第3章 地基中应力计算

1、第第3 3章章 地基中的应力计算地基中的应力计算 3.4 基底压力计算3.1 概述3.2 地基中的自重应力3.3 有效应力原理3.5 地基中的附加应力 3.7 刚性基础的倾斜 3.8 几个问题的讨论3.6 平面问题条件下的附加应力 3.1 概述概述3.1.1 3.1.1 研究土中应力的目的研究土中应力的目的 建筑物地基的土体在上部荷载的作用下会发生变形，建筑物地基的土体在上部荷载的作用下会发生变形，使建筑物发生使建筑物发生沉降、倾斜沉降、倾斜和和水平位移水平位移等破坏，过大的变形等破坏，过大的变形会影响建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌握会影响建筑物的安全和正常使用，因此有必要了解和掌

2、握土体中应力土体中应力的分布规律和计算方法。的分布规律和计算方法。 自重应力：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力，通常认由土体本身有效重量产生的应力，通常认为变形已经稳定；为变形已经稳定； 附加应力：附加应力：由于外荷在地基内部引起的应力，是使地由于外荷在地基内部引起的应力，是使地基失稳和产生变形的主要原因。基失稳和产生变形的主要原因。3.1.2 3.1.2 土中的应力状态土中的应力状态 一、应力一、应力应变关系的假设应变关系的假设 在计算地基中的附加应力时，把土当成线弹在计算地基中的附加应力时，把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈性体，即假定其应力与应变呈线性关系线性关系。 1.1.连

3、续介质假设连续介质假设 2.2.线弹性体假设线弹性体假设 3.3.均质和各向同性假设均质和各向同性假设 3.1 概述概述 二、地基中的几种应力状态二、地基中的几种应力状态 计算地基应力时，将地基看作具有水平界面、深度和计算地基应力时，将地基看作具有水平界面、深度和广度都无限大的广度都无限大的半空间无限体半空间无限体。1.1.三维应力状态三维应力状态 3.1 概述概述yyzz=xzxyyxyzzyzxxxijyzxo二维问题0000 2.2.二维应变状态二维应变状态（平面应变状态）（平面应变状态） 3.1 概述概述yyzz=xzzxxxijAByzxo 3.1 概述概述 3.3.侧限应力状态侧限

4、应力状态 它是指它是指侧向应变为零侧向应变为零的一种应力状态，土体只记的一种应力状态，土体只记竖向竖向变形变形。000000=xxijyyzz由由x=y=0可得到可得到x=y，且与，且与z成正比。成正比。 三、土力学中应力符号的规定三、土力学中应力符号的规定 （1 1）应力符号的规定法与弹性力学相同，但）应力符号的规定法与弹性力学相同，但方向相反方向相反，即，即正应力：正应力：拉为正，压为负，拉为正，压为负，剪应力：剪应力：顺时针为正，逆时针为顺时针为正，逆时针为负负。 （2 2）用）用摩尔圆摩尔圆进行应力分析时，进行应力分析时，正正应力应力以压应力为正，以压应力为正，剪剪应力应力以逆时针为正

5、，顺时针为负。以逆时针为正，顺时针为负。 3.1 概述概述 ( () ) 材料力学材料力学 ( () ) 土力学土力学 3.2.1 3.2.1 竖向自重应力竖向自重应力均质土层：均质土层：设地基中某单元设地基中某单元体离地面的距离体离地面的距离h h，则，则单元体单元体上竖向自重应力为：上竖向自重应力为：式中式中 土的天然重度，土的天然重度，kN/mkN/m3 3 h h计算应力点以上土层厚度，计算应力点以上土层厚度，m m3.2 地基中的自重应力地基中的自重应力天然地面hh11hcz成层土层：成层土层：自重应力是由多层土自重应力是由多层土组成，设各层土的厚度为组成，设各层土的厚度为h h1

