广东工业大学袁兵结构弹性稳定

1、第十三章 结构弹性稳定13-1 概述13-2 用静力法确定临界荷载13-3 具有弹性支座压杆的稳定13-4 用能量法确定临界荷载13-5 变截面压杆的稳定13-6 剪力对临界荷载的影响13-7 组合压杆的稳定13-8 弹性介质上压杆的稳定13-9 圆环及拱的稳定13-10 窄条梁的稳定13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定13-1 概 述结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。 图图a所示理想中心受压直杆。当所示理想中心受压直杆。当F值达到值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后

2、，压杆将停留在弯曲位置上，曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图不能回到原来的直线位置，如图b。 此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式这种现象为压杆这种现象为压杆丧失了第一类稳定性丧失了第一类稳定性。分支点失稳分支点失稳13-1 概 述 图图a所示承受均布水压力的圆环，当压所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡时，出现了新的非圆的平衡形式。形式。 图图b所示承受均布荷载的所示承受均布荷载的抛物线拱

3、，图抛物线拱，图c 所示刚架，荷所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。的新的平衡形式。 图图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。斜弯曲和扭转。13-1 概 述丧失第一类稳定性的特征：丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。

4、原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。 图图a所示由塑性材料制成所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值达到临界值Fcr时，荷载不增时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如加或减小，挠度仍继续增加如图图b丧失第二类稳定性。丧失第二类稳定性。极值点失稳极值点失稳 工程结构实际上均属于第二类稳工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。来处理。13-1 概 述确定临界荷载的方法确定临界荷载的方法静力法静力法应用静力平衡条件求解；应用静

5、力平衡条件求解；能量法能量法应用以能量形式表示的平衡条件。应用以能量形式表示的平衡条件。结构稳定的自由度结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态：为确定结构失稳时所有可能的变形状态 所需的独立参数的数目。所需的独立参数的数目。 图图a所示所示支承在抗转支承在抗转弹簧上的刚弹簧上的刚性压杆，确性压杆，确定失稳时变定失稳时变形状态的独形状态的独立参数为立参数为1，只有只有一个自一个自由度由度。 图图b所示结所示结构，则构，则需两个需两个独立参独立参数，具数，具有有两个两个自由度自由度。 图图c所所示弹性压示弹性压杆，则需杆，则需无限多个无限多个独立参数，独立参数，具有具有无限无限多自由

6、度多自由度。13-2 用静力法确定临界荷载静力法静力法依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件， 求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值 即为临界荷载。即为临界荷载。 图图a所示单自由度结构，设压杆偏所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。由由MA=0有有0sinkFl0当当 时上式满足，对应原有的平衡形式时上式满足，对应原有的平衡形式位移很小时可认为位移很小时可认为sin故有故有0)(kFl稳定方程或特征方程稳定方程或特征方程0对于新的平衡

7、形式，对于新的平衡形式， 则有则有0kFl13-2 用静力法确定临界荷载由稳定方程解得由稳定方程解得lkF cr结构处于随遇平衡状态，如图结构处于随遇平衡状态，如图c中的中的AB段。段。sinlkF 若采用精确的方程则有若采用精确的方程则有若只求临界荷载，可采用近似方程求解。若只求临界荷载，可采用近似方程求解。 当当 时，时， 与与F的数值仍是一一对应的数值仍是一一对应的，如图的，如图c中的中的AC段。段。0n个自由度的结构个自由度的结构对新的平衡形式列出对新的平衡形式列出n个平衡方程个平衡方程n个独立参数的齐次方程个独立参数的齐次方程系数行列式系数行列式D=0的条的条件件建立稳定方程建立稳定

8、方程n个根中的最小值为个根中的最小值为临界荷载临界荷载13-2 用静力法确定临界荷载例例13-1 试求图试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚 度均为度均为k。解：结构有两个自由度，失稳时解：结构有两个自由度，失稳时A、 B点的位移如图点的位移如图b。设位移是微小的，由设位移是微小的，由MB=0，MC=0020)(211112lkylkyFylkyyyF即即)a (0)2(0)(2121klyyFklFyyFkly1、y2不全为零，则应有不全为零，则应有0)2()(klFklFFkl展开展开0)(322klklFF解得解得klklklF382. 0

9、618. 2253临界荷载临界荷载klF382. 0cr13-2 用静力法确定临界荷载由由(a)式不能求得式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。的确定解答，但可以求出两者的比值。将将klF253代回代回(a)式可得式可得618. 0535112yy相应的位移图如图相应的位移图如图c。将将klF253代回代回(a)式可得式可得618. 1535112yy相应的位移图如图相应的位移图如图d。实际结构必先以图实际结构必先以图d的形式失稳，图的形式失稳，图c只是理论上存在。只是理论上存在。13-2 用静力法确定临界荷载 图图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹性直所示一端固定另一

10、端铰支的等截面中心受压弹性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一截面的弯矩为)(SxlFFyM挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为)(SxlFFyMyEI )(SxlEIFyEIFy 令令EIFn 2)(S22xlFFnyny 微分方程的通解为微分方程的通解为)(sincosSxlFFnxBnxAy边界条件为边界条件为0000ylxyyx，代入通解得代入通解得0sincos00nlBnlAFFBnlFFASS(b) 方程方程(b)是关于是关于A、B、FS/F的齐次方程组，的齐次方程组，A=B=FS/F=0时时满足，此时各点位移满足，此

