(3)物体的平衡

1、第三专题 物体的平衡解题知识与方法研究一、两种重要的约束二、利用对称性确定力的方向三、多摩擦点何处“打滑”的确定一、两种重要的约束1、何谓约束作为研究对象的物体的位置所受到的其他物体的限制，称为约束.绳的约束使球只能沿球面运动斜面和绳的共同约束使球被限制在斜面上的一圆周上.绳子、物面均为普通的约束！v斜面的约束使球只能沿斜面运动v解题知识与方法研究2-1、光滑铰链2-1-1、概念：使物体上的一点保持不动（在物体其他部分运动时）的一种约束. 2-1-2、分类：为柱铰链和球铰链两种.1图2图3图图1、图2为柱铰链：图3为球铰链：光滑铰链实例：2、两种特殊的约束物体可绕柱铰链无摩擦地在二维平面内自由

2、转动. 可绕球铰链无摩擦地在三维空间自由转动. 1232-1-3、施力与受力性质:光滑铰链与物体间 的作用力 (弹力)通过铰链的中心（柱轴或球心）铰链的施力与受力实例：受力施力受力施力受力施力2-2、连杆2-2-1、概念：一根轻杆，其两端分别用光滑铰链和两物体相连，仅两端受力.2-2-2、性质：（1）无论静止还是运动，其两端受力必为一对平衡力，方向沿杆长方向.（2）通过连杆，只能沿杆长方向向其他物体施力.1vv2Gv连杆实例：G连杆施力1vv2v你能不能证明这一性质？连杆受力其作用在于使两物体上的两点的距离一定. 如图所示的水平放置的由五根轻杆和一个拉力器构成的正方形框架. A、B、C、D四处

3、由铰链连接，AC杆和BD杆交汇处不连接. 如果调节拉力器，使它产生拉力为T，问：各杆受到的力是拉力还是压力？各力的大小等于多少？ABCD解ABTADTAD杆：拉力器对铰链A的拉力TAB ( =T )必然水平向右.对铰链A的力不能是向上的压力，只能是向下的拉力TAD. AC杆：对铰链A只能是压力TAC，方向沿CA.ACT()ABADT、DCT进而可得到2ACTTTBDT根据对称性可知：DC杆：对铰链D的拉力TDC=TAB=T, 方向向右.BC杆：BCT 要使AB和AD杆的合力T(AB、AD)与TAC反向且等大，ADABTTT必须研究各杆对铰链的力的大小及性质即可.对铰链B的拉力方向向下.,BCA

4、DTTT例1BD杆： 对铰链B的压力方向沿DB.2BDACTTT，21OK 五根质量与长度均相同的匀质细棒用质量与线度均可忽略不计的光滑铰链两两首尾连成一个五边形. 今将其一个顶点挂在天花板下.试求平衡时此五边形的五个顶角. 又若在最下边的细棒的中点再悬挂一重物，能否使五根细棒构成一个等腰三角形？解 设每根棒质量为m，长为l.TTT12mgmgmg52mg隔离研究左边两棒的受力情况：将各棒绞接处的受力进行分解，其受力如图所示.对左边上面的棒：0OM由得1115cossinsin22lTlmgmg l对左边下面的棒：得得由由0 KM2221cossinsin22lTlmgmg l又由几何关系得1

5、2sinsin2lll32mgT32mg只需求出图中的 、 即可12例221OKTTTTmgmg12mg52mg由、 两式得122tantan即22122212sinsin41 sin1 sin代入化简后，令1sin:x43212129410 xxxx 利用计算器进行一元高次方程的逼近求解432( )1212941f xxxxx令121sinsin2将此三方程简化为12tanTmg2tanTmg432( )1212941f xxxxx令21OKTTTTmgmg12mg52mg01:x在 的范围内尝试取值x)(xf0.1 0.2 0.15 0.17 0.171 0.1715 0.5 -0.24

6、0.16 0.011 0.0031 -0.00085取使 f (x) 最接近零的 x 值： x=0.1715211sinsin0.32852由计算器查得：于是有1sin0.1715,1sinx121sinsin2所以五边形的个顶角为：侧方内顶角为12180189.3下方内顶角为29070.8上方内顶角为1219.8129.9 ,19.20 .假设能构成等腰三角形，看其是否满足平衡条件.对左侧上面的棒，0:OM由得1cossin(5)sin22lTlmgmM gl对下面的棒，0KM由得：1cossin()sin22lTlmgmM gl由此两式得11sin()sin(5)sin22mglmM gl

