实验误差与不确定度(2007[1].4讲稿)

1、1大学物理实验绪论陈颜陈颜2课程提纲课程提纲第一部分：关于物理实验的几点说明第一部分：关于物理实验的几点说明第二部分：物理测量与数据处理第二部分：物理测量与数据处理n测量与误差的概念测量与误差的概念n测量结果的表达测量结果的表达n不确定度的简化评定方法不确定度的简化评定方法n有效数字及其运算法则有效数字及其运算法则第三部分：数据处理方法第三部分：数据处理方法列表法、作图法、逐差法、最小二乘法列表法、作图法、逐差法、最小二乘法第四部分：作业与实验课须知第四部分：作业与实验课须知3 第一部分第一部分关于物理实验的几点说明关于物理实验的几点说明（绪论（绪论XL,P1-5） n物理实验是物理学的基石物

2、理实验是物理学的基石n什么是物理实验什么是物理实验n物理实验的目的物理实验的目的n物理实验体系物理实验体系n大学物理实验课程的教学目的大学物理实验课程的教学目的4 实验是物理学的基石实验是物理学的基石（XL0.1，P2）n物理学的原理是由物理实验支持的。n科学是有两部分组成的：归纳与逻辑推演（欧几里德几何学的创立），实验实证（伽利略实验观测）。5什么是物理实验什么是物理实验?n用客观客观的手段对物质的物理特征进行定量定量的观察和比较，从而确定被测量物质的物理学状态。6n物理实验的目的物理实验的目的（XL0.2，P3）n对物质运动的物理描述中排除人排除人的主观臆的主观臆断断。7物理实验的诞生是科

3、学与宗教、现代文明与古典文明的分水岭。8n物理实验体系及意义物理实验体系及意义（XL0.2，P2）n开放的、可重复的、能够提供定量分析依据的物理学观测体系。 n以物理实验发端的科学体系是现代社会机以物理实验发端的科学体系是现代社会机构基石：构基石： 开放的自由、透明封闭的 可重复民主、平等神秘化 定量的法律、法制专治的 （实验体系）（实验体系） （西方现代社会）（西方现代社会） （古典社会）（古典社会） 9大学普通物理实验课程的教学目大学普通物理实验课程的教学目的的（XL0.3，P3）n1、了解和认识实验实证的方法论。n2、了解、学习和掌握物理实验基本知识和技能。 10第二部分第二部分测量与测

4、量数据的处理测量与测量数据的处理（第1章D1,P6-23 ）n物理学的观测物理学的观测物理实验物理实验n如何获得和描述测量结果如何获得和描述测量结果n测量的分类测量的分类n间接测量结果的估算间接测量结果的估算n测量结果的表示测量结果的表示n有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则111、物理学的观测、物理学的观测物理实验物理实验na、在物理环境恒定的测量条件恒定的测量条件下，以某一物质的物理量为标准标准（测量物），来比较其他物体（被测量物被测量物）的物理学特征。12 人的身高在一天中变化的周期人的身高在一天中变化的周期 人的身高数据分布人的身高数据分布nb、什么是测量的物理环境恒定测量环境、标

5、准物以及被测量物的物理特征在时间和空间场中呈正态分布正态分布。13nc、测量环境和测量物体状体的时空正态分布特性，决定物理测量必须是多次重复观测，测量结果也随时间或空间成正态分布，物理学观测是在实验恒定条件下的多次重复测量重复测量。142、如何获得和描述测量结果如何获得和描述测量结果 （1.2,P915） 对被测物体的正态分布的进行定量分析和描述正态分布中心和分布半径的计算。真值真值数据波数据波动的合动的合理半径理半径不确定度不确定度15a、真值的计算、真值的计算（1.2.2，P11)n真值真值被测量的真实量值。被测量的真实量值。n测量结果的正态分布中心X表示被测量量被测量量的本征值的本征值或