11、时各点位移y均为零。对新的平衡形式要求三者不全均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为的系数行列式应为零，得稳定方程为13-2 用静力法确定临界荷载00sincos1001nlnlnl展开展开nlnl tan此超越方程图解法求解，如图此超越方程图解法求解，如图b。nly 1nlytan2与与 交点的横坐标即为方程的根。最交点的横坐标即为方程的根。最小根小根nl在在3/24.7左侧附近，试算左侧附近，试算求得准确解。求得准确解。493. 4nl求得临界荷载值为求得临界荷载值为EIlEIlEInF222cr19.20493. 413-3 具有弹性

12、支座的压杆稳定 图图a所示刚架，所示刚架，AB杆上端铰支；下杆上端铰支；下端不能移动但可转端不能移动但可转动，其转动受动，其转动受BC杆杆的弹性约束，可用的弹性约束，可用抗转弹簧表示，如抗转弹簧表示，如图图b。抗转弹簧刚度抗转弹簧刚度k1：使梁：使梁BC的的B端发生单位转端发生单位转角时所需的力矩。由图角时所需的力矩。由图c可得可得1113lEIk 图图b所示压杆失稳时，所示压杆失稳时，由由MB=0可得可得lklMF111S13-3 具有弹性支座的压杆稳定压杆挠曲线的平衡微分方程为压杆挠曲线的平衡微分方程为)(SxlFFyyEI 令令EIFn 2)(112xlEIlkyny 通解为通解为)(s

13、incos11xlFlknxBnxAy式中三个未知常数式中三个未知常数A、B、1边界条件为边界条件为0001ylxyyx，可建立可建立0sincos0101111nlBnlAFlkBnFkAA、B和和 不能全为零，则不能全为零，则 100sincos) 1(00111nlnlFlknFk稳稳定定方方程程k1给定给定nl 最小正根最小正根Fcr21)(1tannllkEInlnlk1=0时时sinnl =0：两端铰支：两端铰支k1=时时tannl =nl：一端铰支一端固定一端铰支一端固定13-3 具有弹性支座的压杆稳定稳定方程为稳定方程为EIlknlnl1tan稳定方程为稳定方程为333)(ta

14、nlknlEInlnl一端弹性固定一端弹性固定另一端自由的压杆另一端自由的压杆一端固定另一端有一端固定另一端有抗移弹簧支座的压杆抗移弹簧支座的压杆13-3 具有弹性支座的压杆稳定两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图c按静力法导出稳定方程为按静力法导出稳定方程为01cossin00sincos1013121133223FknlnnlnkkkFklkFknFknlnlFkFlk弹性支座压杆稳定方程的一般形式弹性支座压杆稳定方程的一般形式其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。13-3 具有弹性支座的压杆

15、稳定例例13-2 试求图试求图a所示刚架的临界荷载。所示刚架的临界荷载。解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称 的如图的如图b或反对称的如图或反对称的如图c。13-3 具有弹性支座的压杆稳定正对称失稳时，取半结构计算如图正对称失稳时，取半结构计算如图d。 立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆，立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆，弹性固定端的抗转刚度为弹性固定端的抗转刚度为lEIik4211试算法解得最小正根为试算法解得最小正根为nl=3.83求得稳定方程为求得稳定方程为 41tan2nlnlnl临界荷载为临界荷载为22cr67.14lEI

16、EInF13-3 具有弹性支座的压杆稳定反对称失稳时，取半结构计算如图反对称失稳时，取半结构计算如图e。 立柱为上端弹性固定，上下两端有相对立柱为上端弹性固定，上下两端有相对侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度为为lEIik12611求得稳定方程为求得稳定方程为12tannlnl试算法解得最小正根为试算法解得最小正根为nl=1.45临界荷载为临界荷载为22cr10. 2lEIEInF结构以反对称形式失稳，临界荷载为结构以反对称形式失稳，临界荷载为22cr10. 2lEIEInF13-4 用能量法确定临界荷载势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移

17、连续条势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件件 的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移 （就是真实的位移）使结构的势能（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，为驻值，即即0PEVVEPV结构的应变能；结构的应变能； V外力势能。外力势能。外力势能定义为外力势能定义为niiiFV1 Fi 结构上的外力结构上的外力i 与外力相应的虚位移与外力相应的虚位移有限自由度结构有限自由度结构所有可能的位移状态只用有限个独立参数所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，an即可表示，即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。只是这有限个独立参

18、数的函数。单自由度结构单自由度结构EP只是参数只是参数a1的一元函数，势能的变分为的一元函数，势能的变分为11PPddaaEE 结构处于平衡时结构处于平衡时0PE1a是任意的是任意的0dd1PaE故故13-4 用能量法确定临界荷载0dd1PaE由由可建立稳定方程以求解临界荷载。可建立稳定方程以求解临界荷载。多自由度结构势能的变分为多自由度结构势能的变分为nnaaEaaEaaEEP22P11PP由由EP=0及及a1， a2， ，an的任意性，必须有的任意性，必须有000P2P1PnaEaEaE 由此获得一组含由此获得一组含a1， a2， ，an的齐次线性代数的齐次线性代数方程，要使方程，要使a1

