定积分的应用：平面曲线弧长

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长此折线的长|11 niiiMM的极限存在，则称此极限为的极限存在，则称此极限为曲线弧曲线弧AB的弧长的弧长.一、平面曲线弧长的概念 设设曲曲线线弧弧为为)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一阶阶连连续续导导数数xoyabxdxx 取取积积分分变变量量为为x，在

2、在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 二、直角坐标情形解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab ab例例 2 2 计计算算曲曲线线 dnynx 0sin的的弧弧长长)0( nx.解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22

3、cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 三、参数方程情形例例3 求星形线求星形线 的全长的全长.3cos,xat tay3sin 4a 轨迹 : 半径为半径为 a 的定圆滚动时, 其上定点 M 的轨迹即为星形线的动圆圆周沿axoytM323232ayx或分析：曲线为参数方程，由于星形线关于分析：曲线为参数方程，由于星形线关于 轴都对称轴都对称, x y所以只须考虑第一象限

4、中的情况。取参数所以只须考虑第一象限中的情况。取参数 为积分变量，为积分变量，t 对对 把区间把区间 上所对应的曲线上所对应的曲线0,2t 0,2t ,t tdt 段长段长 用切线段长用切线段长 代替代替,则得到曲线弧长的微元则得到曲线弧长的微元 s dsds的解析式。的解析式。 0,.2t 取参数取参数 为积分变量为积分变量,t22( )( ).dsx ty tdt 22210( )( )sx ty tdt 242242209cossin9sincosattattdt 2033sin222atdta 则所求曲线弧长为则所求曲线弧长为 146 .ssa 解解:曲线弧为曲线弧为)( )( rr

5、其中其中)( 在在, 上具有连续导数上具有连续导数. sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧长弧长.)()(22 drrs 四、极坐标情形解解,ar drrs )()(22 .)412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 dxxaxxdxaxIaxx222222 dxaxxaxaax2222222 dxadxaxaxxax2212222222222lnaxxaIaxx caxxaaxxI 2222221ln注：注：Ctttttdttttttdttdttttdtttttdtttttdttttdtdttttdt )tansecl

6、ntan(sec21sectanseclntansecsecsectansecsec)1(sectansecsectantansec)(sectantansec)(tansecsecsecsec332223故故原原式式解解：3sec tdt 平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 五、小结曲线方程曲线方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程22)(d)(ddyxs 弧微分弧微分 d)()(d22rrs 直角坐标方程直角坐标方程注意注意: 求弧长时积分上下限必须求弧长时积分上下限必须上大下小上大下小dtttsd)()(22 思考题思考题 闭区间闭区间,ba上的连续曲线上的连续曲线)(xfy 是否一定可求长？是否一定可求长？思考题解答思考题解答不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长曲线光滑才可求长二、二、 计算半立方抛物线计算半立方抛物线32