非平稳时间序列模型

1、 第六讲第六讲 非平稳时间序列模型非平稳时间序列模型1.认识非平稳的数据特征认识非平稳的数据特征 2.非平稳时间序列与单位根过程非平稳时间序列与单位根过程3.趋势平稳和差分平稳过程趋势平稳和差分平稳过程4.单位根检验单位根检验5 .ARIMA模型模型 6.伪回归伪回归7.协整与误差校正模型协整与误差校正模型8 .实证案例实证案例内容结构内容结构前言前言 在前面的章节中，所阐述的有关时间序列数据模型的内容都假定数据是平稳的，那么，实际经济中的数据有没有可能是非平稳的？如何检验时间序列数据的非平稳性？ 特别是，如果我们面对的是非平稳的数据，原有的基于平稳数据而建立的分析方法是否仍然适用？如果不适用

2、，我们就应该针对非平稳数据的特征，提出新的分析方法。本章我们将系统阐述非平稳性的概念、估计与检验方法。 1实践中，许多时间序列数据都是单位根过程，因此，单实践中，许多时间序列数据都是单位根过程，因此，单位根检验与协整分析是实证分析极为常见的方法。位根检验与协整分析是实证分析极为常见的方法。 2由于单位根过程累积了随机趋势，因此，某一时期的随由于单位根过程累积了随机趋势，因此，某一时期的随机冲击对单位根变量有持久影响。也正是因为单位根变量累积机冲击对单位根变量有持久影响。也正是因为单位根变量累积了随机趋势，通常的大样本正态渐进性不再有效。了随机趋势，通常的大样本正态渐进性不再有效。 3判别某个时

3、间序列数据是平稳的还是单位根过程，最常判别某个时间序列数据是平稳的还是单位根过程，最常用的方法是用的方法是DF或或ADF检验。检验。 4如果被解释变量变量和至少一个解释变量是非平稳的，如果被解释变量变量和至少一个解释变量是非平稳的，回归可能遇到谬误相关，这种谬误相关放大了回归可能遇到谬误相关，这种谬误相关放大了R2和非平稳解和非平稳解释变量对应的释变量对应的t值。值。 5两个或多个单位根变量之间可能存在协整关系，协整关两个或多个单位根变量之间可能存在协整关系，协整关系表明它们之间存在长期均衡。可通过检验方程残差的平稳性系表明它们之间存在长期均衡。可通过检验方程残差的平稳性实现协整检验。实现协整

4、检验。 6误差校正模型是协调协整变量短期动态变化及其长期关误差校正模型是协调协整变量短期动态变化及其长期关系的一种方法。系的一种方法。本章重点本章重点1.认识非平稳的数据特征认识非平稳的数据特征 我们以中国国内生产总值(GDP)，经济增长率(g)的数据为基础分析相关概念，具体数据如图： 0400008000012000016000020000024000078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06GDP图1.1 GDP数据图 24681012141678 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06g图1.2

5、经济增长率数据图 从图1.2可以发现，我国经济增长率数据既没有上升趋势，也没有下降趋势，而是围绕在某个均值附近上下波动。一旦某年度的经济增长率偏离均值，它会随后较快地向均值回复，也就是说，经济增长率具有均值回复特征。经济增长率的数据特征与上一章中所介绍的平稳数据特征很相似。 与之不同的是，我国的GDP虽有一定的波动，但存在一个明显的上升趋势。如果我们把每年的GDP看成是一个随机变量，那么，这种上升的趋势就使得每年GDP的均值发生变化。类似GDP这样的数据变化特征就是本章将要介绍的非平稳数据的一个典型特征。2.非平稳时间序列与单位根过程非平稳时间序列与单位根过程 定义：如果一个时间序列的均值或方

6、差随时间而变化，那么，这个时间序列数据就是非平稳的时间序列数据；如果一个序列是非平稳的序列，常常称这一序列具有非平稳性。 tXtX 如果时间序列 不满足如下平稳性定义中的一条或几条，则 是非平稳的序列 （1） 的均值不随时间变化， （2） 的方差不随时间变化， （3）任何两期的 与 之间的协方差仅依赖于这两期间隔的距离或滞后长度（ ），而不依赖于其他变量（对所有的 ），即 与 的协方差表述为tX()tEXtX22()()ttVar XE XtXt kXkktXt kX()()kttkEXX平稳性定义平稳性定义 所谓时间序列的随机游走（Random Walk）即指下一期的值等于当期的值加上随机误