19、， a2， ，an不全为零，则此方程组的不全为零，则此方程组的系数行列式应为零系数行列式应为零建立稳定方程建立稳定方程确定临界荷载。确定临界荷载。13-4 用能量法确定临界荷载例例13-3 图图a所示压杆所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k， 试确定其临界荷载。试确定其临界荷载。解：单自由度结构失稳时发生微小的偏解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图离如图b。lylylllyllyll221112122121221212弹簧的应变能为弹簧的应变能为21112121kyykyV外力势能为外力势能为212ylFFV结构的势能为结构的势能为21P2ylFkl

20、VVE若图若图b结构能维持平衡则有结构能维持平衡则有0dd11PylFklyEy10，故，故0 Fkl临界荷载为临界荷载为klF cr13-4 用能量法确定临界荷载例例13-4 用能量法求图用能量法求图a所示结构的临界荷载。所示结构的临界荷载。解：结构具有两个自由度，失稳时发生解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图图b所示位移。所示位移。结构处于平衡时结构处于平衡时22212121kykyV结构的势能为结构的势能为lyylyFFV2)(221222)2(2)(21222121PyFklyFyyFkllVVE0)2(10)(1212P211PyFklFylyEFyyFkllyEy1、y2不能全为

21、零不能全为零0)2()(FklFFFkl13-4 用能量法确定临界荷载03222lkklFF展开整理得展开整理得klklklF382. 0618. 2253解得解得klF382. 0cr最小值为临界荷载最小值为临界荷载 图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为：时发生弯矩变形，应变能为：lxEIMV02d21yEIM 2代入代入将将 lxyEIV02d)(21xyyxyxxyxxsd)(21 1)(211 d 1)(1(dd)(1ddd222122任一微段任一微段ds与其投影与其投影dx之差为之差为此式沿杆长此式沿杆长l积分得积分得lxy02

22、d)(2113-4 用能量法确定临界荷载外力势能为外力势能为lxyFFV02d)(2结构的势能为结构的势能为 llxyFxyEIVVE0202Pd)(2d)(21挠曲线挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。是未知的，它可以看作无限多个独立参数。EP是挠曲线函数是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，的函数，即是一个泛函，EP=0是求泛函是求泛函极值的问题极值的问题变分问题。变分问题。瑞利瑞利-李兹法李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。：将无限自由度近似简化为有限自由度。设设 a)()()()(12211niiinnxaxaxaxay)(xi满足位移边界条件的已知函数满足位移边界条件的

23、已知函数ia任意参数任意参数结构所有变形状态由结构所有变形状态由a1，a2，an所确定，简化为所确定，简化为n个自由度。个自由度。13-4 用能量法确定临界荷载如果在如果在(1)式中只取一项：式中只取一项：是简化为单自由度求解。是简化为单自由度求解。)(11xay通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线例例13-5 试求图试求图a所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。所示两端铰支等截面压杆的临界荷载。解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度解：挠曲线函数只取一项，即简化为单自由度 结构计算。结构计算。(1) 设挠曲线为正弦曲线设挠

24、曲线为正弦曲线lxaysin显然显然y满足位移边界条件满足位移边界条件234024d)(21alEIxyEIVl 22024d)(2FalxyFVl结构的势能为结构的势能为2234P44aFllEIVVE13-4 用能量法确定临界荷载022dd234PaFllEIaE而而a0，故有，故有022234FllEI得得22crlEIF 与精确解相同，特殊情形。与精确解相同，特殊情形。(2) 设挠曲线为抛物线设挠曲线为抛物线)(422xlxlay满足位移边界条件满足位移边界条件230232d)(21alEIxyEIVl 20238d)(2FalxyFVl23P3832aFllEIVVE0ddPaE由由

25、和和a0，可求得，可求得2cr12lEIF 误差达误差达21.6%。13-4 用能量法确定临界荷载(3) 图图b所示挠曲线作为近似曲线所示挠曲线作为近似曲线)20()43()1216(3332SlxlxlxaxxlEIFy2320224d)(22alEIxyEIVl 2202512d)(22FalxyFVl23P51224aFllEIVVE0ddPaE由由和和a0，可求得，可求得2cr10lEIF 误差仅为误差仅为1.3%。13-4 用能量法确定临界荷载例例13-6 试求图示压杆的临界荷载。试求图示压杆的临界荷载。解：按两个自由度计算，查表取级数的解：按两个自由度计算，查表取级数的 前两项前两

26、项)()(3221xlxaxlxay)35351152(2)52484(2227216215225214213PalaalalFalaalalEIE0dd0ddPPaEaE，a1、a2不全为零应有不全为零应有2cr92.20lEIF 整理得整理得0)353524()1014(0)1014()1524(23122312aFlEIlaFlEIaFlEIlaFlEI03535241014101415243232FlEIlFlEIFlEIlFlEI022401282222lEIFlEIF比精确解大比精确解大3.6%。13-4 用能量法确定临界荷载例例13-7 试求图试求图a所示等截面竖直压杆在自重作用

