第二章1-力系的等效简化

1、二、二、 力的平移定理力的平移定理力的平力的平移定理移定理BBAM,FF FMFrM,FFBBAB FABFABFFABF FABMBArFFF 作用于刚体上的力，可以等效地平移到同一刚体上作用于刚体上的力，可以等效地平移到同一刚体上任一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩等任一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩于原来的力对此指定点的矩 FMACdFAFMAC三、三、 力系的简化力系的简化1、汇交力系的简化、汇交力系的简化平面汇交力系实例空间汇交力系实例方法：方法：几何法和解析法几何法和解析法（1 1）几何法）几何法(力多边形开口力多边形开口)inFFFFF21

2、R（2 2）解析法）解析法4F3F1F2FRFxy3F1F4F2FORFiFFRixxFFRiyyFFRizzFFR合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上 的代数和的代数和。两边向坐标轴投影：l汇交力系的简化结果是汇交力系的简化结果是作用在汇交点的一合力。作用在汇交点的一合力。222RiziyixFFFFRcosFFixRcosFFiyRcosFFiz特例：平面汇交力系特例：平面汇交力系iFFRixxFFRiyyFFR22RiyixFFFRcosFFixRcosFFiy例例1 汇交力系汇交力系 的作用点在边长为的作用点在边长

3、为 2m 的正六面体相应的正六面体相应试求合力的大小与方向。试求合力的大小与方向。321FFF的顶点的顶点O上上,三力的大小分别为三力的大小分别为N22N,2N,3321FFF 1F O 2F 3F P1 P2 P3 x z y RF 解：解：kjFjiFkF223321123 35RFFFFijk合力：合力：22235 NRRxRyRzFFFF合力的方向为：合力的方向为：27.80/arccos:00FFxx为轴的夹角与53.59/arccos:00FFyy为轴的夹角与31.32/arccos:00FFzz为轴的夹角与合力大小：合力大小：1RxixFF 3RyiyFF 5RzizFF 2、力

4、偶系的简化、力偶系的简化iMM 简化方法同汇交力系简化方法同汇交力系几何法：几何法：222iziyixMMMMMMixcosMMiycosMMizcos解析法：解析法：ixxMM iyyMM izzMM 特例：平面力偶特例：平面力偶系系iMM 例例2：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为受的切削力偶矩均为8080N Nm, m, 。试求工件所受合力偶的矩在。试求工件所受合力偶的矩在轴轴x x，y y，z z上的投影上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方并求合力偶矩矢的大小和方向。向。合力偶矩矢的大小合力偶

5、矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦角：合力偶矩矢的方向余弦角：解：解： 453、任意力系的简化、任意力系的简化F2A2AnFnzxy0zxy0M1F1F1A1FRM2F2FnMnzxy0M0附加力偶附加力偶主矢，主矩主矢：主矢：iFFR主矩：主矩：)(00iiFMMM（1 1） 空间任意力系的简化空间任意力系的简化O O：简化中心简化中心简化结果讨论简化结果讨论: :1、主矢主矢 而主矩而主矩 0RF0OM与简化中心无关与简化中心无关3、0;0ORMFRFOM（1）RFMORFFRFRFR2、0RF0OMRFMdO平移距离：平移距离：平移方向：平移方向：OMFR的方向的方向M0FR右手力螺旋右手力

6、螺旋左手力螺旋左手力螺旋RFOM（2 2）力螺旋力螺旋RFOM与方向一致RFOM与方向相反OORMFMFR,0,0RFMORFMO2MO1MO1RFRFMO112ORRROORR(MF )FFMM cosFF2RRFMFdOOORsinFMdOMO1RFRFdRF例例3：曲杆OABCD的OB段与y轴重合，BC段与x轴平行，已知F1=F2=50 N，F3=100 N，F4=100 N，L1=100 mm，L2=75 mm。试求力系简化的最终结果，并确定其位置。N502RFFx034RFFFyN501RFFzN2502R2R2RRzyxFFFF22cos, 0cos,22cos解：解：主矢：主矢：

7、方向：方向：简化中心：简化中心：B B点点大小：大小：N )(50RkiFmN5 . 22411LFLFMBx0ByM02423LFLFMBzmN5 . 2iMB451 76 N mBB(M )M sin. 451 76 N mBB(M )M cos. 主矩：主矩：RFBM不垂直于BMRF 向及其垂线方向分解：最后结果最后结果：RFBM与组成的力螺旋。)(25. 1)(50)(50)(50)(505 . 2)(2RRRkikikikikiiFFFMMBBjikiFMFdB025. 050005 . 2)(502RR中心轴位置:N )(50RkiF主矢：主矢：2 2、平面任意力系的简化、平面任意

8、力系的简化主矢：主矢：OFnMnF1M1MOFRF2A2F1A1AnFn=简化中心简化中心附加力偶附加力偶主矢，主矩主矢，主矩RRRRcos,sinyxFFFFiRFFixRxFFiyRyFFF2M2主矩：主矩：OOiMMF1 1、FR与简化中心与简化中心O无关，无关，MO与简化中心与简化中心O有关有关2 2、合力、合力= =主矢主矢+ +主矩主矩简化结果讨论：简化结果讨论：1、FR=0，MO0，一个力偶一个力偶平面力偶系。与简化中心无关平面力偶系。与简化中心无关2、FR 0，MO=0；一个力一个力3、 FR 0，MO0进一步简化为作用于另一点的一个力进一步简化为作用于另一点的一个力平面任意力

