高等流体力学第六章

1、第六章第六章 导热问题的数值解导热问题的数值解6.1 一维稳态导热一维稳态导热X(x)e(x)wWwxeEP0SdxdTkdxd6.2 边界条件与源项的处理边界条件与源项的处理n一维稳态导热一维稳态导热ddTk+S=0dxdxPPCTSSS()0wPWeEPcPPewkTTkTTSS TxxxewweSdxdxdTkdxdTk06.2 边界条件与源项的处理边界条件与源项的处理n一维稳态导热一维稳态导热0SdxdTkdxdbTaTaTaWWEEPP eeExka wwWxka其中xSaaapWEPxSbc6.2 边界条件与源项的处理边界条件与源项的处理n一维稳态导热一维稳态导热bTaTaTaWW

2、EEPPPnbnbTa Tb式中下标nb表示一个相邻结点，表示对所有的相邻结点求和 6.3 边界条件边界条件在热传导问题中有三类典型的边在热传导问题中有三类典型的边界条化：界条化： 1已知边界温度已知边界温度 2已知边界热流密度已知边界热流密度 3通过放热系数和周围流体的通过放热系数和周围流体的 温度来规定边界的热流密度温度来规定边界的热流密度6.3 边界条件边界条件“半”控制容积WIBXEP典型控制容积M6.3 边界条件对控制容积积分，考虑热流与温度关系对控制容积积分，考虑热流与温度关系0iBIBCPBik TTqSS Txx 0ddTkSdxdx0BiCPBqqSS Tx dTqkdx B

3、Ii边界附近的半控制容积x( x)i6.3 边界条件 BBIIa Ta TbiIikaxCBbSxq BIPaaSxBIi边 界 附 近 的 半 控 制 容 积 x( x )i6.3 边界条件（第三类） BqBIBqh TTBTBBIIa Ta TbilikaxCIbSxhT BIPaaSxh 如果热流密度系由放热系数h以及环境流体温度T 那么于是对于的方程变为：式中6.4 四项基本法则n法则法则1：在控制容积面上的连续性：在控制容积面上的连续性 当一个面作为两个相邻控制容积所共有，离当一个面作为两个相邻控制容积所共有，离散化方程内必须用相同的表达式来表示通过散化方程内必须用相同的表达式来表示

4、通过该面的热流密度、质量流量以及动量通量。该面的热流密度、质量流量以及动量通量。一维问题的典型网格点群控制容积(x)e(x)wWwPEe6.4 四项基本法则 图图3.5 由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性由二次曲线分布所得到的热流密度的不连续性WP左边的斜率右边的斜率TExEE 6.4 四项基本法则n法则法则2：正系数：正系数 所有的系数（所有的系数（ 以及各相邻结点系数以及各相邻结点系数 ）必）必须总是正的。须总是正的。panbappEEWWa Ta Ta TbPPnbnba Ta Tb （3.13） （3.15）6.4 四项基本法则n法则法则3：源项的负斜率线性化：源项的负斜率线性化

5、 当源项线性化为当源项线性化为 时，系数时，系数 必必须总是小于或是等于须总是小于或是等于0。CPPSSS TPSppEEWWa Ta Ta TbeEekaxwWwkax其中其中6.4 四项基本法则n aP= aE + aW - SP xn法则法则4：相邻结点系数之和：相邻结点系数之和 为了使微分方程在因变量增加一个常数之后也为了使微分方程在因变量增加一个常数之后也仍然能得到满足，我们要求：仍然能得到满足，我们要求： pnbaza方程（方程（3.18）当）当 时，遵守此法则。时，遵守此法则。（3.18）0pS 6.5 界面导热系数离散化方程：离散化方程：ppEEWWa Ta Ta Tb一维问题

6、的典型网格点群控制容积(x)e(x)wWwPEe6.5 界面导热系数其中：其中：eEekaxwWwkax如何求取导热系数如何求取导热系数ki？6.5 界面导热系数n假设假设k在在P点和点和E点之间呈线性变化，则：点之间呈线性变化，则：其中：其中：（4.5）()()eeexfx（4.6）eEP()ex()ex()exke = fe kP+ (1-fe)kE6.5 界面导热系数n如果界面如果界面e位于两个网格点之间的中点，那么位于两个网格点之间的中点，那么fe将是将是0.5，ke就是就是kp与与ke的算术平均值。的算术平均值。界面热流密度：界面热流密度：()()ePEeek TTqx（4.8）对于