7、mM gl解得m=0 这表明在五根细棒质量不为零时不可能构成等腰三角形. 题后总结本例的杆不具有连杆的施力与受力性质；本题的假定法研究非平衡问题时很有用OKTTTTmgmg1()2mM g1(5)2mM gM1(3)2mM g1(3)2mM g即sin0mABDCAvDvBv 四个质量相同的小球A、B、C、D用相同长度的轻质刚性细杆光滑铰接成一个菱形，开始时菱形为正方形，在光滑的水平面上沿着对角线AC方向以速度v作匀速运动.如图所示，在它前方有一与速度方向垂直的粘性固定直壁，C球与其相碰后立即停止运动. 试求碰后瞬间A球的速度vA. vABDC解 碰后瞬间各球的运动如图.III设碰撞中系统所受

8、的冲量为I， 则对整个系统由动量定理得A、B、D球的速度有关系cos45BDAvvv(cos45cos45 )4ABDImvmvmvmv 将 代入化简得4-2AImvmv设碰撞时C球受到DC、BC杆的冲量为I . 对C球由动量定理得2 cos450IImvmv 即2ImvIxDC、BC杆对C的冲量方向如何？判断碰后瞬间的形状和各球速度方向？例3ABDCAvDvBvIII BC杆、DC杆同时对B、D球也有冲量I. II0cos45cos45Imvmv 即2mvI由、式（或D）球，在BC（或DC）方向上由动量定理有对B4-2AImvmv2ImvI.Avv便可解出xABDCAvDvBvx另解碰后瞬间

9、各球的运动如图.A、B球的速度有关系：cos45BAvv对A，B，杆AB系统，在杆长方向动量守恒：cos452cos45ABmvmvmvcos452 cos45ABvvv即由、消去vB解出.Avv此结果有点意外，该如何解释 ?vA=vABDCvABDC如图，若C球与直壁的碰撞不是完全为非弹性、 四个球质量不是全等、直壁不与速度v垂直、 ABCD是长方形、，还有vA=v吗？ 题后思考vABDCBvAv二、利用力学平衡系统结构的对称性确定力的方向 如图，三根不光滑的质量、形状完全相同的杆对称的架立在水平不光滑地面上. 试确定各杆受其他杆的作用力的方向？你认为是哪种情况？为什么？对称：系统的某种属性

10、、状态经某种操作（或变换）后能保持不变，便称系统的这种属性、状态对此操作（或变换）具有对称性（或者说是对称的）.ABCAFCFBF三力斜向上ABCAFCFBF三力斜向下ABC三力水平CFBFAF例PPAWP 如图所示的机构由两长两短的四根轻杆通过光滑铰链连接而成, 四根杆的尺寸已在图中标出. 机构竖放在光滑水平面上. W和P、P 为所加的外力, 求： （1）平衡时 与 的关系; （2）铰链O对所连接的两杆的作用力.PP BCONNBF2sinAWF 如图，AB杆为连杆，其A端受力FA、沿AB方向，B端受力FB沿BA方向.2sinBAWFF于是有解 （1）分解W得BE杆的B端受力 与 为作用与反

11、作用力，BFBF0OM由 得sin2BF aaaaaaaFBAFWDE2sinBBWFF 故BE杆是不是连杆？cosNasinPa研究AB杆：研究BE杆：系统整体受力如图.例4能否判断铰链O对连接的两杆的作用力的方向？对整个机构，0yF由 得2WN 由 解得2tan3WP（2）据 对称性可知铰链O对BE杆的作用力沿水平方向.0 xF由 知cosBEBFPF方向水平向右.铰链O对CD杆的作用力大小为cot .2CDBEWFFP方向水平向左. 题后总结与思考综合利用了对称性分析和连杆的性质；假定FBE倾斜，进行计算，看看结果？PPABCONNFBEBFaaaaaaFBAFWDEcos2sinWPs

12、in2cossin2sinWaNaPa即2sinBWF cot .2WPCDFABC1122何处打滑？何处打滑？1、多摩擦点“打滑”实例 判断各摩擦点达最大静摩擦的先、后情况的依据：2、判断处理的方法三、多摩擦点何处“打滑”的判断12FF12何处打滑？2-1、已知各处的静摩擦系数相同，实际 摩擦力始终相等，则可根据各处压力 大小进行判断111.fN222fN，12ff ，12=. .N小处将先“打滑”假定一处静摩擦力达到最大根据平衡条件计算他处所需的摩擦力与他处可能的最大静摩擦力比较大小何处打滑？12FABC1122何处打滑？F12何处打滑？2-2、已知各处的静摩擦系数相同，压力 力始终相等，