6、1，h h2 2.h.hn n，相应重度为，相应重度为1 1，2 2.n n，则地基中第，则地基中第n n层土底面层土底面处的竖向自重应力为：处的竖向自重应力为： 式中式中 h hi ii i 层土的厚度，层土的厚度，m m n n计算深度范围内土层数计算深度范围内土层数i i第第i i层土的的天然重度，层土的的天然重度，kN/mkN/m3 3 ，地，地下水位以下应取浮重度下水位以下应取浮重度i iisatisat-w w 3.2 地基中的自重应力地基中的自重应力niiiczh1123sat天然地面11h11h22h+11h22h+33h+1h2h3h计算时应注意：计算时应注意： 地下水位以上

7、用地下水位以上用天然容重；天然容重；当地下水位以下为当地下水位以下为砂土砂土时，土中水为自由水，计算时用时，土中水为自由水，计算时用浮重度浮重度，对粘性土：，对粘性土：当水下为当水下为坚硬粘土时（不透水层，即液性指数坚硬粘土时（不透水层，即液性指数IL00，即即w 1时，为流动状时，为流动状态，考虑水浮力作用，用态，考虑水浮力作用，用。3.2 地基中的自重应力地基中的自重应力地下水位升降时的土中自重应力地下水位升降时的土中自重应力3.2 地基中的自重应力地基中的自重应力说明：说明：自重应力在均质地基中自重应力在均质地基中随深度呈直线分布随深度呈直线分布；自重应力在成层地基中呈自重应力在成层地基

8、中呈折线分布折线分布；在土层在土层分界面处和地下水位处发生转折分界面处和地下水位处发生转折；3.2 地基中的自重应力地基中的自重应力均质地基均质地基( (同一土层同一土层) ) 成层地基成层地基212)(21 3.2.2 3.2.2 水平自重应力水平自重应力 根据胡克定律根据胡克定律 土的泊松比，0.20-0.450土的侧压力(静止土压力)系数zzyxK01xzxzyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxEEEEEE)1 (2)1 (2)1 (2)(1)(1)(1yxyx0侧限条件侧限条件3.2 地基中的自重应力地基中的自重应力例题例题1 1：按例图所给的资料，计算并绘制地基中的自重应：按例图

9、所给的资料，计算并绘制地基中的自重应力沿深度的分布曲线。力沿深度的分布曲线。例题4-1：按例图所给的资料，计算并绘制地基中的自重应力沿深度的分布曲线。土中两种应力试验土中两种应力试验 3.3 有效应力原理有效应力原理甲乙钢球砂砂水h 3. 3.3 3.1 .1 土中两种应力试验土中两种应力试验 （1 1）有效应力）有效应力 由钢球施加的应力，通过土由钢球施加的应力，通过土体骨架传递的应力为体骨架传递的应力为有效应力有效应力，只有这种应力才使得土体变形，只有这种应力才使得土体变形，强度改变。强度改变。 （2 2）孔隙水压力）孔隙水压力 由水施加的应力通过孔隙水由水施加的应力通过孔隙水来传递，即来

10、传递，即孔隙水压力孔隙水压力，这种应这种应力不会使土体发生压缩变形。力不会使土体发生压缩变形。3.3.2 3.3.2 有效应力原理有效应力原理 截面总应力的一部分由土颗粒截面总应力的一部分由土颗粒间的接触面承担和传递，即间的接触面承担和传递，即有效应有效应力力；另一部分由；另一部分由孔隙压力孔隙压力承担承担。 土体在外力作用下处于平衡，土体在外力作用下处于平衡，沿沿a-aa-a截面取脱离体，土颗粒接触截面取脱离体，土颗粒接触面的法向应力面的法向应力s s。s s土颗粒接触面积之和，土颗粒接触面积之和，u u孔隙水压孔隙水压力，力，A Aw w孔隙水横截面积，孔隙水横截面积，u a a孔隙气压孔