7、差项。我们把随机游走划分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走。 非平稳性和随机游走的关系 ： 假设 由一阶自回归过程所生成： 将 代入方程(2.1)： 这样定义的 被称为随机游走，假定时间序列从第0期开始，我们就有：tY1tttYY(2.1)1tttYY(2.2)Y01titiYY(2.3)001( )()ttiiE YE YY2( )tvar Yt(2.4)(2.5)1 方程(2.2)中没有截距项(这里称为漂移项)和时间趋势项，若在方程中分别加入漂移项和时间趋势项，可得到另外两种随机游走方程： 方程(2.6)称为带漂移的单位根过程，方程 (2.7)称为带漂移和时间趋势的单位根过程。1ttt

8、YY(2.6)(2.7)1 tttYt Y050100150200250300350400450500-4-3-2-1012345050100150200250300350400450500-10-505101520253005010015020025030035040045050005010015020025030035040045050005010015020025030035040045050000.511.522.533.54x 104图2.1： 10.6tttYY图2.2： 1tttYY图2.3： 图2.4： 11tttYY11 0.3tttYtY 认识数据特征：平稳数据和几种单位跟

9、数据认识数据特征：平稳数据和几种单位跟数据3. 趋势平稳和差分平稳过程趋势平稳和差分平稳过程一、趋势平稳和差分平稳的数据生成过程 图1.1中我国的名义GDP表现出很强的趋势，这种趋势是随机性的还是确定性的呢？还是两者兼而有之呢？为清楚理解这一问题的含义，考虑如下模型：0121tttYtY(3.1) (1)在模型(3.1)中，若 则可以得到： 模型(3.2)是一个不带漂移和时间趋势项的随机游走，是非平稳的单位根过程，对其取差分的形式，得到： 由于随机误差项( )是平稳的，因此， 是平稳的。换言之，一个不带漂移的随机游走是一个差分平稳过程。, 1, 0, 02101tttYY(3.2)1()ttt

10、tYYY(3.3)ttY (2)在模型(3.1)中，若 则可以得到： 这是一个带漂移的随机游走过程，是非平稳的单位根过程，将其写成差分的形式： 这意味着时间序列的变化( )除了受 的影响外，还受误差项 的影响，并且 将把以前时期的 值累积起来，随机误差项对 的这种累积效应被称为随机趋势。 带漂移的单位根过程也是差分平稳的。 , 1, 0, 0210(3.4)(3.5)ttY01tttYY10()ttttYYY0tYttY (3)在模型(3.1)中，若 则可以得到： 模型(3.6) 所生成的数据，其均值不是常数而是时间的函数（等于 ），其方差恒定(等于 的方差) ，一旦知道了 的值，就可以准确预

11、测 的均值及其趋势。 一旦从中减去其均值，所得到的序列就是平稳的，因此，由(3.6)生成的 称为趋势平稳过程。这种除去确定性趋势的过程称为除趋势。, 0, 0, 0210(3.6)ttYtY01ttYt01t10， (4)在模型(3.1)中，若 则可以得到： 这是一个带漂移和时间趋势的随机游走，将模型 (3.7)转化成差分的形式： 可以看出， 含有时间趋势，因此 的均值随时间而变化， 是非平稳的。要使 变成平稳，需要对其进行除趋势处理。也就是说， 是趋势平稳过程。, 1, 0, 0210(3.7)(3.8)tY011tttYt Y01ttYttYtYtYtY二、趋势平稳的检验方法 实际研究中一

12、个简单的区分趋势平稳和差分平稳的方法，就是从数据中去除其所含有的确定性部分，然后检验其剩余部分是单位根过程还是平稳过程。如果剩余部分是单位根过程，则说明该数据本身是差分平稳，否则该数据就是趋势平稳过程。 例如，对如下模型做回归： 得到回归残差 ，再检验 的平稳性，基于检验结果判断 是否趋势平稳。 01ttYt(3.9)01ttYtttY4. 单位根检验单位根检验一、迪基富勒(DF)检验 数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋势，也可能是源自于数据生成过程中的随机游走，也许两者兼而有之，区分非平稳数据的这两种特征非常重要。 Nelson,Plosser(1982)等认为很多经济时间序列都是由单

13、位根而不是由确定性时间趋势来更好地近似描述。因此，近期广受欢迎的一种非平稳性检验就是所谓的单位根检验。 回忆我们曾讨论方程(2.1)中的 值，它帮助我们确定Y是平稳还是非平稳： 我们已在第2节中定义, 如果 1时， 趋于以更快的速度爆炸性增长，此时 称为发散过程；但当 =1， 是非平稳的且被称为单位根过程。 因此，迪基富勒（DF）单位根检验的原理：估计方程（4.1），并确定是否有 1, 从而判定 是否是平稳的, 1tttYY(4.1)tYtYtYtYtY 首先，在方程（4.1）两边同时减去 ， 得到： 定义 ，我们就得到迪基富勒（DF）检验最简单的表达式： 这里 ，因此，检验 是否为单位根过程