6、测量的正确度，是被测量量算术平均值，也称为真值真值。n真值的计算公式： （P11，1.5） X0= X1+X2+Xn n16n测量不确定度（精准度）是指测量结果分布合理测量不确定度（精准度）是指测量结果分布合理半径，既被测量量的动态范围半径，既被测量量的动态范围，表征测量系统的表征测量系统的精密度，称为测量结果的总不确定度，用精密度，称为测量结果的总不确定度，用“”表表示示。n（总不确定度）的计算公式：（总不确定度）的计算公式：（P13，1.11） b、测量不确定度的计算、测量不确定度的计算（1.4.1，P13)2222仪xBAS17不确定度和误差的分类不确定度和误差的分类（1.1.1，P6)

7、n总不确定度由两部分分量组成：n随机不确定（环境或被测物的正太波动）随机不确定（环境或被测物的正太波动）：在对同一被测量的多次测量中，绝对值和在对同一被测量的多次测量中，绝对值和符号以不可预知的方式变化的误差分量。符号以不可预知的方式变化的误差分量。n系统不确定（测量系统的缺陷）系统不确定（测量系统的缺陷）其绝对值其绝对值和符号保持恒定或以可预知方式变化的误和符号保持恒定或以可预知方式变化的误差分量。差分量。18（1）、随机误差）、随机误差（1.1.3，P7)n产生原因：产生原因：随机不确定度或随机误差是由实验中各种不可空因素随机的微小随机不确定度或随机误差是由实验中各种不可空因素随机的微小变

8、动引起的。变动引起的。特点：特点：随机误差呈正态分布规律随机误差呈正态分布规律1、单峰性单峰性：绝对值小的误差出现的可能性大，绝对值大的误差出：绝对值小的误差出现的可能性大，绝对值大的误差出现的可能性小。现的可能性小。2、对称性对称性：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分：大小相等的正误差和负误差出现的机会均等，对称分布于真值的两侧。布于真值的两侧。3、有界性有界性：数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现。：数值很大的误差在没有错误的情况下通常不出现。4、抵偿性抵偿性：在多次测量时，正负随机误差可以大致相消。：在多次测量时，正负随机误差可以大致相消。n减小误差的方法：减小误差的方

9、法：可以通过重复多次测量来减小误差。可以通过重复多次测量来减小误差。19（2）、系统误差）、系统误差（1.1.2，P7)n产生原因：产生原因：系统不确定度或系统误差是实验受某一特定因素影响而产生的。系统不确定度或系统误差是实验受某一特定因素影响而产生的。例如：仪器设备由于加工不良或磨损造成的误差，落体空受空例如：仪器设备由于加工不良或磨损造成的误差，落体空受空气阻力的影响等。气阻力的影响等。 特点：特点：系统不确定度呈单方向或非随机规律分系统不确定度呈单方向或非随机规律分布布1、单向性单向性：绝对值与偏差方向基本一致。：绝对值与偏差方向基本一致。2、非对称性非对称性：正负偏差出现的机会是不均等

10、，偏差往往分布于真：正负偏差出现的机会是不均等，偏差往往分布于真值的同一侧。值的同一侧。n减小误差的方法：减小误差的方法：可以通过校准仪器、改进实验装置和实验方法，或对测量结果可以通过校准仪器、改进实验装置和实验方法，或对测量结果进行理论上的修正来消除或减小系统误差。进行理论上的修正来消除或减小系统误差。20n随机不确定度，用随机不确定度，用“A”表示，称为表示，称为标准偏差标准偏差或或A类不确定度类不确定度。nA不确定度的计算公式：不确定度的计算公式： A=Sx（ P14，1.13） （P11，1.7） 单次测量量（第i次测量的数据）与真值的比较，产生的差别称为误差 xi = Xi X 。（