27、下的临界荷载。所示等截面竖直压杆在自重作用下的临界荷载。解：压杆承受的是均布荷载。解：压杆承受的是均布荷载。 如图如图b，微段，微段ds的转角为的转角为y(x)，微段以上部分的竖向位移为微段以上部分的竖向位移为xyxyxxsd)(21d)(1ddd22 微段以上部分荷载微段以上部分荷载FS=q(l-x)在此位移上作功为在此位移上作功为xyxlqd)(21)(2外力势能为外力势能为lxyxlqV02d)(21查表取三角级数的前两项有查表取三角级数的前两项有lxalxay23cos12cos12113-4 用能量法确定临界荷载qaaaaxyxlqVl2222121202324943324d)(21

28、322421402648164d)(21lEIaaxyEIVl 222342121234P324964814332464aqlEIaqaaqlEIE0164932814304316432223412P212341PaqlEIqaaEqaaqlEIaE13-4 用能量法确定临界荷载a1、a2不全为零应有不全为零应有016493281434316432234234qlEIqqqlEI整理得整理得05576.7505915.106382413. 12332lEIqlEIq方程的最小根即为临界荷载方程的最小根即为临界荷载3cr838. 7lEIq此问题的精确解为此问题的精确解为3cr837. 7lEI

29、q13-5 变截面压杆的稳定工程中变截面压杆的类型：阶形杆，工程中变截面压杆的类型：阶形杆， 截面惯性矩按幂函数连续变化。截面惯性矩按幂函数连续变化。 图图a为一阶形直杆，以为一阶形直杆，以y1、y2分分别表示压杆失稳时上、下两部分的别表示压杆失稳时上、下两部分的挠度，如图挠度，如图b。两部分的平衡微分。两部分的平衡微分方程为方程为)()(222111yFyEIyFyEI 通解为通解为xnBxnAyxnBxnAy2222211111sincossincos式中式中2211EIFnEIFn，是五个未知常数。是五个未知常数。、2211BABA边界条件边界条件 00)2(00) 1 (22yxyx，

30、2121)4()3(yylxylx，212)5(yylx ，13-5 变截面压杆的稳定由边界条件由边界条件(1)、(2)可得可得)cos1 (02222xnyBA，将将y2和和y1代入边界条件代入边界条件(3)、(4) 、(5)可得齐次方程组可得齐次方程组0sincossin0cossincos0sincos22221112111222112111111lnnlnnBlnnAlnlnBlnAlnBlnA稳定方程为稳定方程为0sincossincossincos0sincos2212212122212111lnnnlnlnlnlnlnlnln展开整理得展开整理得212211tantannnlnl

31、n给出给出I1/I2和和l1/l2时才能求解时才能求解13-5 变截面压杆的稳定当柱顶承受当柱顶承受F1，在截面突变处承受，在截面突变处承受F2作用时，可推得稳定方程为作用时，可推得稳定方程为 ) c (tantan121212211FFFnnlnln2212111EIFFnEIFn，式中式中给出给出I1/I2、l1/l2和和F1/F2时才能求解。时才能求解。如图所示压杆如图所示压杆1221125nEIFFnEIFn，稳定方程稳定方程(c)成为成为3tan112ln最小根为最小根为311ln可得临界荷载为可得临界荷载为212121cr4lEIEInF13-5 变截面压杆的稳定 图图a所示压杆的

32、截面惯性矩按幂函数变化，任一截面的所示压杆的截面惯性矩按幂函数变化，任一截面的惯性矩为惯性矩为 mxaxII1I1柱顶截面惯性矩柱顶截面惯性矩I2柱底截面惯性矩柱底截面惯性矩malaII12有有1e)/ln(112IImla不同的不同的m值对应不同形状的杆件值对应不同形状的杆件 如图如图b，具有直线外形的圆形截面或正方形截面的实心压，具有直线外形的圆形截面或正方形截面的实心压杆，杆，m=4。13-5 变截面压杆的稳定 如图如图c，具有直线外形由四个截面，具有直线外形由四个截面不变的角钢组成的组合压杆，不变的角钢组成的组合压杆，m=2。图图b、图、图c两种情况两种情况图图d所示压杆，所示压杆，m

33、=2时微分方程为时微分方程为112hhlaFyyaxEI 21或或0221 FyyxaEI变系数微分方程变系数微分方程令令t=lnx0dddd1222yEIFatyty常系数方程常系数方程令令4112EIFak解为解为tiktikBAy2121ee13-5 变截面压杆的稳定)lncos()lnsin(axkBaxkAxy将将t=lnx代入代入边界条件边界条件0)2(0) 1 (ylaxyax，由条件由条件(1)：B=0由条件由条件(2)得稳定方程为得稳定方程为kk2)ln2tan(若若已知，可用试算法解出已知，可用试算法解出k的最小根，进而求得临界荷载的最小根，进而求得临界荷载Fcr。m=4时

