 A1 AB 的法向量为 nx, y, z ， AA10,1, 3， AB2,2,0

22、，所以r uuurrn ? AA1y3z013,3,1r uuur2x2 y，设 z，则 nn ? AB0uuuurr所以点 C1 到平面 A1AB 的距离 dAC1 ? n221 。rn7( 三 ) 证明面面平行或面面垂直；线面平行或线面垂直等uruur若两平面、 的法向量分别为n1 、 n2 ，则.下载可编辑 .uruururuur(1) 当 n1 ? n2 =0 时，平面平面；(2) 当 n1 = n2 ，即它们共线时，平面平面r若平面的一法向量为n ，直线 AB在平面外，则ruuurruuur(1) 当 n ? AB =0 时， AB平面；(2)当 n =AB ，即它们共线时，AB平面

23、 AB平面内的两条相交直线，则AB平面.下载可编辑 .例 9如图，正三棱柱ABC A1B1C1 的底面边长为3，AA 1侧棱长为3 3 ，D是延长线上一点，且=2CBBD BCCC1求直线 BC 与平面 ABD之间的距离；11解：由题设知， AD，AC， AA1 两两垂直，建立空间直角BB1坐标系 A DCA，则D11A(0 ，0，0)，B( 3 3 ， 3 ， 0) ，C(0 ，3，0) ，D(33 ，0，0)，22B1(3 3，3，33 )，C1(0，3， 33 ) 可求得平面AB1D的一个法向量为r3 ，-1) n =(0 ，2222直线 BC与平面ABD之间的距离为11ruuur|(0

24、,3, 1)333,0) | n ? AB |(2,332d=r| (0,3,1) |4| n |.下载可编辑 .uuur3 ) ，(2)平面 ABD的一个法向量为AA1 =(0 ， 0， 32uuuruuur3 3| AA1n |233cos< AA1 ， n>=| n |24，二面角1的大小为 arccos33 BAD B4(3)取 AB中点 M(3uuuur33 ， 9 ， 0) 是平面 ABB1的一个法向量，点C到3 ， 3，0)，则 MC =(-4444平面的距离为ABB1uuuruuuur| (33 3,0)33927| BCMC |,(, ,0)|h=22444=1，

25、uuuur|MC | (33,9,0) |27444又 SABB= 9 3，三棱锥 C1 ABB1的体积为 33 144.下载可编辑 .例 10如图 8，已知 ABCD是矩形， PD平面 ABCD， PD=DC=a，PAD= 2 a， M、 N分别是 AD、 PB的中点N求证：平面 MNC平面 PBC证明： 建立空间直角坐标系 DACP，则DCMP(0 ， 0， a) ， B( 2 a， a， 0) ， C(0 ， a， 0) ，AB图 8.下载可编辑 .M(2 a， 0， 0) ， N(2 a， a ， a ) 2222uuuruuur2 a， 0， 0) ，PB =( 2 a，a， - a

26、) ， BC =(-uuur2 a， a ， -uuuur2 a， a， 0) ，NC =(a ) ， MC =(-22221=( ， 1) 为平面uuuruuur设n的法向量，则n1·PB=0， 1· BC =0，xyPBCn2ax yaa0，解之得 :x0， n1=(0 ， 1， 1) 2ax0y1同理可求平面 MNC的一个法向量： n2 =(-2 ，-1 ，1) ，而 n ·n =0-1+1=0 ， n n ，故平面 PBC平面 MNC1212uuruuruuruur若 ，则 n n；反之也成立若 ，则 n n；反之也成立利用法向量来解决上述五种立体几何题目

27、，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正( 长 ) 方体、直棱柱、正棱锥等事实证明，法向量在求角、距离以及证明平行垂直中都有非常广泛的应用，它在中学数学中的出现，是对传统的立体几何知识一个很好的补充及加深.下载可编辑 .下载可编辑 .例 7长方体 ABCD A1B1C1D1 中 AB=2， AD=4，AA1=6， E是BC的中点， F 是 CC的中点，求1z(1)异面直线 D1F 与 B1E 所

28、成角大小的余弦值；A 1D1(2) 二面角 D AE D大小的余弦值；B1C11(3)异面直线 B1E与 D1F 的距离分析：建立空间直角坐标系1ABDA，则FDuuuuruuurAy(1)D1 F =(2 ， 0， -3)， B1E =(0 ， 2，-6)，BCExuuuurcos< D1F ，uuurB1E >=uuuur uuur D1F B1E uuuur uuur | D1F | B1E |189 130，13401309 130异面直线D1F 与 B1E所成的角为arccosuuur(2) 显然平面 AED的一个法向量为AA =(0 ， 0，6) ，1uuuruuuur

29、uuuur0 ，设平面1 的一个法向量为=(，1) ，且， ，则n AEAEDn xynAEnAD1uuuuur0n AD1uuuruuuurAE =(2 ， 2， 0) ， AD1=(0 ，4，6)，(x, y,1) (2,2,0)02x2 y0x32 ， n=( 3 ， - 3 ， 1) ，4 y6，(x, y,1) (0,4,6)00y3222uuuruuurn62222AA1cos< AA1， n> = uuur611/ 2 11，得 =arccos| AA1 |n |11二面角1的大小为 arccos22 DAE D11.下载可编辑 .uuuruuuuruuuuur(3) 令向量 =(，y，1) ，且， ，则