第三章二维随机变量及其分布

1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第一节 二维随机变量及其分布第二节 随机变量的条件分布第三节 随机变量的独立性第四节 两个随机变量的函数的分布第一节 二维随机变量及其分布定义维随机变量。称为二维随机向量或二则上的两个随机变量是定义在样本空间设),(,YXYX函数对于任意实数, yx( , ),F x yP Xx Yy或称为随机的分布函数称为二维随机变量,),(YX的联合分布函数。和变量YX( , ),()()( , ) ()|() ()|().F x yP Xx YyPXxYyF x yP Xx P YyXxP Yy PXxYy乘乘积积事事件件注注：表表示示的的是是的的概

2、概率率，于于是是一、二维随机变量及其分布函数的看成是平面上随机点若将二维随机变量),(),(YXYX落在以点就表示随机点则分布函数的坐标),(),(,YXyxF矩形域内的概率。为顶点的左下方的无限),(yx(x,y)yxo落入任一矩形点这时),(,YX1212( , ),Gx y xxxyyy,()的概率 即可由概率的加法性质求得 如下图1212,P xXxyYy22122111(,)( ,)(,)( ,).F xyF x yF xyF x y分布函数具有以下的基本性质： ）（ 10( , )1F x y且, y对任意固定的(, )0Fy，对任意固定的x( ,)0F x (,)0F (,)1F

3、 的不减函数或是）（yxyxF),(2(0, )( , ),( ,0)( , )F xyF x yF x yF x y）（3）对任意的（411221212( ,),(,),x yxyxxyy22122111(,)( ,)(,)( ,)0F xyF x yF xyF x y有注：这四条性注：这四条性质是判断一个质是判断一个二元函数成为二元函数成为联合分布函数联合分布函数的充要条件。的充要条件。 边缘分布函数(, ),X YXY对于二维随机变量随机变量 和 各自的(, )X YXY分布函数称为关于 和 的边缘分布函数( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( ,)lim( , )yF x

4、F x y 其中同理( )(, )YFyFy(, )lim( , )xFyF x y其中( ),( )(, )XYFx FyX Y故边缘分布函数可由的分布函数所确定( ),( )XYFx Fy记为(, )( , )X YF x y若二维随机变量的分布函数已知，则(, )(1)(1),0,0( , )0,( ),( )lim (1)(1)1,0( )( ,)0,lim (1)(1)1,0( )(, )0,xyXYxyxyXxyyyYX YeexyF x yXYFx FyeeexFxF xeeeyFyFy 设二维随机变量的联合分布函数为其他求 ， 的边缘分布函数。解：由定义，其他其他补例1只有有限

5、对可能取的值如果二维随机变量),(),(iiyxYX。是二维离散型随机变量则称或可列无限对),(,YX记, ,1 , 2,ijijP Xx Yypi j满足下列条件：其中ijp0ijp ）（ 1）（2111ijijp(, )X Y并称为二维离散型随机变量的分布律联合分布律XY或称为随机变量 和 的二、二维离散随机变量及其分布律二、二维离散随机变量及其分布律联合分布律联合分布律下表表示：它们的联合分布律可用和离散型随机变量,YX它们的联合分布函数则由下面式子求出： ( , )iji jxx yyF x yp，(,)(,)ijijxyDPX YDp进一步，例2 一箱子装有5件产品，其中2件正品，3

6、件次品。每次从中取1件产品检验质量，不放回抽样，连续两次。如下：和定义随机变量YX10X，第一次取到次品，第一次取到正品10Y，第二次取到次品，第二次取到正品(, )X Y试求的分布律。解：得：按概率的乘法公式计算及对：可能取的值只有),1 , 1 ()0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4),(YX0,00 00P XYP XP YX210.1540,1P XY230.3541,0P XY320.3541,1P XY320.354：的分布律用表格表示为),(YXYZ联合分布表011114411022,61,31,4,0,31,4XUXXYZXXYZ 设随机变量，令求 ， 的联合分布