14、就转而检验原假设 =0。 若 =0，则 =1， 为一个单位根过程；若 0，则 1， 是平稳的。于是我们构造 原假设 : =0，备择假设 : 0。(4.2)1tY1111(1)tttttttYYYYY1tttYYY1tttYYv(4.3)1tYtYtY0H1H 如何检验模型(4.3)的原假设是否成立？ 在原假设 下，估计的 的回归系数的t统计值即使在大样本下也不服从t分布，因此，使用通常的 t检验无法检验原假设是否成立。 迪基富勒的解决办法：在原假设 1对应的是协整检验。1212()()()()pCKKK TK T(7.5)12pTKKK三、我国进出口总额的协整分析 作为协整检验的一个例子，我们

15、来分析我国进口总额(IM)和出口总额(EX)数据，数据来源于新中国55年统计资料，见图7.2：1234567895055606570758085909500Ln(EX)Ln(IM)图7.2：我国进口总额和出口总额数据（一）对Ln(EX)和Ln(IM)做回归 ADF检验表明，变量Ln(EX)、Ln(IM)都是一阶单整的单位根过程，基于此，对Ln(EX)和Ln(IM)做回归得到：()0.036 1.010()tttLn EXLn IMu (7.6) （二）对残差进行单位根检验 对残差 进行单位根检验，AIC准则选择最优滞后期为0 ，结果为： t = -3.43 查表计算协整检验临界值： 由于(7.

16、7)式单位根检验计算的t统计量值为-3.43，小于计算的临界值-3.118，因此，在10%的显著性水平下，可以拒绝回归残差 为单位根的原假设，所以，Ln(EX)和Ln(IM)存在协整关系。tu10.364tttuue (7.7)118. 355/73. 555/069. 4046. 3210. 0C u四、误差校正模型 如果使用EG或AEG检验证实了若干个单位根变量存在协整关系，则意味着这些变量存在长期均衡，但在短期中，各变量不可能永久停留在长期均衡上，而是可能会偏离长期均衡，围绕均衡波动。 由于协整关系的存在，变量一旦偏离均衡又将会逐步回复到长期均衡。这种向长期均衡的动态调节过程就是误差校正

17、模型(Error Correct Model, 简称ECM)所要阐述的内容。 假定长期利率( )和短期利率( )都是 ，它们的协整关系为： 则用于利率期限结构的简单误差校正模型为： 由格兰杰表述定理，一个完备的误差校正模型可写为：1tr2tr(1)I101 2tttrr(7.8)1101111tttru 2202112tttru (7.9)(7.10)1101111122111ppttit iit itiirrru 2202111122211ppttit iit itiirrru (7.11)(7.12) 将上述内容扩展至协整方程中包括 个变量的情形。 如果向量 为 ，且存在协整关系 ，则向量

18、 有一个误差校正模型表达式： 因为(7.13)的误差校正模型是使用向量形式表述，因而被称为向量误差校正模型(Vector Error Correct Model, 简称VECM)。k12(,.,)tttktxxxx(1)I)0(Ixttx0111122( ).ttttpt ptxxxxxu (7.13)01234520022003200420052006200720082009r2r18. 实证案例实证案例 我国商业银行利率的协整分析我国商业银行利率的协整分析 本节我们将使用本章介绍的知识，研究长期利率和短期利率的长期均衡和短期动态调节。 以 表示长期利率， 表示短期利率，其中长期利率是指我国

19、商业银行90天同业拆借利率的月度加权平均值，短期利率是我国商业银行7天同业拆借利率的月度加权平均值。数据来自中国人民银行网站提供的统计数据，见图8.1。1tr2tr图 8.1：我国同业拆借利率一、对变量进行单位根检验（ADF检验） 由于 和 的数据图形都没有表现出明显的确定性趋势，因此，单位根检验方程中应不包含漂移项和时间趋势项，检验结果见表8.1。 表8.1： ADF检验结果 1tr2tr变量统计量值5%临界值结论-1.06-1.94单位根-11.77-1.94平稳-0.75-1.94单位根-14.33-1.94平稳1r1r2r2r 和和 都是都是 ，可以对可以对 和和 的关的关系进行协整分析。系进行协整分析。1r2r(1)I1r2r12345620022003200420052006200720082009r1re二、协整检验 设定利率期限结构的协整方程为： 使用OLS估计以上模型，记 的估计值为 。为便于分析，将 和 同时表述在图8.2中：101 2tttrr(8.1)1rre1rre图8.2： 与 数据图re1r 估计的残差即为 ，亦即 对 的偏离。为检验协整，对残差进行平稳性EG