11、P6）112nxxSniix标 准 偏 差 （3）随机不确定度（随机不确定度（A类不确定度类不确定度的计算的计算（1.2.2，P11)21（4）系统不确定度（）系统不确定度（B类不确类不确定度定度的计算的计算（1.4.3，P14）仪B 系统不确定度，用系统不确定度，用“B”表示，表示，起其值等于仪器的误差或最小测量值起其值等于仪器的误差或最小测量值的一半的一半。 B不确定度的计算公式：不确定度的计算公式： （仪一般由实验室给出）22（5）精密度、正确度和准确度）精密度、正确度和准确度 （1.1.3，P8） 精密度A0 正确度B0 准确度A0 B0 A0 B023（6）相对不确定度）相对不确定度

12、（1.1.1， P6）n绝对不确定度：只表征测量结果范围的大小，并不能直接表征测量的精确度。n相对不确定度：不表征测量结果范围的大小，只表征测量的精确度。%1000 xExr案例：1、测量量是X0=10m，不确定度是 =0.01m。测量结果： X=10.000.01m2、测量量是X0=1m，不确定度是 =0.005m。测量结果： X=1.0000.005m请问：哪个测量精度高？243、测量结果的表示、测量结果的表示（单位）xxx0总不确定度总不确定度物理意义物理意义：是指由于误差的存在所造成的对被测量值不能肯定程度或被测量的真值约为95可能性落在X0 x内的区间半径的真实大小。相对不确定度相对

13、不确定度Er物理意义物理意义：是指由于误差的存在所造成的被测量值平均每个单位所存在的不确定度的大小，表征物理测量的精度。%1000 xExr254、测量的分类、测量的分类（1.5，P15）测量的定义测量的定义：以确定被测对象量值为目的的一组操作称为以确定被测对象量值为目的的一组操作称为测量测量。测量的分类测量的分类：直接测量直接测量：能在仪器上直接读出测量结果的测量。：能在仪器上直接读出测量结果的测量。间接测量间接测量：对测量的数据进行运算才能得到测量结：对测量的数据进行运算才能得到测量结果的测量。果的测量。265、间接测量结果的估算、间接测量结果的估算（1.5，P11)a、间接测量结果的真值

14、计算间接测量结果的真值计算与各的函数关系： Nf（ X，Y，Z）X=（x1x2 xi ），Y =（y1y2 yi ）， Z =（z1z2 zi ）由公式（P11，1.5）（P11，1.7）（P13，1.11）得出：XX0 x，Y Y0y，ZZ0z则测量结果N的真值为： N0f（ X0，Y0，Z0）27b、间接测量结果的绝对不确定度的计算：、间接测量结果的绝对不确定度的计算： （P15,1.16)222zyxNzfyfxfc、间接测量结果的相对不确定度的计算：、间接测量结果的相对不确定度的计算： （P15,1.17)222lnlnlnzyxNzfyfxfN28间接测量量不确定度传递公式的推导间接

15、测量量不确定度传递公式的推导确定度传递公式）（用方和根形式合成不（合并同类微分式）（求全微分式）（函数为和差形式）：例22222221614)1 (421zyxNxyzxdzydydxzdNxdzzdxydydxdNxzyxN确定度传递公式）（用方和根形式合成不（求全微分式）（取对数）（函数为积商形式）：例2222lnlnlnlnln2 cbamcdcbdbadamdmdcbamabcmcbam29一次完整的物理学测量一次完整的物理学测量已知：N=f（X、Y）；（X、Y为直接测量量）求测量结果：N0、N、Er。步骤如下：1）多次重复测量得：X1、X2Xn；Y1、Y2Yn。 2）由多次测量值Xi

16、、Yi求各测量分量的真值：X0、Y0 （P11，1.5）;测量分量的A类不确定度XA、YA（P11，1.7）；B类不确定度XB、YB（由实验室给出）；测量分量的不确定度X、Y（P13，1.11）。3）由测量分量的平均值X0、Y0求：N0f（X0，Y0）4）由测量分量的不确定度X、Y求：N（P15,1.16）5）写出测量结果：N=N0N（用科学表达式） Er=N/N0100%（P15,1.17）30间接测量结果的计算例题间接测量结果的计算例题33222333222221003032. 0155. 4)(032. 00312. 0005. 0995. 114. 3212121)(155. 4155