7、律。补例310,123,40,1340,11,134,411,146.2P YZPXP YZPXXP YZPXP YZPX 解：则有的分布率为设离散型随机变量,),(ijpYX1( )( ,)iXi jxx jFxF xp ), 2 , 1, 2 , 1(ji的分布律为X1,ii jiijP XxpP Xxp记为1,2,i 的分布律为Y1ji jjjiP YypP Yyp，记为1,2,j 分别称ip(1,2,)i jp(1,2,)j 为(, )X YX关于 和关于Y的的边边缘缘分分布布律律。边缘分布律边缘分布律4例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设 ,1,2,(, )X YX Y分别

8、表示投入第个邮筒内信的数目求的联合分布律及边缘分布律。解：)2 , 2(),1 , 2(),2 , 1 (),(2 , 1 , 0,取由题设，各自的取值为YXYX均不可能，因而相应的概率均为02110,039P XY2220,139P XY2110,239P XY2221,139P XY1,0, 2,0P XYP XY可由对称性求得再由古典概率计算得 ：所有计算结果列表如下 ：(, )XYX Y和 的边缘分布律可由的分布律确定( X,Y )关于Y的边缘分布律( X,Y )关于X的边缘分布律1212112121iiiii jjjjjji jiiXXxxxppppP XxppijYYyyypppp

9、P Yyppj （1 1）先先求求联联合合分分布布表表，然然后后对对联联合合分分布布表表中中第第 列列概概率率的的和和，得得的的边边缘缘分分布布表表，即即（联联合合分分布布表表中中第第 列列概概率率的的和和）（2 2）先先求求联联合合分分布布表表，然然后后对对联联合合分分布布表表中中第第行行概概率率的的和和，得得的的边边缘缘分分布布表表，即即（联联合合分分布布表表中中第第求求离离行行散散边边缘缘分分布布方方法法：概概率率的的和和）注注：XY有有时时也也可可不不求求联联合合分分布布，直直接接求求或或的的分分布布表表（即即边边缘缘分分布布）. .5例将只红球和只白球随机地投入已经编好号的3个盒子内

10、红球的数目，表示落入第设个盒子中去1,X及边缘分布律。的分布律求个盒子内白球的数目表示落入第),(,2YXY解：不妨分别把2只红球和2只白球看作是有差别的（例如编号），由古典概型计算得 1122422161,1381CCP XY 123类似地计算出下表内的其它结果 ：比较一下例4的表和例5的表，发现两者有完全相同的边缘分布律，而联合分布律却是不相同的。注：由边缘分布注：由边缘分布并不能唯一地确定并不能唯一地确定联合分布联合分布 。如果存在的分布函数是设二维随机变量),(),(YXFYX有使得对于任意的非负的函数yxyxf,),( , )( , )yxF x yf u v dudv (, )X

11、Y二维连续则称是型随机变量XY或称为随机变量 和 的联合概率密度( , )(, )f x yX Y函数称为二维随机变量的概率密度三、二维连续随机变量及其密度函数三、二维连续随机变量及其密度函数( , )f x y概率密度具有以下性质：( , )0f x y ）（ 1( , )1f x y dxdy ）（2）（3内的概率为）落在（上的区域是平面设GYXxoyG,(, )( , )GPX YGf x y dxdy）（4连续，则有在点若),(),(yxyxf2( , )F x yx y ( , )f x y例6（二维均匀分布）,GGS设 是平面上的一个有届区域 其面积为二维随机( , ),X YGG

12、变量只在 中取值 并且取 中的每一个点,(, )X Y都是“等可能的” 即的概率密度为由( , )1f x y dxdy 1GCS可得故有( , )f x y1, ( , )0 ,Gx yGS其它(, )(, )X YX Y如果有如上概率密度，则称服从).(,( )X YU GG记为均匀分布区域 上的，( , )f x y, ( , )0 ,Cx yG其它7例(, )X Y设二维随机变量具有概率密度( , )f x y(2)2,0 ,00,x yexy其它1( , )2F x yP XY试求:( )分布函数( )解：）（ 1( , )( , )yxF x yf u v dudv (2)002,