13、则可根据各处实际静摩 擦力的大小进行判断12NN，12=. .f大处将先“打滑”111.fN212fN，2-3、已知各处压力、实际静摩擦力始终相等， 则可根据各处摩擦系数大小进行判断12NN，12.ff .小处将先“打滑”2-4、一般情况下的判断方法 如图，半径为r、质量为m的三个相同刚性球两两接触放在水平桌面上，用一个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒（上下无底）将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁间均保持接触但无相互作用力. 现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中. 设四个球的表面、圆筒的内壁均由相同材料构成，其间的静摩擦系数均为 （约为0.775）

14、.问：R 取何值时，用手轻轻向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？315ABDAD解研究系统已被提起的平衡状态对D球:0F竖直由得223sin3cos0.Nfmgf2f2mgN2N1f1只需研究球A和D 球就行了！对所有的四个球：0F竖直由得134.fmg其受力如图对A球：0F竖直由得122cossin0ffmgN ，0F水平由得221cossin0NfN ，0AM由得120.f rf r其受力如图N2mg例5223sin3cos0.Nfmg122cossin0.ffmgN221cossin0.NfN120.f rf r134.fmgABDADf2f2mgmgN2N2N1f1由、 得124.3m

15、gff代入（或者） 得2411cot.33sinNmgmg、代入 得1141cot.33sinNmgmg为使各物体间无滑动，还需满足：11;fN22.fN将代入得：111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf111114coscotsin4sinNf；221114coscot.4sin4sinNf由于14cos(14cos )4所以只要成立必定成立.315将代入：1514cos34sinABDADf2f2mgmgN2N2N1f1 和R是对应的，通过确定 就能确定R.由几何关系知cosOADAO23rRr由此可得23 cosrRr211316rr32

16、 31.33r11解 式得：11111cos cos1616，或者11rABCOABCrO为使D球不从中空处掉下去，R还需满足R OAr综上可知232 3(1)(1) .333r Rr0cos30rr2(1) .3r32 3133RrABD另解 先确定上球和下球的接触处E与下球和圆筒的接触处Y何处先达最大静摩擦状态.ADf2f2mgmgN2N2N1f1YE对下面的A球, 0AM由得120.f rf r由此即知12.ffX0XM又由得12+.NXYNXE mgr12+rNNmgXY，所以由此即知12.NN 根据、两式以及B、Y两处的最大静摩擦因数相等，即可断定E处先于Y处达到最大静摩擦状态. 所

17、以只须考虑E处不滑动即可. 此时22.fN 现在你能否判断：E、Y何处先达最大静摩擦？对所有四个球，由=0F竖直有ADf2f2mgmgN2N2N1f1YEX134fmg对下面的A球，由0YM 有22sin(cos )N rmgrfrr22sin(1cos )Nmgf即由、式解得243fmg，244 15.3Nmgmg代入式并整理变换得到 2128cos24cos770由式并结合题意解出 11cos.16ABCrO其他同上. 题后思考试比较两种解答.22fN12ff 有一木板可绕其下端的水平轴转动，转轴位于一竖直墙上，如图所示. 开始时木板与墙面的夹角为15，在夹角中放一正圆柱形木棍，截面半径为

18、r，在木板外侧加一力F使其保持平衡，在木棍端面上画一竖直向上的箭头. 已知木棍与墙面之间和木棍与木板之间的静摩擦系数分别为1=1.00, 2= 若板缓缓地减小所加的力F，使夹角慢慢张开，木棍下落. 问当夹角张到60时，木棍端面上的箭头指向什么方向？10.577.3F解当F逐渐减小时，板、墙给棍的摩擦方向如何，大小如何变化？判 断2N1N2f1f当压力减小到一定程度，棍受力如图.o0 0 yxFF由，得00M 由得122+sincosfNfmg，122+ sincos .NfN12.f rf r假如棍与墙接触点先滑，则此时有11max11ffN而222fN将 代入得mg例6F2N1N2f1fo1122NN由得112(1sin )cosNN由 两式得1211cossin为何值时此时成立？此式成立则左边先滑.设 取临界角0时有003cos=1sin将1、 2值代入，解出0=30 90，().不合题意，舍去当1530时不成立: 当30 60时成立: 棍右接触点打滑棍左接触点打滑棍顺时针转动.棍反时针转动.下面研究最后棍上的箭头转向了何方？mg122+ sincos .NfN12.f rf r11max11ffN3cos1sin 有现在你该知道：在 张大的过程中，棍是怎样转动的？oooABCABC1h2h3hDrrr右图