11、隙气压力，力，A Aa a空气截面积空气截面积有效应力原理示意图有效应力原理示意图 3.3 有效应力原理有效应力原理 根据平衡条件根据平衡条件： A= A=s ss s+ u+ uw wA Aw w+ u+ ua aA Aa a对于对于饱和土体饱和土体：A Aa a则则A=A=s ss s+ u+ uw wA Aw w式中，式中，作用于截面上的总作用于截面上的总应力。应力。变换得：变换得：=s ss sA A + + u uw w(A(A A As s) )A A 或或 =s ss sA A + + u uw w( (A As s) )又已知又已知s ss sA A为为，A As s很小，可忽

12、略。很小，可忽略。= + u有效应力原理有效应力原理 3.3 有效应力原理有效应力原理有效应力原理示意图有效应力原理示意图3.3.3 3.3.3 有效应力原理应用举例有效应力原理应用举例1.1.静水条件下静水条件下C C点水平面上：竖向点水平面上：竖向总应力总应力：=h=h1 1+sat sat h h2 2 孔隙水压力孔隙水压力： u =u =w w h h2 2 有效应力有效应力：u uhh1 1+h+h2 2sath1h2h1h1h2+sath2wh1h1h2+ uABC静水条件下各应力的分布静水条件下各应力的分布 3.3 有效应力原理有效应力原理2.2.毛细水上升时土中有效自重应力的变

13、化毛细水上升时土中有效自重应力的变化 毛细水上升区由于毛细水上升区由于表面张力表面张力的作用使的作用使孔隙水压力为孔隙水压力为负值负值，u=u=w wh hc c，使，使有效应力增加有效应力增加。 在在地下水位以下地下水位以下，由于水对土粒的浮力作用，使，由于水对土粒的浮力作用，使有有效应力减小效应力减小。毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力计算毛细水上升时土中总应力、孔隙水压力及有效应力计算 3.3 有效应力原理有效应力原理 3.3.稳定性渗流条件下稳定性渗流条件下 土中水渗流时土中水渗流时总应力总应力、孔隙水压力孔隙水压力及及有效应力计算有效应力计算： ( (a) a) 静水时静水

14、时 ( (b) b) 水自上向下渗流水自上向下渗流 ( (c) c) 水自下向上渗流水自下向上渗流 ( (a) a) 静水时静水时( (b) b) 水自上向下渗流水自上向下渗流( (c) c) 水自下向上渗流水自下向上渗流21hhubbbhhhwb21hhhwb21 3.3 有效应力原理有效应力原理 3.4 基底压力计算基底压力计算3.4.1 3.4.1 基底接触应力的实际分布基底接触应力的实际分布 基底接触应力的实际分布取决于基底接触应力的实际分布取决于地基土的性质地基土的性质，地地基与基础的相对刚度，荷载大小、性质及其分布基与基础的相对刚度，荷载大小、性质及其分布情况，情况，基础埋深、面积

15、、形状基础埋深、面积、形状等。等。 （1 1）刚性很小的基础和）刚性很小的基础和柔性基础柔性基础 刚度很小，基础刚度很小，基础与地基共同变形，接触应力同上部荷载分布。与地基共同变形，接触应力同上部荷载分布。 中心荷载作用下柔性基础中心荷载作用下柔性基础底面处接触应力分布图底面处接触应力分布图 3.4 基底压力计算基底压力计算 （2 2）刚性基础）刚性基础 刚度大，基础与地基变形必须相互刚度大，基础与地基变形必须相互协调，出现应力重分布现象。协调，出现应力重分布现象。中心荷载作用下刚性基础中心荷载作用下刚性基础底面处接触应力分布图底面处接触应力分布图(a) (a) 马鞍形马鞍形 (b) (b)