13、0,00,yxu vedudv xy 其它.2(1)(1),0,0( , )0,xyeexyF x y其它.即有）（2GyxXOY上方的区域记为平面的直线把位于1于是( , )( , )GP XYPx yGf x y dxdy(2)0223x yxedydx定义个随机变量上的是定义在样本空间设nXXXn,21则12(,)nXXXnn称为 维随机向量或 维随机变量个实数对于任意n12,nx xx函数12( ,)nF x xx1122,nnP Xx XxXxn称为 维随机变量12(,)nXXX的分布函数或12,nXXX随机变量的联合分布函数。(, )( , ),X Yf x y对于连续型随机变量设

14、的概率密度为于是( )( ,)( , )xXFxF xf u v dvdu 其概率密度是一个连续型随机变量则,X( )( , )Xfxf x y dy其概率密度量也是一个连续型随机变,Y( )( , )Yfyf x y dx( )(, )XfxX YX称为关于 的边缘概率密度( )(, )YfxX YY称为关于 的边缘概率密度边缘密度函数边缘密度函数1212( , )( , )|,( )( )( )( , )( , )( , )|,( )( )Xf x yGx yaxbxyxyXfxf x y dyxf x yGx yaybyxyxYYX （1 1）画画出出联联合合密密度度取取对对应应的的区区

15、域域，将将区区域域写写成成，即即，利利用用下下面面的的公公式式，对对积积分分得得的的边边缘缘密密度度：（关关于于的的函函数数）（2 2）画画出出联联合合密密求求连连续续边边缘缘密密度度方方法法：非非零零值值型型非非零零值值型型度度取取对对应应的的区区域域，将将区区域域写写成成，即即，利利用用下下面面的的公公式式，对对积积分分得得 的的( )( , )Yfyf x y dxy 边边缘缘密密度度：（关关于于的的函函数数）. .四、常用四、常用二维分布二维分布110DDGDX YDX YDGX Yx yDSf x yDSDXGYU DSPX YGX YD(,),( , )(,)(.(,)(,)(,)

16、( , ),(,)二维均匀分布二维均匀分布，记作服从区域 上均匀分布的二维随机变量在 上任意一点取值具定义：设二维随机变量的联合密度函数为其他其中 为有“等可能性”，故在 的任意子区域 上取值的概率仅与 的面积有关，于平面上的有界区域，为区域 的面积，则是称服从区域 上的11GDDDGGSdxdydxdySSS.2.二维正态分布 定义的联合概率密度为设二维随机变量),(YX),(yxf)()(2)()1 ( 21exp1212222212121212221yyxx,221221其中且都是常数,11, 0, 02121为服从参数为则称),(YX,221221的二维正态分布记为221212(,)

17、(,;,;)X YN 8例(, )X Y设二维随机变量在区域, 10| ),(2xyxxyxG( )( )XYfxfy上服从均匀分布，求边缘概率密度，。解：(, )X Y 的概率密度., 0, 10, 6),(2其它xyxxyxf则2266(),01,( )( , )0,.xxXdyxxxfxf x y dy其它66(),01( )( , )0,.yyYdxyyyfyf x y dx其它(, ),X YG注：虽然的联合分布是在 上服从均匀分布但是它们的边缘分布却不是均匀分布。,01,01( , )0,( ),( )XYX Ycxyxyf x ycX Yfxfy 设随机变量的联合密度函数为其他求