9、系不存在力螺旋平面任意力系不存在力螺旋例例1 1：图示平面力系，已知：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三角形为三角形边长，若以边长，若以A A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图中画出。为简化中心，试求简化的最后结果，并在图中画出。0 30sin60cos 421RFFFFFxxFFFFFFyy 30cos60sin 321RjFjFFyRR解：解：力系向力系向A A点简化点简化主矢：主矢： FahFMaFFMMAA133. 123jFFFRRaFaFFMdA133. 1/133. 1/R主矩：主矩：合力大小和方向： 合力作用点D至A点距离：RFRFAM=， =

10、 9m3m1.5m3.9m5.7m3m9084.70（四）平行力系的简化（四）平行力系的简化eFFii主矩：主矩：eFrMiio eMoRFMo原力系可简化为一个合力，原力系可简化为一个合力，合力为：合力为：eFFiR合力的作用点称为平行力系的中心。合力的作用点称为平行力系的中心。主矢：主矢：eFFiR确定合力作用点为确定合力作用点为C C由合力矩定理可知：由合力矩定理可知： iiCiCCFrFMM RCFM0CiiCrrr0eFrriCi0eFrrFiciiiiicFrFriiicFxFxiiicFyFyiiicFzFz公式适用于任何主矢不等于零的平行力系公式适用于任何主矢不等于零的平行力系

11、平行力系实例一：重力平行力系实例一：重力Pi(xi,yi,zi)P (xC,yC,zC)yCxCyxzyixixC= Pi xi/P,yC= Pi yi/P,zC= Pi zi/P,Criri iCPrrP矢量式：矢量式：目的：确定重心目的：确定重心MrmriiC质心公式质心公式匀质物块：匀质物块：P= V, (比重比重 体积体积V)xc= Vi xi/Vyc= Vi yi/Vzc= Vi zi/VVVxVdVVyVdVVzVd匀质板壳：匀质板壳：P= At, (比重比重 面积面积A t厚度厚度)xc= Ai xi/Ayc= Ai yi/Azc= Ai zi/AAAxAdAAyAdAAzAd匀

12、质细杆：匀质细杆：P= LA, (比重比重 长度长度L截面积截面积A)xc= Li xi/Lyc= Li yi/Lzc= Li zi/LLLxLdLLyLdLLzLdLAV积分法积分法积分法积分法积分法积分法例例3 3：图示匀质扇形薄板，图示匀质扇形薄板，r r、 已知。试已知。试求：重心的位置。求：重心的位置。解解：取对称轴故取对称轴故y yc c=0=0，再用极再用极坐标示积分式。坐标示积分式。xy C,AAdxxAC ,21rdrAdA22- ,sin32)d21( cos32122Crrrrx 如：如： = /2， 则则:xc=(4r/3 )积分法积分法 rcos32x,rSrA2d2

13、1d21drxydSd 2cos 3xr例例4 4：图示槽钢横截面，试求：此截面重心的位置。图示槽钢横截面，试求：此截面重心的位置。A1=3010=300cm2, x1=15cm；解：解：取对称轴故取对称轴故y yc c=0=0，再分割成有规律的几个物体再分割成有规律的几个物体A2=2010=200cm2, x2=5cm；A3=3010=300cm2, x3=15cm；12.5cm321332211C AAAxAxAxAx分割法：将物体分割成规则的几个形体分割法：将物体分割成规则的几个形体例例5 5：图示为机械振动打桩机偏心块，巳知：图示为机械振动打桩机偏心块，巳知：R R=10cm,=10c

14、m,r r=1.7cm,=1.7cm,b b=1.3cm=1.3cm，试求：此重心的位置。试求：此重心的位置。解：解：取对称轴故取对称轴故x xc c=0=0，再分割成再分割成A A1 1, , A A2 2, , A A3 3三个物体三个物体A3A1A2yx34034y1R291.3)(1.72122A231.7A。3.9cm1.72950)4(29340502321332211c AAAyAyAyAy负面积法负面积法50102121A,43)4(2bry03y例例6 6：图示为任意板块物体，试用试验法板块求重心图示为任意板块物体，试用试验法板块求重心的位置。的位置。解：解：1.先在物体先在物体A点悬挂作垂直线；点悬挂作垂直线；悬挂法悬挂法BlPAlPCBA2.再在物体再在物体B点悬挂作垂直线；点悬挂作垂直线；3.二根垂直线交点二根垂直线交点C是重心的位置。是重心的位置。平行力系实例二：平行分布载荷平行力系实例二：平行分布载荷平行分布载荷：平行分布载荷：平行分布的表面力或体积力，通常是 连续分布的同向平行力系，在工程中极为常见。某些平行分布的载荷可以简化为沿直线分布的平行力，称为线载荷线载荷。荷载集度荷载集度q：单位长度上所受的力。 dxxqdFq xdxqFbaq合力：合力：作用点：作用点： qbacFxdxxqx