16、抛物线形抛物线形 (b) (b) 钟形钟形3.4.2 3.4.2 基底接触应力简化计算基底接触应力简化计算1.1.竖向中心荷载竖向中心荷载作用下的基底压力作用下的基底压力基底压力基底压力均匀分布均匀分布，按下式计算：，按下式计算： p p = (F+G) / A= (F+G) / (l= (F+G) / A= (F+G) / (lb) b) 中心荷载矩形、条形基底压力计算中心荷载矩形、条形基底压力计算 3.4 基底压力计算基底压力计算 2.2.单向偏心荷载单向偏心荷载作用下的基底压力作用下的基底压力 此时基底压力按此时基底压力按材料力学材料力学偏心受压偏心受压简化公式计算：简化公式计算： e

17、e l/6l/6时时大偏心大偏心受压，基底压力进受压，基底压力进行行重分布，此时可得到：重分布，此时可得到：偏心荷载下接触压力的计算)6(1 maxminleAGFWMAGFpelabaGFp2 ,3)( 2max 3.4 基底压力计算基底压力计算3.3.双向偏心荷载双向偏心荷载作用下的基底压力作用下的基底压力 同样按同样按材料力学材料力学偏心受压公式计偏心受压公式计算基底压力：算基底压力： M Mx x=(F+G)e=(F+G)ey y ，M My y=(F+G)e=(F+G)ex x I Ix x， I Iy y 为对为对x x轴轴的惯性矩，轴轴的惯性矩，m m4 4 。双向偏心荷载作用下

18、的基底压力yyxxIxMIyMAGFpmaxmin 3.4 基底压力计算基底压力计算4.4.水平荷载水平荷载作用下的基底压力作用下的基底压力 承受水压力和土压力的建筑承受水压力和土压力的建筑物，基础常会受到物，基础常会受到倾斜荷载倾斜荷载作用。作用。此时计算基底受力将斜向荷载分此时计算基底受力将斜向荷载分解为解为水平荷载水平荷载F Fh h和和竖向荷载竖向荷载F Fv v，并假定由并假定由F Fh h引起的基底水平应力引起的基底水平应力p ph h均匀分布于整个基底，则：均匀分布于整个基底，则： 矩形基础矩形基础 p ph h F Fh hA A F Fh hlblb 条形基础条形基础，取，取

19、l=1.0ml=1.0m，则，则 p ph h F Fh hA A F Fh hb b 倾斜荷载作用下的基底压力 3.4 基底压力计算基底压力计算(a) 基础无埋深 (b)基础有埋深基底附加应力分布图 3.4.3 3.4.3 基础底面附加压力基础底面附加压力基础在地面上，基础在地面上，无埋深无埋深 基底平均附加压力：基底平均附加压力： p p0 0=p=p基础在地面下基础在地面下埋深埋深d d处处 基底平均附加压力：基底平均附加压力： 为基础底面以上土的为基础底面以上土的加权加权平均重度平均重度。 从上式可知，增大埋深可减从上式可知，增大埋深可减少附加应力。少附加应力。dpppc000 3.4

20、 基底压力计算基底压力计算解：基础底面作用的弯矩解：基础底面作用的弯矩 传到基底的力为传到基底的力为F F，偏心距为，偏心距为e e。13600 20 12 3.5 4440(kN)GFFAd22000.495(m)44406MleF判断为大偏心判断为大偏心 设设a为偏心荷载作用点至最大为偏心荷载作用点至最大压应力压应力pmax 作用边缘的距离：作用边缘的距离：1.167(m)2lae max22 4440845.5(kPa)33 3 1.167Fpba 基底基底附加压力附加压力0maxmax0845.5 16 3.5789.5(kPa)ppd基底水平方向附加压力基底水平方向附加压力26005

21、0(kPa)12HFpA3a=3.5m0.5m基底接触应力基底接触应力845.5kPa3.27m0.73m789.5kPa基底附加压力基底附加压力50kPa50kPa3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力1 1、基本概念、基本概念 建筑物荷载在地基中产生的应力称为土中的建筑物荷载在地基中产生的应力称为土中的附加应力附加应力。2 2、基本假定基本假定： 地基是半无限弹性体；地基是半无限弹性体； 地基土是均匀、连续、各向同性的。地基土是均匀、连续、各向同性的。3 3、地基中、地基中附加应力扩散作用附加应力扩散作用 在地面下某一深度的在地面下某一深度的水平面水平面上各点的附加应力在基上各点的附加应