17、3. 4995. 11416. 36161005. 0995. 1)(005. 0004. 05000046. 0)(995. 1008. 0005. 2001. 2008. 2001. 2003. 2000. 261616,004. 0,008. 0611mmVmmdddddVmmdVmmdmmSmmdddnmmmmddVdVxBAdnii）（）（测量次数零点球的体积：用螺旋测微计测小钢例仪仪31336622222222221221221222212211222122322212221)08.044.9()(08.00081.0436.9%81.00081.0109 .64104 .24 .

18、241 .38575.2004.0880.2600.3004.0880.22880.2600.3004.0600.322222lnln4lnln)(436.9575.2800.2600.344,)004.0575.2(,)004.0600.3(,)004.0880.2(212cmVcmVVhDDDDDDVhdhDDdDDdDDVdVhDDVcmhDDVVcmhcmDcmDVVhDDV 解：及其不确定度。求环的体积高度外径：已知金属环的内径例326、有效数字及其运算规则、有效数字及其运算规则 （1.7，P18-20）案例：用三种仪器测量一物体的厚度，请问哪个测量精案例：用三种仪器测量一物体的厚度

19、，请问哪个测量精度高，各自的有效数字是多少？度高，各自的有效数字是多少？33A 、有效数字的定义和读取有效数字的定义和读取（1.7.1，P18）n什么是有效数字：第一位非0数字第一位或第一、二位欠准（存疑存疑）数字之间的数字。n为什么物理实验数据要使用有效数字：有效数字位数的多少反映了测量结果的精度。n有效数字的读取：第一位非0数字第一位或第一、二位估读数字。n物理实验中所有与测量有关的数字都是有效数字。34例题：下列数字是几位有效数字？例题：下列数字是几位有效数字？ 0.1230 （ ） 0.1203 （ ） 1.2030 （ ） 1.003（ ） 0.0010 （ ） 4454235B、有

20、效数字位数的统一规定、有效数字位数的统一规定（1.7.2，P19）（1）不确定度取）不确定度取12位有效数字：当首位位有效数字：当首位数为数为1、2、3时取时取2位有效数字，首位数位有效数字，首位数3时取时取1位有效数字。位有效数字。（2）相对不确定度取）相对不确定度取2位有效数字。位有效数字。（3）测量结果）测量结果N0的末位与不确定度的所的末位与不确定度的所在位取齐。在位取齐。（参见例（参见例1、例、例2）36C、有效数字的进位规则、有效数字的进位规则（1.7.2，P19）n测量值：测量值：四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶n不确定度：不确定度：只进不舍，隔零不进只进不舍，隔零不进n进位案例：进

21、位案例：37一次完整的物理学测量一次完整的物理学测量已知：N=f（X、Y）；（X、Y为直接测量量）求测量结果：N0、N、Er。步骤如下：1）多次重复测量得：X1、X2Xn；Y1、Y2Yn。 2）由多次测量值Xi、Yi求各测量分量的真值：X0、Y0 （P11，1.5）;测量分量的A类不确定度XA、YA（P11，1.7）；B类不确定度XB、YB（由实验室给出）；测量分量的不确定度X、Y（P13，1.11）。3）由测量分量的平均值X0、Y0求：N0f（X0，Y0）4）由测量分量的不确定度X、Y求：N（P15,1.16）5）写出测量结果：N=N0N（用科学表达式） Er=N/N0100%（P15,1.