34、微分方程为时微分方程为041 FyyaxEI令令142EIFa024 yyx解为解为xBxAxysincos边界条件边界条件0)2(0) 1 (ylaxyax，导出稳定方程为导出稳定方程为alaalalatan1tantanlaa令令13-6 剪力对临界荷载的影响设设yM和和yS分别表示弯矩和剪力影响所产生的挠度，总的挠度为分别表示弯矩和剪力影响所产生的挠度，总的挠度为SMyyy对对x求二阶导数可得曲率的近似公式求二阶导数可得曲率的近似公式弯矩引起的曲率弯矩引起的曲率为为EIMxy2M2dd2S22M222ddddddxyxyxy 如图如图a、b，先求由剪力引起的，先求由剪力引起的杆轴切线的附

35、加转角杆轴切线的附加转角 。xyddSGAFkSxMGAkGAFkxyddddSS从而有从而有222S2ddddxMGAkxy挠曲线微分方程为挠曲线微分方程为2222ddddxMGAkEIMxy对图对图a所示结构所示结构yFMFyM 可求得可求得yGAkFEIFyy 13-6 剪力对临界荷载的影响挠曲线方程可写为挠曲线方程可写为0)1 ( FyyGAkFEI令令)1 (2GAkFEIFm微分方程的通解为微分方程的通解为mxBmxAysincos边界条件边界条件0)2(0) 1 (ylxyax，导出稳定方程为导出稳定方程为0sinml最小正根最小正根ml可得可得E2222cr11FlEIlEIG

36、AkF22ElEIF 欧拉临界荷载欧拉临界荷载修正系数修正系数GkGAkFlEIGAkEE22111111E 欧拉临界应力欧拉临界应力13-6 剪力对临界荷载的影响设压杆由钢材制成，取设压杆由钢材制成，取E为比例极限为比例极限MPa200PE切变弹性模量切变弹性模量G=80GPa，则有，则有4001EGGkE11在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。在实体杆件中，剪力影响很小，通常可略去。13-7 组合压杆的稳定 组合压杆通常由两个型钢用若干联结件组合压杆通常由两个型钢用若干联结件相联组成，联结件的形式有：缀条式，缀板相联组成，联结件的形式有：缀条式，缀板式。如图式。如图a、b。 当组合压杆

37、的节间数目较多时，其临界当组合压杆的节间数目较多时，其临界荷载可用实体压杆的公式计算。即荷载可用实体压杆的公式计算。即 对式中对式中k/GA需另行处理，以反映联需另行处理，以反映联结件的影响。结件的影响。GAk单位剪力作用下的剪切角。单位剪力作用下的剪切角。用用代替式中的代替式中的k/GA即可。即可。E2222cr11FlEIlEIGAkF(d)13-7 组合压杆的稳定1、缀条式组合压杆、缀条式组合压杆 缀条通常采用单根角钢，其截面较小，缀条通常采用单根角钢，其截面较小，其两端可视为铰结。现取出一个节间来分其两端可视为铰结。现取出一个节间来分析，如图。析，如图。d11tan位移位移lEAF21

38、N11缀条的横杆缀条的横杆11NF缀条的斜杆缀条的斜杆cos1NF杆长杆长sindtandb 杆长杆长tan1cossin1P2q11AAEd因而因而tan1cossin11P2qAAE13-7 组合压杆的稳定E1P2qEEcrtan1cossin11FAAEFFFAd主要杆件的截面积；主要杆件的截面积；Id 主要杆件的截面对其本身形心轴的惯性矩，近似认为其主要杆件的截面对其本身形心轴的惯性矩，近似认为其 形心轴到形心轴到z轴的距离为轴的距离为b/2。2dd212bAII当斜杆与横杆当斜杆与横杆EA相同相同=45时，有时，有183. 211E1EAF斜杆的影响斜杆的影响横杆的影响横杆的影响用用

39、代替代替(d)式中的式中的k/GA，即得，即得13-7 组合压杆的稳定斜杆比横杆对临界荷载的影响更大，略去横杆的影响，则斜杆比横杆对临界荷载的影响更大，略去横杆的影响，则2qEEcrcossin211AEFFFAq一根斜杆的截面积。一根斜杆的截面积。设设2q22cossin211AlI临界荷载写成欧拉问题的基本形式临界荷载写成欧拉问题的基本形式22cr)(lEIFr两主要杆件的截面对整个截面形心轴两主要杆件的截面对整个截面形心轴z的回转半径。的回转半径。2d2rAI 一般一般=3060，设长细比，设长细比=l/r，可得，可得2qd271AA换算长细比换算长细比qd2h27AArl钢结构规范中推

40、荐的公式钢结构规范中推荐的公式13-7 组合压杆的稳定2、缀板式组合压杆、缀板式组合压杆 组合压杆采用缀板联结时，缀板与主要杆件的联结可视为组合压杆采用缀板联结时，缀板与主要杆件的联结可视为刚结。近似认为主要杆件的反弯点在节间中间，剪力平均分配刚结。近似认为主要杆件的反弯点在节间中间，剪力平均分配于两主要构件。取图于两主要构件。取图a所示部分分析。所示部分分析。由图由图b所示弯矩图图乘得所示弯矩图图乘得b2d321111224dEIbdEIdEIsMbd2111224EIbdEIdd13-7 组合压杆的稳定2dbd212bAEIII 节间长度节间长度d增加，修正系数增加，修正系数2减小。一般情