22、力在基础底面础底面中心线上中心线上应力应力最大最大，向两侧逐渐减小；，向两侧逐渐减小； 距地面越深，附加应力分布越广，但在同一距地面越深，附加应力分布越广，但在同一垂直线垂直线上的应力随深度上的应力随深度越深越深，附加应力，附加应力越小越小。集中荷载作用下地基中的应力 3.5.1 3.5.1 布西内斯克解答布西内斯克解答 基于弹性理论，在半空基于弹性理论，在半空间弹性无限体表面作用有间弹性无限体表面作用有集集中力中力时，在弹性体内任意点时，在弹性体内任意点M M所引起的所引起的竖向应力竖向应力： 该应力是使地基土压缩该应力是使地基土压缩变形产生沉降。变形产生沉降。 3253cos2323RFR

23、zFz3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力 利用利用 R R2 2=r=r2 2+z+z2 2 关系，改写上式为：关系，改写上式为： 为应力系数，是为应力系数，是r/zr/z的函数可查表获得。的函数可查表获得。22/5221123zFzrzFz2/521123zr3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力地基中竖向应力地基中竖向应力z z分布规律：分布规律： 在集中力作用线上，在集中力作用线上，z z值随深度增加而递减。值随深度增加而递减。 在离集中力作用线某一距离时，在地表处在离集中力作用线某一距离时，在地表处z z从零从零开始随深度增加而增大，但到一定深度后又减少。开始随深度增加而增大，

24、但到一定深度后又减少。 当当z z一定时，即一定时，即在同一水平面上，随着与集中力在同一水平面上，随着与集中力作用线距离的增大作用线距离的增大z z值减小。值减小。3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力 3.5.2 3.5.2 矩形基底受竖向均布荷载作用时的竖向附加应力矩形基底受竖向均布荷载作用时的竖向附加应力 1. 1.矩形基底受竖向均布荷载时矩形基底受竖向均布荷载时角点角点下的竖向附加应力下的竖向附加应力 取荷载微单元取荷载微单元 dp=pdp=p0 0dxdydxdy 运用集中力公式运用集中力公式 在基础面积范围内在基础面积范围内积分积分： c c(l/b, z/b)(l/b, z/b

25、)矩形竖直向均布荷载矩形竖直向均布荷载角点下角点下的的附加应力附加应力系数系数, ,可可查表查表获得。获得。dp0002/52223023pzyxdxdyzpclbz 222530532323yxrRzdxdypRzdpdz3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力2.2.矩形基底均布荷载下矩形基底均布荷载下任意点任意点的竖向附加应力的竖向附加应力角点法角点法：把非角点化为：把非角点化为几个矩形的角点下再叠加几个矩形的角点下再叠加 (a) (a) 边点边点MM z z= (= (cc+ + cc) p) p0 0 (b) (b) 内点内点MM z z= (= (cc+c c +c c +cc)

26、p) p0 0 (c) (c) 外点外点MM z z= (= (cc+c c - - c c - - cc) p) p0 0 (d) (d) 斜向外点斜向外点MMz z= (= (cc - - c c - - c c + + cc) p) p0 0角点法计算角点法计算M点的竖向附加应力点的竖向附加应力bechMfbecagdMbecadhMfgbecagdhMfhf(a)(b)(c)(d)3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力角点法的运用：角点法的运用：计算地基中任意计算地基中任意M M点的附加应力时：点的附加应力时：划分的每个矩形都要有一个划分的每个矩形都要有一个角点是角点是M M点点；所