7、在对于在P点与点与E点之间的组合板，根据稳态无内热点之间的组合板，根据稳态无内热源一维导热的分析，可得：源一维导热的分析，可得：()/()/PEeePeETTqxkxk（4.7）6.5 界面导热系数n将（将（4.6）-（4.8）合并在一起，就得到：）合并在一起，就得到：11eeePEffkkk（4.9）当界面位于当界面位于P和和E之间的中点时，则之间的中点时，则 ，0.5ef 有有1110.5()ePEkkk（4.10）6.5 界面导热系数n将式（将式（4.9）代入）代入 ，eEekax得得1()()eeEPExxakk（4.11）ae代表点代表点P和和E之间的材料的热导。之间的材料的热导。1

8、.令令 ，0Ek则由方程（则由方程（4.9）可得：）可得： 。0ek 2.令令 ，PEkk则：则： 。 Eeekkf6.6 源项的线性化n当源项当源项S与与T有关时，则：有关时，则：CP PSSS TS的线性化应当是的线性化应当是S-T关系的一个良好的表达式，关系的一个良好的表达式，还必须满足非正的还必须满足非正的SP的基本法则。的基本法则。6.6 源项的线性化例例1.已知：已知： 。54ST某些可能的线性化如下：某些可能的线性化如下：1.5,4.CPSS 2.*54,0.CPPSTS当当S的表达式很复杂时，采用此方式。的表达式很复杂时，采用此方式。3.*57,11.CPPSTS 曲线比实际的

9、曲线比实际的S-T关系更陡的曲线，这关系更陡的曲线，这将使迭代的收敛速度减慢。将使迭代的收敛速度减慢。6.6 源项的线性化例例2.已知：已知： 。37ST某些可能的线性化如下：某些可能的线性化如下：1.3,7.CPSS2.*37,0.CPPSTS3.*39,2.CPPSTS 导致收敛速度减慢。导致收敛速度减慢。不可接受，因为不可接受，因为SP为正。为正。6.6 源项的线性化例例3.已知：已知： 。345ST某些可能的线性化如下：某些可能的线性化如下：1.*24,.CPPSST 2.*345,0.CPPSTS3.*3*24 10,15.CPPPSTST 则：则：*3*2*4515PPPPPPdS

10、SSTTTTTTdT在在 点，所选择的直线与点，所选择的直线与S-T曲线相切。曲线相切。*PT6.6 源项的线性化4.*3*2420,25.CPPPSTST 收敛慢。收敛慢。图4.2 四种可能的线性化ST已知曲线4321345ST*PT6.7 线性代数方程的解 一维离散化方程的解可以用标准的高一维离散化方程的解可以用标准的高斯斯(Gauss )消去法得到，由于方程的形消去法得到，由于方程的形式特别简单，消去过程的算法就变得式特别简单，消去过程的算法就变得十分方便有时候，这种算法称之为十分方便有时候，这种算法称之为TDMA(三对角矩阵算法三对角矩阵算法)TDMA的名的名称基于：在写这些方程的系数

11、矩阵时，称基于：在写这些方程的系数矩阵时，所有的非零系数均排列在矩阵的三条所有的非零系数均排列在矩阵的三条对角线上对角线上(仅对角元素及其上下邻位上仅对角元素及其上下邻位上的元素不为零的元素不为零)6.7 线性代数方程的解式中下标式中下标il，2，3，N于是温于是温度度Ti与相邻的温度与相邻的温度Ti-1及及Ti+1有关有关iiiiiiidTcTbTa11 （1）将方程将方程ppEEWWa Ta Ta Tb改写成：改写成：6.7 线性代数方程的解n显然当显然当i1时，时，C=0，而，而i=N时，时，B=0，即首、，即首、尾两个节点的方程中仅有两个未知数。尾两个节点的方程中仅有两个未知数。nTD

12、MA的求解过程分为消元与回代两步。的求解过程分为消元与回代两步。n消元时，从系数矩阵的第二行起，逐一把每行消元时，从系数矩阵的第二行起，逐一把每行中的非零元素消去一个，使原来的三元方程化中的非零元素消去一个，使原来的三元方程化为二元方程。消元进行到最后一行时，该二元为二元方程。消元进行到最后一行时，该二元方程就化为一元。可立即得出该未知量的值。方程就化为一元。可立即得出该未知量的值。n逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。逐一往前回代，由各二元方程解出其它未知值。6.7 线性代数方程的解111iiiiTP TQ假设在前向代入过程中，得到假设在前向代入过程中，得到1iiiiTPTQ111ii