41、况下缀板的刚减小。一般情况下缀板的刚度很大，近似取度很大，近似取EIb=，则，则用用代替代替(d)式中的式中的k/GA，即得，即得E2Ebd2Ecr12241FFEIbdEIdFFd222EEd2EEcr241241IlIdFFEIdFFF整个组合杆件的截面惯性矩整个组合杆件的截面惯性矩 整个组合杆件的长细比；整个组合杆件的长细比；d一根主要杆件在一个节间内的长细比。一根主要杆件在一个节间内的长细比。dd,rdrl13-7 组合压杆的稳定22dEd2d2d222Ecr83. 012421FArlArdFF近似地以近似地以1代替代替0.83则有则有E2d22crFF相应的长度系数为相应的长度系数

42、为22d2换算长细比为换算长细比为2d2hrl规范中确定缀板组合压杆长细比的公式规范中确定缀板组合压杆长细比的公式可得可得13-8 弹性介质上压杆的稳定 支承于弹性介质上的压杆由于失稳发生弯曲时，弹性介支承于弹性介质上的压杆由于失稳发生弯曲时，弹性介质将对它产生分布反力。如图所示。质将对它产生分布反力。如图所示。 采用采用文克勒假定文克勒假定：分布反力的集度：分布反力的集度q与挠度与挠度y成正比，即成正比，即kyq k基床系数基床系数能量法能量法设挠曲线为设挠曲线为lxmaysin压杆弯曲时的应变能为压杆弯曲时的应变能为42340214d)(2malEIxyEIVl 弹性介质的应变能为弹性介质

43、的应变能为202024d2)d(21aklxykyxkyVll荷载势能为荷载势能为222024d)(212malFxyFVl13-8 弹性介质上压杆的稳定因因VVVE21P并有并有0ddPaE022222434amlFklmlEI可得可得a不能为零，故有不能为零，故有EImklmlEIF444222(e)半波数半波数m的确定条件的确定条件 必须是大于零的整数，否则不能满足两端铰支的边界条件。必须是大于零的整数，否则不能满足两端铰支的边界条件。 (2) 应使特征荷载应使特征荷载F值为最小。值为最小。13-8 弹性介质上压杆的稳定F与与m的关系曲线如图所示的关系曲线如图所示由极值条件由极值条件0d

44、dmF可得可得EIklm(f)F虽为极小，但虽为极小，但m不一定是整数。不一定是整数。 取按取按(f)式算出的式算出的m值的邻近整数值的邻近整数mi和和mi+1，代入式，代入式(e)求求F，取其较小者为临界荷载，取其较小者为临界荷载Fcr。 k/EI愈大，愈大，m值愈大。即介质与杆件的刚度比愈大时，值愈大。即介质与杆件的刚度比愈大时，压干失稳时挠曲线的半波数愈多。压干失稳时挠曲线的半波数愈多。 k=0时取时取m=1，与无介质的两端铰支压杆的结果相符。，与无介质的两端铰支压杆的结果相符。13-8 弹性介质上压杆的稳定 半穿式桁架桥的上弦杆在各结点处受到斜杆传来的压力半穿式桁架桥的上弦杆在各结点处

45、受到斜杆传来的压力Dicos如图如图a，压力由跨中向两端逐渐增大。，压力由跨中向两端逐渐增大。 上弦杆失稳时将离开原桁架平面发生侧向弯曲，从而受上弦杆失稳时将离开原桁架平面发生侧向弯曲，从而受到起横向联结系作用的刚架的抵抗。如图到起横向联结系作用的刚架的抵抗。如图b。 将上弦杆看作在各结点处具有弹性支座，在两端处为刚性将上弦杆看作在各结点处具有弹性支座，在两端处为刚性铰支座。计算简图如图铰支座。计算简图如图c。13-8 弹性介质上压杆的稳定 若将上弦杆看作是支承于连续弹性介质上的压杆，则介质若将上弦杆看作是支承于连续弹性介质上的压杆，则介质的基床系数可表示为的基床系数可表示为d节间长度；节间长

46、度；FR0结点侧向位移为结点侧向位移为1时弹性支座的反力。时弹性支座的反力。dFkR01R0F由图由图d221323EIbhEIhI1、h竖杆的惯性矩和长度竖杆的惯性矩和长度I2、b横梁的惯性矩和长度横梁的惯性矩和长度 作用在各结点处的集中力作用在各结点处的集中力Dicos近似地用三角形分布荷载近似地用三角形分布荷载代替，如图代替，如图e。可得可得2213R0231EIbhEIhF)2(0 xllqqx13-8 弹性介质上压杆的稳定能量法计算能量法计算压杆弯曲时的应变能为压杆弯曲时的应变能为xyEIVld)(2021 弹性介质的应变能为弹性介质的应变能为lxykV022d2x处微段处微段ds倾