27、有划分的矩形面积总和应等于所有划分的矩形面积总和应等于原受荷面积原受荷面积；划分后的每个矩形面积，划分后的每个矩形面积，短边短边都用都用b b表示，表示，长边长边用用l l表示。表示。3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力例例题题4 图示有三个不同的基础底面形式，均布荷载均为图示有三个不同的基础底面形式，均布荷载均为p p0 0=40k=40kP Pa a，试求各种情况下，试求各种情况下，A A点处地下点处地下6m6m的竖向附加应的竖向附加应力值。力值。A6m6m4m10m2m4m 解：解： 运用运用角点法角点法，划分四部分，分别计算，划分四部分，分别计算I I、IIII、IIIIII、IV

28、IV四四个矩形的个矩形的l l/b/b、z z/b/b，通过查表得附加应力系数，通过查表得附加应力系数c c： l l/b/b=6/2=3=6/2=3， z z/b/b =6/2=3 =6/2=3，cIcI=0.0870=0.0870 l l/b/b=4/2=2=4/2=2， z z/b/b =6/2=3 =6/2=3，cIIcII=0.0732=0.0732 l l/b/b=6/4=1.5=6/4=1.5，z z/b/b =6/4=1.5 =6/4=1.5，cIIIcIII=0.1451=0.1451 l l/b/b= =4 4/4=1./4=1.0 0，z z/b/b =6/4=1.5 =

29、6/4=1.5，cIVcIV=0.1216 =0.1216 注意注意：这里：这里l l是矩形的是矩形的长边长边；b b是是短边短边。 于是：于是：z z= p= p0 0 ( (cIcI+cIIcII+cIIIcIII+cIVcIV) = 17.076 kPa) = 17.076 kPa 令令ACIGACIG 、ACFDACFD、ABHGABHG、ABEDABED四个矩形分别为四个矩形分别为矩形矩形I I、IIII、IIIIII、IVIV。 计算各矩形计算各矩形l l/b/b、z z/b/b，通过查表得：，通过查表得： cIcI=0.1999 =0.1999 cIIcII=0.0870=0.0

30、870 cIIIcIII=0.0973 =0.0973 cIVcIV=0.0447=0.0447z z = p= p0 0(cIcI-cIIcII-cIIIcIII+cIVcIV)= 2.412 kPa)= 2.412 kPa 令令ABCDABCD、ADHGADHG、AFIHAFIH、AFKEAFKE四个矩形分四个矩形分 别为矩形别为矩形I I、IIII、IIIIII、IVIV。 计算各矩形计算各矩形l l/b/b、z z/b/b，通过查表得：，通过查表得： cIcI=0.0840 =0.0840 cIIcII=0.1202=0.1202 cIIIcIII=0.1752 =0.1752 cIV

31、cIV=0.0870=0.0870 z z= p= p0 0 (cIcI+cIIcII+cIIIcIII-cIVcIV) =11.696 kPa) =11.696 kPaADGBEHIFC2m4m2m10mCDGBAHIF3m6m3m4m2mKEADGBEHIFC2m4m2m10mCDGBAHIF3m6m3m4m2mKE3.3.矩形基底受矩形基底受竖向三角形荷载竖向三角形荷载时时角点角点下的竖向附加应力下的竖向附加应力对于对于梯形荷载梯形荷载也可以化为也可以化为三角形荷载与矩形均布荷载的叠加三角形荷载与矩形均布荷载的叠加取取微单元荷载微单元荷载 dp=p(x)dxdy=(x/b)pdp=p(x

32、)dxdy=(x/b)p0 0dxdydxdy 运用运用集中力集中力的公式的公式 在矩形基础面积范围内积分在矩形基础面积范围内积分tctc(l/b, z/b) (l/b, z/b) 附加应力系数。附加应力系数。注：注：以上计算是三角形荷载为以上计算是三角形荷载为0 0的角点下的角点下M M点，对于其它点可通过应力叠加原理计算。点，对于其它点可通过应力叠加原理计算。p(x)0002/522232)(3pzyxzdxdyxptclbz 2/52223053)(2)/(323zyxzdxdypbxRzdpdz3.5 地基中的附加应力地基中的附加应力【例【例5 5】 如图所示，有一矩形面积基础长如图所