18、：（1）常数 ；（2）的边缘密度函数补例9。 作业作业 P72 1，2，3， P76 2 （离散型）（离散型） P72 4，5 ，P76 3，4 （连续型）（连续型）第二节 随机变量的条件分布其分布律为：是二维离散型随机变量设,),(YX,1,2,.iji jP Xx Yypi j的边缘分布律分别为：和关于关于YXYX),(1,1,2,iii jjP Xxppi1,1,2,.jji jiP Yyppj一、离散型随机变量的条件分布一、离散型随机变量的条件分布设0jp由条件概率公式可得,|,1,2,i jijijjjpP Xx YyP Xx YyiP Yyp的条件分布律条件下随机变量上式称为在Xy

19、Yj若同样的,0ip|iiP YyXx,ijiP Xx YyP Xxijipp1,2,j 的条件分布律条件下随机变量上式称为在XxXj不难验证以上两式均满足分布律的基本性质 。= ,= ,|,1,2,= ,= ,|i jijjjiji jijjji jijiiijipP Xx YypP YyP Xx YypP XxYyiP YyppP Xx YypP XxP Xx YP YyXx （1 1）先先求求出出联联合合概概率率分分布布，和和边边缘缘概概率率，然然后后按按条条件件概概率率公公式式直直接接计计算算，即即（2 2）先先求求出出联联合合概概率率分分布布，和和边边缘缘概概率率，然然后后按按条条件

20、件概概求求离离散散条条件件分分布布率率公公式式直直接接计计算算，即即方方法法：,1,2,ji jiiypiP Xxp 1例把两封信随机地投入已经编好号的3个邮筒内,设的条件分布律。条件下随机变量求在个邮筒内信的数目分别表示投入第XYYX0,2 , 1,解：的条件分布律为的条件下在XY00|0P XY0,00P XYP Y1949141|0P XY2949122|0P XY1,00P XYP Y2,00P XYP Y194914的边缘概率密度。和分别是关于和的概率密度为设YXyfxfyxfYXYX)()(),(),( )0Yfy 若则|P Xx Yy( , )( )xYf x ydxfy记为的条

21、件分布函数条件下称为在,XyY ( | )F x y的条件概率密度为时故XyY ( | )f x y( , )( )Yf x yfy类似可定义( | )F y x( , )( )yXf x ydyfx，( | )f y x( , )( )Xf x yfx二、连续型二、连续型随机变量的随机变量的条件分布（了解）条件分布（了解）(|)( , )(|)=( )(|)( , )(|)=( )YXYYyXxf x yf x yf x yfyXXxYyf y xf x yf y xfx（1 1）先先利利用用求求边边缘缘密密度度函函数数的的方方法法，求求出出的的边边缘缘密密度度，然然后后套套用用下下面面的的

22、公公式式即即可可得得到到在在的的条条件件下下的的条条件件密密度度，即即（2 2）先先利利用用求求边边缘缘密密度度函函数数的的方方法法，求求连连续续条条件件密密度度函函数数的的方方法法：求求出出的的边边缘缘密密度度，然然后后套套用用下下面面的的公公式式即即可可得得到到在在的的条条件件下下的的条条件件密密度度，即即的边缘概率密度。和分别是关于和的概率密度为设YXyfxfyxfYXYX)()(),(),(0,P XD若则,( , ),|( )X D Y GXX Df x y dxdyP YG XDP YG XDP XDfx dx 要求掌握类似条件概率的计算2例具有概率密度和设随机变量YX2211(

23、, )0,xyf x y，其它( ),( ),00XYfxfyP YX求解：( )Yfy( , )f x y dx22 1| 10,yy，其它22 1| 1( )( , )0,Xxxfxf x y dy，其它0,010002P XYP YXP X 作业作业 P79 1, 5(1) (3) 第三节 随机变量的独立性定义分别是二维随机变量及设)(),(),(yFxFyxFYX有所有若对函数的分布函数及边缘分布yxYX,),( yYPxXPyYxXP ,即)()(),(yFxFyxFYX是相互独立的。和则称随机变量YX, .xyxyxyXYDDP XD YDP XD P YD定理：随机变量 与 相互