47、斜时引起的位移为倾斜时引起的位移为xyxsd)(21dd2使该微段以右（使该微段以右（l-x）长度上的外力作功为）长度上的外力作功为xyxllqxxllqxylxd)(2(2d )2(d)(212002推得外力势能为推得外力势能为xyxlxlqVld)( )(220013-8 弹性介质上压杆的稳定采用三角级数表示挠曲线采用三角级数表示挠曲线lxiayisin求得临界压力的近似值，为便于实用将临界压力写为求得临界压力的近似值，为便于实用将临界压力写为22cr0)(4lEIlq式中长度系数式中长度系数与比值与比值 有关，可查表有关，可查表13-3。EIkl4结构的势能为结构的势能为xyxlxlqx

48、ykxyEIVVVEllld)( )(2d2d)(2200020221P 13-9 圆环及拱的稳定 在半径为在半径为R的等截面圆弧曲杆上取出长为的等截面圆弧曲杆上取出长为ds的微段的微段AB，其失稳后的位置为其失稳后的位置为AB，如图，如图(a)。EIMRRR11 设设A、B两点的环向位移分别为两点的环向位移分别为u、u+du，径向位移分别为，径向位移分别为w、w+dw。如图。如图b。 曲率的改变与弯曲率的改变与弯矩之间的关系如下矩之间的关系如下 弯矩弯矩M以使曲率以使曲率减小为正，上式可为减小为正，上式可为EIMssddddd即即EIMsdd13-9 圆环及拱的稳定当仅发生环向位移时如图当仅

49、发生环向位移时如图c，两截面相对转角为，两截面相对转角为RuRuRuuddd1当仅发生径向位移时如图当仅发生径向位移时如图d，两截面相对转角为，两截面相对转角为sswswsswsswddddddddddddd22213-9 圆环及拱的稳定故有故有sswRuddddddd2221轴向变形忽略不计，应有轴向变形忽略不计，应有0ddwuIdddd122EMswsuR可得可得得得wudd代代入入Idd222EMswRw有有用位移用位移w和弯矩和弯矩M表达的平衡微分方程表达的平衡微分方程或或MEIRww222dd(g)13-9 圆环及拱的稳定 圆形曲杆承受均布径向荷载圆形曲杆承受均布径向荷载q时，失稳前

50、只承受轴力，时，失稳前只承受轴力，弯矩和剪力均为零，取微段弯矩和剪力均为零，取微段ds如图如图(a)所示。所示。由平衡条件由平衡条件qRF0N失稳后微段的受力如图失稳后微段的受力如图(b)所示所示其轴力为其轴力为N0NNFFF由隔离体的平衡方程得由隔离体的平衡方程得SNSSNddddddFsMqRRFsFRRFsF13-9 圆环及拱的稳定将将FN0、FN、ds=Rd代入上式有代入上式有SNNSSSNdd)(ddd)d(RFMRqFRRRqFRFFRRRFF将上式整理消去将上式整理消去FN和和FS可得可得0dd1dd333MEIqRM(h)将将(g)式代入式代入(h)式可得式可得0dddd1dd

51、dd3333355wwEIqRww(i)弯矩与位移之间的微分关系弯矩与位移之间的微分关系以位移以位移w和荷载和荷载q表达的圆形曲杆弯曲平衡微分方程表达的圆形曲杆弯曲平衡微分方程13-9 圆环及拱的稳定令令EIqRn321则式则式(i)的一般解可表示为的一般解可表示为由式由式(g)有有nAnAAAAwcossincossin54321(j)nnAnnAAAAAusincossincos543210(k)cos)1 (sin)1 (252412nnAnnAAREIM(m) 对具体问题，根据边界条件写出含积分常数对具体问题，根据边界条件写出含积分常数A0A5的齐次的齐次代数方程，其系数行列式应为零代

52、数方程，其系数行列式应为零稳定方程稳定方程求解临界荷载。求解临界荷载。13-9 圆环及拱的稳定 圆环承受均布水压力时的失稳情况如图所示。显然其解圆环承受均布水压力时的失稳情况如图所示。显然其解答应是以答应是以2为周期的函数。应有为周期的函数。应有将式将式(j)代入上式有代入上式有)2()0(ww2cos2sin5431531nAnAAAAAA题意要求题意要求12cos0,2sinnn可推得可推得32) 1(REInq应取应取n=2，可得，可得q的最小值即临界荷载为的最小值即临界荷载为3cr3REIq13-9 圆环及拱的稳定两铰圆拱的失稳形式有反对称和正对称两种，如图两铰圆拱的失稳形式有反对称和

53、正对称两种，如图a、b所示。所示。 反对称失稳时，反对称失稳时，w和和M应为应为的奇函数，由式的奇函数，由式(m)有有边界条件边界条件=，M=0，可得，可得nnAREIMsin)1 (2420sinn),2,1 ,0(kkn取取q的最小正值为临界荷载，的最小正值为临界荷载，k=1有有可推得可推得3222) 1(REIkq322cr) 1(REIq=/2时时qcr的值与圆环的临界荷载相同的值与圆环的临界荷载相同13-9 圆环及拱的稳定 正对称失稳时，正对称失稳时，w和和M应为应为的偶函数，的偶函数， u应为应为的奇函的奇函数，故有数，故有nAAAwcoscos431cos)1 (2512nnAA