22、17）（尾数为仪器刻度的估读，一般取（尾数为仪器刻度的估读，一般取1位）位）（保留计算结果）（保留计算结果）（尾数与（尾数与N取齐，取齐，4舍舍6入入5凑偶）凑偶）【首位数首位数3时，取时，取1位；首位数位；首位数3时，取时，取2位有效数字，位有效数字，只进不舍，隔只进不舍，隔0不进位不进位】（2位有效数字，只进不舍，隔位有效数字，只进不舍，隔0不进位）不进位）38D、有效数字的运算、有效数字的运算（1.7.4，P19）39E、有效数字的科学表示法、有效数字的科学表示法（1.7.3，P19）案例：（10.30.4）CM （1.030.04）10CM 原始数据 科学表达式为整数naan,1011

23、040第三部分第三部分数据处理的基本方法数据处理的基本方法（第二章（第二章P24-30）n列表法列表法n作图法作图法n逐差法逐差法n最小二乘法（一元线性最小二乘法（一元线性回归）回归）41列表法处理数据列表法处理数据例如：用物距象距法测凸透镜的焦距例如：用物距象距法测凸透镜的焦距 测量次数 物的位置 （mm） 透镜的位置 （mm） 象的位置 （mm） 物距u （mm） 象距v （mm） 焦距f （mm） 1 704 2 699 3 706 平均值 202 348 703 146 355 103 凸透镜编号：凸透镜编号：6#可以直观地表示出物理量之间的关系可以直观地表示出物理量之间的关系可以列入

24、运算的中间项，提高处理数据的效率，减少和避免错误，可以列入运算的中间项，提高处理数据的效率，减少和避免错误，便于检查和发现问题。便于检查和发现问题。42作图法处理数据作图法处理数据 U(V) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 I(mA) 0.00 2.00 4.01 6.05 7.85 9.70 11.83 13.75 16.02 17.86 19.94 可以直观地表示出物理量之间的函数可以直观地表示出物理量之间的函数关系，或求出经验公式。关系，或求出经验公式。可用内插法或外推法直接得到图线范可用内插法或外推法直接得

25、到图线范围内或延伸部分的数据。围内或延伸部分的数据。利于作图可把复杂的函数关系变换成利于作图可把复杂的函数关系变换成线性关系（曲线改直）。线性关系（曲线改直）。例如：用伏安法测电阻例如：用伏安法测电阻I-U图051015200123456789 10U(V)I(mA)P1(1.50，3.00)P2(9.50，18.90)直线斜率直线斜率)/(1099. 150. 150. 910)00. 390.18(331212VAxxyyk电阻电阻)(503/1kR43逐差法处理数据逐差法处理数据一元线性函数一元线性函数自变量等间隔变化，自变量等间隔变化，为为可将实验数据组分为两组：可将实验数据组分为两组

26、：则有：则有：优点：可以充分利用实验数据，体现出多次测量的优点，减小优点：可以充分利用实验数据，体现出多次测量的优点，减小了测量误差。了测量误差。bxayxnnnnnnnnyyyyyyxxxxxx2212122121,;,;,niiinyyxnnb1)(1144逐差法处理数据逐差法处理数据测量次数 i 砝码质量 mi(kg） 望远镜读数 ni(cm) 测量次数 i 砝码质量 mi(kg) 望远镜读数 ni+5(cm) 逐差值 ni=ni+5-ni(cm) 1 0.000 * 6 5.000 * * 2 1.000 * 7 6.000 * * 3 2.000 * 8 7.000 * * 4 3.

27、000 * 9 8.000 * * 5 4.000 * 10 9.000 * * 平均值 n 例如：测量钢丝的弹性模量例如：测量钢丝的弹性模量nbdmgLRE2445最小二乘法处理数据最小二乘法处理数据测量次数 i xi yi xi yi xi2 1 2 3 4 n * * * * . * * * * * . * * * * * . * * * * * . * 平均值 x y xy 2x 一元线性函数一元线性函数实验测得数据为：实验测得数据为：则有：则有：利用最小二乘法可以得到最佳拟合直线。利用最小二乘法可以得到最佳拟合直线。bxaynnyyyxxx2121,22)(xxxyyxbxbya46