24、独立的充要条件是：对任意实数集合和，有分别是连续型随机变量设)(),(),(,),(yfxfyxfYXYX独立条件等价于的相互和则密度的概率密度和边缘概率为YXYX,),()()(),(yfxfyxfYX( , ),( ),( )XYf x yfxfy在的一切公共连续点上成立相互独立的条件等价于和是离散型随机变量设YXYX,),(),(),(iiyxYX的所有可能取的值对于 iiiiyyPxxPyyxxP,即, 2 , 1, 2 , 1,.jipppjiij1例的分布律如下表所示设二维离散型随机变量),(YX?,相互独立和取何值时，当YX解：的边缘分布律分别为YX,则有相互独立和若,YX 11

25、11,212()939P XYP XP Y91,92解得均成立对所有此时iijiijyxppp,.相互独立和即YX 1111,313()18318P XYP XP Y2例一负责人到达办公室的时间均匀分布在812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在79时。设他们两人到达的时间是相互独立的，求他们到达办公室的时间相差不超过5分钟（1/12小时）的概率 。解：则达办公室的时间分别是负责人和秘书到和设,YX其它，, 0,128,41)(xxfX其它，, 097,21)(yyfY的概率密度为由独立性得),(YX1,812, 79,( , )( )( )80,.XYxyf x yfx fy其它依题意求概

26、率121YXP画出区域：121 yx以及长方形97;128yx它们的公共部分是BCC BG 四边形记为：小时。故所求的概率为超过不两人到达的时间相差才内取值于仅当12/1,),(GYX121YXPGGdxdyyxf的面积）(81),(GABCABC 的面积的面积的面积6112112112132122）（）（481121YXP于是即负责人和他的秘书到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为 1/48 22112( ,0,3)cx yxyf x ycX YX Y其 设二维随机变量的联合密度函数为，求： 常数 的大小；的边缘密补度例3函数；讨论他独立性。121212121.( )( )(,)()( )

27、2.(,)(,)(1,2,)(1,2,)( )( )(,)(,)mnijmnXYh xg yh Xg YXXXY YYX imYjnh xg yh XXXg Y YY 定定理理设设 和和 是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量，和和是是上上的的连连续续函函数数，则则和和也也是是相相互互独独立立的的随随机机变变量量。定定理理设设和和相相互互独独立立，则则和和相相互互独独立立，又又若若和和是是连连续续函函数数，则则和和也也补补充充：相相互互独独立立。n独立性推广到 维随机变量的可以随机变量的情况:设), 2 , 1()(),(21nixFxxxFiXni维随机变量分别是n),(21nXXX的分布

28、函数和边缘分布函数)()()(),(212121nXXXnxFxFxFxxxFN是相互独立的。则称nXXX,21相互独立的充要条件是故连续型随机变量nXXX,21)()()(),(212121nXXXnxfxfxfxxxfn相互独立的充要条件是离散型随机变量nXXX,21 nnnnxXPxXPxXPxXxXxXP22112211,12,nx xx若对任意实数有 作业作业 P84 2，4第四节 二维随机变量函数的分布(,)( , )(,)(,), ()(,)(,)( ) (,)( , ),( , )方方法法总总结结：（1 1）若若为为离离散散型型，则则的的分分布布律律为为， 像像的的概概率率等等

29、于于原原像像的的概概率率和和（2 2）若若为为连连续续型型，则则求求的的密密度度函函数数方方法法为为：先先求求分分布布函函数数，再再求求导导第第一一步步，第第二二步步，根根据据密密度度函函数数方方取取法法1 1：非非零零值值的的区区域域ijkkijg xyzZg x yzX YZg X YP ZzP Xx YyX YZg X YFzP ZzP g X YZf x y dxdyf x y ( , )| ( , )( )( )(2).0，讨讨论论 的的范范围围，从从而而确确定定积积分分区区域域的的形形式式，化化为为累累次次积积分分进进行行计计算算。，在在的的可可导导点点处处第第三三步步，对对 求求