54、REIMnnAAAusinsin531边界条件边界条件=，u=0，M=0，可建立稳定方程，可建立稳定方程0sin1sincos)1 (01coscos12nnnnn展开得展开得tan)(tan33nnnn给定给定解出解出n 求得临界荷载。计算表明：求得临界荷载。计算表明：对于两铰圆拱，临界荷载是反对称时的临界荷载。对于两铰圆拱，临界荷载是反对称时的临界荷载。13-9 圆环及拱的稳定无铰圆拱的最小临界荷载发生于反对称失稳情况下；无铰圆拱的最小临界荷载发生于反对称失稳情况下；三铰圆拱的最小临界荷载发生于正对称失稳情况下。三铰圆拱的最小临界荷载发生于正对称失稳情况下。各种圆拱的临界荷载可表示为各种圆

55、拱的临界荷载可表示为31crlEIKq式中：式中：l跨度；跨度；K1与高跨比与高跨比f/l有关的系数，可查表。有关的系数，可查表。 抛物线拱在竖向均布荷载作用下的稳定问题很复杂，抛物线拱在竖向均布荷载作用下的稳定问题很复杂，采用数值积分法求解，其临界荷载也可表示为采用数值积分法求解，其临界荷载也可表示为32crlEIKq系数系数K2查表可得。查表可得。13-10 窄条梁的稳定 图图a所示狭长矩形截面梁，两端简支处截面可绕所示狭长矩形截面梁，两端简支处截面可绕z、y轴转动。轴转动。两端作用一对两端作用一对xy平面内的力偶。平面内的力偶。v、w梁失稳时任一截面形心的竖向位移、侧向水平位移，与梁失稳

56、时任一截面形心的竖向位移、侧向水平位移，与 坐标轴一致为正。坐标轴一致为正。 截面绕截面绕x轴的转角，右手螺旋规则。如图轴的转角，右手螺旋规则。如图b、c所示。所示。13-10 窄条梁的稳定xyz截面新位置形心处的坐标系；截面新位置形心处的坐标系；x沿梁轴的切线方向；沿梁轴的切线方向；y、z截面的两主轴。截面的两主轴。可建立方程可建立方程GIt截面抗扭刚度；截面抗扭刚度； It截面抗扭二次矩。截面抗扭二次矩。)63. 01 (33thbhbIh、b矩形截面的高度、宽度。矩形截面的高度、宽度。取隔离体如图取隔离体如图dxyyzzMxGIMxwEIMxvEIddddddt2222(n)将将M沿沿y

57、、z向分解向分解MMMxwMMMxcosddsinMMMMMMzycossin将以上将以上Mi代入式代入式(n)得得13-10 窄条梁的稳定xwMxGIEIMxwEIEIMxvyyzddddddddt2222整理得整理得0ddt222GIEIMxy命命(o)t22GIEIMny则有则有0dd222nx一般解为一般解为nxBnxAcossin边界条件边界条件000，lxx得得B=00sinnlA稳定方程为稳定方程为0sinnl 最小正根为最小正根为nl=，代入式，代入式(o)得临界弯矩为得临界弯矩为yyEIGIlEIMtcr13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定压杆单元压杆单元：单元分析中考虑轴

58、力对弯矩变形的影响。：单元分析中考虑轴力对弯矩变形的影响。 图示一等截面压杆，两端压力为图示一等截面压杆，两端压力为F，杆端之间无荷载。不，杆端之间无荷载。不计轴向变形，杆端位移和杆端力列向量可表示为计轴向变形，杆端位移和杆端力列向量可表示为T4321TeeeeejejeieievvT4321TSSeeeeejejeieieFFFFMFMFF13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定假设杆件的挠曲线为假设杆件的挠曲线为32)(DxCxBxAxy边界条件边界条件eeeeyyxyyx4321l0，求出求出A、B、C、D代入上式代入上式eeeelxlxlxlxlxlxxlxlxxy42323332222

59、3213322)()23()2()231 ()(可写为可写为)()(41xxyiiei232433221232233221)(23)(2)(231)(lxlxxlxlxxlxlxxxlxlxx，式中式中分别表示分别表示 所引起的挠曲线。未考虑轴向力的影响，是近似的。所引起的挠曲线。未考虑轴向力的影响，是近似的。1ei13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定单元的总势能为单元的总势能为 4102410241410202QPPd)(2d)(21d)(2d)(21ieieiliieiliieiieieillFxxFxxEIFxyFxyEIVVVE由势能驻值原理，体系平衡时由势能驻值原理，体系平衡时)4

60、321(0P，iEei式中式中可得可得)4321(PQ，iVVVeieiei 410041P410041Qdd)()(dd)()(jljiejlijjejeijjilejlijjejeieieixFxxxFVxEIxxxEIVFV13-11 用矩阵位移法计算刚架的稳定压杆单元的刚度方程为压杆单元的刚度方程为)4321(4141，iskFjejijjejijei(p)式中式中4)321j4321(dd00，；， ixFsxEIkljiijjilij式式(p)写成矩阵形式写成矩阵形式eeeeeeeeeeeesssssssssssssssskkkkkkkkkkkkkkkkFFFF4321444342