28、测量次数 i I(mA) xi U(V) yi IU(mA*V) xi yi I2(mA 2) xi2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0. 00 2.00 4.01 6.05 7.85 9.70 11.83 13.75 16.02 17.86 19.94 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 0. 00 2.00 8.02 18.2 31.4 48.5 71.0 96.2 128 161 199 0. 00 4.00 16.1 36.6 61.6 94.1 140 189 257 319 397.6 平

29、均值 x=9.91 y=5.00 xy=69.39 2x=137.7 U(V) 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 I(mA) 0.00 2.00 4.01 6.05 7.85 9.70 11.83 13.75 16.02 17.86 19.94 )(5025 .3984.197 .13791. 939.6900. 591. 9)()(02. 091. 950200. 5222xxxyyxbVmAVxbya例如：用伏安法测电阻例如：用伏安法测电阻 已知已知URIC，UI为线性关系为线性关系)(02. 0502实验误差V

30、CR47第四部分第四部分作业与实验课须知作业与实验课须知n作业作业n分班；下次上课预习内容、时间、地分班；下次上课预习内容、时间、地点）点）n实验课须知（实验操作程序、实验报实验课须知（实验操作程序、实验报告书写格式、本学期的成绩构成）告书写格式、本学期的成绩构成）48作业作业P2223：1、3（1）、）、3（2）、）、7、8。每题每题3分，总计分，总计15分。分。 写在数学作业纸上。写在数学作业纸上。绪论作业在下一次上课时交给第一次上实验绪论作业在下一次上课时交给第一次上实验课的老师。课的老师。 预习实验预习实验长度测量长度测量，要求写预习报告。，要求写预习报告。n1 简单介绍游标卡尺和千分

31、尺的使用和读数n2 由同学测量小钢球和紫铜环的体积49实验分班情况以及第一次实验分班情况以及第一次实验的内容、时间、地点实验的内容、时间、地点上课内容：实验上课内容：实验4.1 长度的测量（长度的测量（P51）1 简单介绍游标卡尺和千分尺的使用和读数2 由同学测量小钢球和紫铜环的体积3 作为例题，如何求紫铜环的体积，使同学学会直接量和间接量平均值的计算、不确定度的计算，如何表达测量结果4 例题：p22-23：2、3（3）、3（4）、4、5、6（1）、6（2） 5、要求学生课前预习，上课前写好预习报告。、要求学生课前预习，上课前写好预习报告。50实验分班情况以及第一次实验分班情况以及第一次实验的

32、内容、时间、地点实验的内容、时间、地点上课内容：实验上课内容：实验4.1 长度的测量（长度的测量（P51）1 简单介绍游标卡尺和千分尺的使用和读数2 由同学测量小钢球和紫铜环的体积3 作为例题，如何求紫铜环的体积，使同学学会直接量和间接量平均值的计算、不确定度的计算，如何表达测量结果4 例题：p22-23：2、3（3）、3（4）、4、5、6（1）、6（2） 5、要求学生课前预习，上课前写好预习报告。、要求学生课前预习，上课前写好预习报告。51物理实验课须知物理实验课须知1上实验课之前要预习实验，写预习报告，并交老师检查。上实验课之前要预习实验，写预习报告，并交老师检查。2书写实验报告要用北京工

33、业大学实验报告纸。记录原始数据书写实验报告要用北京工业大学实验报告纸。记录原始数据要用实验原始数据记录纸。要用实验原始数据记录纸。在第在第23周买报告纸。地点：周买报告纸。地点：317房间找万老师房间找万老师,每人每人10份（份（3.5元），全班统一购买。元），全班统一购买。 3预习报告包括：预习报告包括：（1 1）实验名称）实验名称（2）实验目的（）实验目的（3）实验仪器用具（）实验仪器用具（4）实验原理（实验原理（5）实验内容、步骤（）实验内容、步骤（6）实验原始数据表格。）实验原始数据表格。4实验报告包括：实验报告包括：（1）实验名称（）实验名称（2）实验目的（）实验目的（3）实验仪器用具（）实验仪器用具（4）实）实验原理（验原理（5）实验内容、步骤）实验内容、步骤