33、示，有一矩形面积基础长l=5ml=5m，宽，宽b=3mb=3m，三角形，三角形分布荷载作用在地基表面，荷载最大值分布荷载作用在地基表面，荷载最大值为为150kPa150kPa。试计算矩形截。试计算矩形截面内面内O O点下深度点下深度z=3mz=3m处的竖向附加应力。处的竖向附加应力。【解】【解】 求解时需要通过两次叠加来计算。第一次是荷载作用求解时需要通过两次叠加来计算。第一次是荷载作用面积的叠加，可利用前面的角点法进行计算；第二次是荷载分面积的叠加，可利用前面的角点法进行计算；第二次是荷载分布图形的叠加。布图形的叠加。 （1 1）荷载作用面积的叠加。）荷载作用面积的叠加。 如图（如图（a a

34、）、（）、（b b）所示，由于）所示，由于O O点位于矩形面积点位于矩形面积abcdabcd内。通内。通过过O O点将矩形面积划分为点将矩形面积划分为4 4块，假定其上作用块，假定其上作用均布荷载均布荷载P1P1，即图，即图（c c）中的荷载）中的荷载DABEDABE。而。而P1=50kPaP1=50kPa。作用下点处产生的竖向应。作用下点处产生的竖向应力可用前面介绍的角点法进行计算，即力可用前面介绍的角点法进行计算，即11,1,1,1,11234()zz aeOhz ebfOz Ofcgz hOgdccccp11i500.0450.0930.1560.073zcp50 0.36718.35k

35、PakPa（2 2）荷载分布图形的叠加。）荷载分布图形的叠加。 由角点法求得的应力是由均布荷载由角点法求得的应力是由均布荷载p1p1引起的，但实际作用的荷载是三角引起的，但实际作用的荷载是三角形分布。为此，可以将图（形分布。为此，可以将图（c c）所示的三角形分布荷载）所示的三角形分布荷载ABCABC分割成分割成3 3块，即均布块，即均布荷载荷载DABEDABE、三角形荷载、三角形荷载AFDAFD和和CFECFE。三角形荷载。三角形荷载ABCABC等于均布荷载等于均布荷载DABEDABE减去三角减去三角形荷载形荷载AFDAFD，再加上三角形荷载，再加上三角形荷载CFECFE。这样，将此。这样，

36、将此3 3块分布荷载产生的附加应力块分布荷载产生的附加应力进行叠加即可。进行叠加即可。 三角形分布荷载三角形分布荷载AFDAFD，其最大值为，其最大值为p1p1，作用在矩形面积，作用在矩形面积aeOhaeOh及及ebfOebfO上，并上，并且且O O点在荷载为点在荷载为0 0处。因此，它在处。因此，它在M M点引起的竖向应力是点引起的竖向应力是2 2块矩形面积上三角形块矩形面积上三角形分布荷载引起的附加应力之和，即：分布荷载引起的附加应力之和，即：1122,2,112()ttzzaeOhzebfOccp2500.0210.0453.3zkPakPa（） 三角形分布荷载三角形分布荷载CEFCEF

37、的最大值为的最大值为p-p1p-p1，作用在矩形面积，作用在矩形面积OfcgOfcg及及hOgdhOgd上，同上，同样样O O点也在荷载为点也在荷载为0 0处。因此，它在处。因此，它在M M点处产生的竖向应力是这两块矩形面积上点处产生的竖向应力是这两块矩形面积上三角形分布荷载引起的附加应力之和，即：三角形分布荷载引起的附加应力之和，即：1133,3,134()()ttzzOfcgzhOgdccpp 将上述计算结果进行叠加，即可求得三角形分布荷载将上述计算结果进行叠加，即可求得三角形分布荷载ABCABC在在M M点产生的竖向点产生的竖向应力应力 ，即：，即：kpa10)032. 0069. 0()50150(kpazz