13、iiiiiiiaTbTc P TQd 把方程（把方程（2）代入方程（）代入方程（1）就得到：）就得到： （2） （3）6.7 线性代数方程的解改写成：改写成：1111iiiiiiii iii ibdc QTTac Pac P与式（与式（2）相比，有）相比，有1biPiac Pii i11dc Qii iQiac Pii i6.7 线性代数方程的解n 可以由左端点的离散方程来确定：可以由左端点的离散方程来确定：,iiP Q1 11 21 01aTbTcTd其中其中 ，1 00cT 所以，所以，112bPa111dQa6.7 线性代数方程的解n当消元到最后一行时，有：当消元到最后一行时，有：1NN

14、NNTP TQ而而 ，10NNP T所以，所以，NNTQ从上式出发，逐个回代，得出从上式出发，逐个回代，得出Ti（N-1，1）。）。例题k1；源项ST，SC0，Sp1，T10设有一导热型方程 ，边界条件为x0，T0；x1， 。将该区域三等分，求该问题的解。解：由导热方程知220d TTd x1dTdx， T1/301T2/3123TT46.7 线性代数方程的解6.7 线性代数方程的解bTaTaTaWWEEPP eeExka wwWxkaxSaaapWEPxSbc3 , 210T 1/3x1/3x 221 13 32a TaTa Tb3 322443a Ta Ta Tb443 34a Ta Tb

15、a1=a3=3,a2=19/3,b2=0 a2=a4=3,a3=19/3,b3=0 a3=3,a4=19/6,b4=-1 1)/(*0q44dxdTkxSbc， 6.7 线性代数方程的解即19/3T2=3T3+3T119/3T3=3T4+3T219/6T4=3T3-1T1=0T2=-243/1121T3=-27/59T4=-840/11216.7 线性代数方程的解高斯高斯塞始尔塞始尔(Gauss5eldel)逐点计算法逐点计算法PPnbnba Ta Tb*nbnbPPa TbTa其中其中Tnb*代表在计算机存贮器中所存在的相邻点的温度值对于那些在本次代表在计算机存贮器中所存在的相邻点的温度值对

16、于那些在本次迭代过程中已经被访问过的相邻点是迭代过程中已经被访问过的相邻点是新鲜的计值，而对于那些尚待访问的相邻点是由前一次达代所得到的值新鲜的计值，而对于那些尚待访问的相邻点是由前一次达代所得到的值6.7 线性代数方程的解高斯高斯塞始尔塞始尔(Gauss5eldel)逐点计算法逐点计算法121TT212.50.5TT 迭代序列号01234T10-1-4-11.5-30.25T20-3-10.5-29.5-76.136.7 线性代数方程的解高斯高斯塞始尔塞始尔(Gauss5eldel)逐点计算法逐点计算法120.40.2TT211TT 迭代的序号012345T10020680872094909

17、2010T2012168187219491980206.7 线性代数方程的解逐行计算法逐行计算法 所选定的行6.7 线性代数方程的解松弛松弛 PPnbnba Ta TbnbnbPPa TbTa*PT*nbnbPPPPa TbTTTaPT我们在方程的右侧加上我们在方程的右侧加上，再减它，我们就有：，再减它，我们就有：括号内的部分代表由本次迭代所产生的括号内的部分代表由本次迭代所产生的的变化。这一变化可以通过引进一个的变化。这一变化可以通过引进一个 6.7 线性代数方程的解松弛松弛 *nbnbPPPPa TbTTTaPT括号内的部分代表由本次迭代所产生的括号内的部分代表由本次迭代所产生的的变化。这

18、一变化可以通过引进一个的变化。这一变化可以通过引进一个 松弛因子加以修改，所以松弛因子加以修改，所以*nbnbPPPPa TbTTTa*1PPPnbnbPaaTa TbT6.8 超松弛与欠松弛n在代数方程的迭代求解过程中，或是用于处理非线性问题的整体迭代模式中，往往希望加快或是减慢前后二次迭代之间因变量值的变化。n因变量的变化被加速超松弛；因变量的变化被减慢欠松弛。对于离散方程取 作为前一次迭代所得TP值。采用一个松弛因子 离散方程可以写成 如果我们在方程的右侧加上 变换可以得到 括号内部分代表本次迭代所产生的TP的变化。可以通过引进一个松弛因子加以修改 , 为松弛因子当迭代收敛时， TP和 相等PPnbnba Ta Tb*PTnbnbPPa TbTa*PT*nbnbPPPPa TbTTTa*nbnbPPPPa TbTTTa*PT