30、导导，其其它它特特殊殊函函数数，用用公公式式（如如卷卷积积公公式式，极极大大极极小小分分布布公公式式）. .方方法法 ：ZZZzGx yg x yzFzFzzfz 第四节 两个随机变量的函数的分布的分布（一）YXZ的分布律为设二维随机变量),(YXijiipyYxXP, 2 , 1i, 2 , 1jYXZ若jikyxz则由上式及概率的加法公式，有 ijjikyYxXPzZP,iikixzYxXP,jjjkkyYyzXPzZP,或者1例的分布律为设二维随机变量),(YX的分布律试求YXZ解：,1 0 1 2,X YZ由可能取的值知 的可能值为:、 、 、且有1 . 01, 01YXPZP5 .

31、03 . 02 . 01, 10, 00YXPYXPZP2 . 01 . 01 . 00, 11, 01YXPYXPZP2 . 01, 12YXPZP的分布律为Z),(),(,yxfYX的概率密度为若对于连续型随机变量的分布函数为则YXZzyxZdxdyyxfzZPzF),()(左下方的半平面积分区域是位于直线zyx yzZdydxyxfzF),()(令yuxzyzduyyufdxyxf),(),(于是 zZdudyyyufzF),()( zdudyyyuf),(求导上式两边对zdyyyzfzfZ),()(的对称性由YX,( )( ,)Zfzf x zx dx,XY当 和 相互独立时 有卷积公

32、式( )()( )ZXYfzfzy fy dy( )( )()ZXYfzfx fzx dx或者2例其概率密度为正态分布都服从变量是两个相互独立的随机和设),1 , 0(,NYX2221)(xXexfx2221)(yYeyfy的概率密度求YXZ 解：由卷积公式dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221dxeezxz22)2(4212zxt令442222121)(ztzZedteezf则分布服从即)2 , 0(NZ3例其概率密度分别为相互独立设随机变量,YX其它, 010, 1)(xxfX其它, 00,)(yeyfyY的概率密度求随机变量YXZ：解法1利用公式dxxzfxf

33、zfYXZ)()()(仅当的定义知由,yxffzxxxzx10010即0,不为上述积分的被积函数才时由上图知)(zfZ1,)()(100)(zdxedxxzfxfzxzYZ0其它即)(zfZ,)()(00)(zzxzYZdxedxxzfxf10 z,1ze10 z,) 1(zee1z0其它：解法2的概率密度为),(YX其它, 00, 10,)()(),(yxeyfxfyxfyYX的分布函数为则ZzyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()( 00zFzZ时，当时当10 z1)(00 zedxdyezFzzxzyz时当1zzxzyzeedxdyezF )1 (1)(100ZXY（二）的分布（

34、了解（略）4例在矩形域设二维随机变量),(YX10 , 20|,yxyxG,上服从均匀分布)(sfSYX的概率密度的矩形面积和试求边长为解：的概率密度为由已知),(YX., 0,21,其它Gyxyxf则的分布函数为令,)(SsF sxydxdyyxfsSPsF,；时当0)(,0sFs；时当1)(,2sFs如下图所示时当,20 s )ln2ln1 (2211,21ssdxdydxdyyxfsFsxssxy 于是 . 2, 1, 20),ln2ln1 (2, 0, 0ssssssF的概率密度为故s ., 0, 20),ln2(ln21其它sssFsf的分布及（三）),min(),max(YXNYXM它们的分布函数变量是两个相互独立的随机设,YX的分布函数及。现求和分别为NMyFxFYX)()(zYzXPzMP,由于的分布函数为得到相互独立和而MYX, zYPzXPzYzXPzMPzF,max maxXYFzFz Fz即的分布函数类似可得N zYPzXPzYzXP