2020年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析

1、浙江省温州市2020 年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=12 345A= 123 ，B=345A B=（）， ， ，集合 ， ，则?UA3 B 1245C 1 2D135 ， ， ， ， 2已知实数x， y 满足，则 z=x y（）A 最小值为 1，不存在最大值B最小值为 2，不存在最大值C最大值为1，不存在最小值D最大值为2，不存在最小值3直线 l1：mx y1=0与直线l2：（m2xmy1=0，则“m=1” “l l2”的（）+） +是1A 充分不必要条件B 充要

2、条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A 4BC 8D5设集合S= A0， A 1，A 2， A 3 ，在S 上定义运算为：A i A j =A k，其中k 为i+j被 4 除的余数，i， j=0 ， 1， 2， 3若（ A 2A 3） A m=A 0，则m 的值为（）A 0B 1C 2D 36点 P 到图形C 上所有点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离， 那么平面内到定圆C的距离与到圆C 外的定点A 的距离相等的点的轨迹是（）A 射线B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线7数列 an 是递增数列，且满足an+

3、1=f （ an）， a1（ 0， 1），则 f（ x）不可能是（）A f （ x） =B f （ x） =2x1 C f（ x） =D f （ x） =log 2（ x+1）8棱长为 2 的正方形 ABCD A 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，点 P，Q 分别为面 A 1B 1C1D 1和线段 B1C 上的动点，则 PEQ 周长的最小值为（）A2B CD2二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分）9以椭圆=1 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是，离心率为10函数的图象如图所示，则=， =11已知等差数列 an 的公差为 3，

4、且 a3 是 a1 和 a4 的等比中项， 则通项 an=，数列 an 的前 n 项和 Sn 的最大值为12设奇函数 f （x） =，则 a+c 的值为，不等式f （ x） f（ x）在 x ， 上的解集为13a b满足log 2a=log 5b=lga b的值为若正数 ，（+ ），则14114x0a ? 2x01 2x01a 的取值范围若存在 x0 ， 使得不等式成立，则实数是15如图，矩形ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ， M ， N 分别为线段BC，CD 上的点，且满足，若，则 x+y 的最小值为三、解答题（本大题共5 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

5、.）16在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=（ ）求 sinC 的值；（II ）设 D 为 AC 的中点，若 ABC 的面积为8 ，求 BD 的长17如图，矩形 ABCD 中，=（ 1），将其沿 AC 翻折，使点 D 到达点 E 的位置，且二面角 C AB E 为直二面角（1）求证：平面 ACE 平面 BCE；（2）设 F 是 BE 的中点，二面角E AC F 的平面角的大小为，当 2，3 时，求 cos的取值范围18已知二次函数 f（ x）=ax2+bx+c（a 0）的图象过点（ 1， 0）（ 1）记函数 f （x）在 0， 2上的最大值为 M ，

6、若 M 1，求 a 的最大值；（ 2）若对任意的 x1 0， 2，存在 x2 0， 2 ，使得 f（ x1） +f （ x2 ）a，求的取值范围19已知椭圆=1（ a b0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点 P（ a，b）满足 PF1F2 是等腰三角形（ 1）求该椭圆方程；（ 2）过 x 轴上的一点M （m， 0）作一条斜率为k 的直线 l ，与椭圆交于点A ， B 两点，问是否存在常数k，使得 | MA | 2+| MB | 2 的值与m 无关？若存在， 求出这个k 的值；若不存在，请说明理由20设正项数列 an 满足： a1=1，且对任意的n， m N+， n m，均有 a2n+ma

7、2nm=n2 m2成立（ 1）求 a2， a3 的值，并求 an 的通项公式；（ 2）（ ）比较 a2n1+a2n+1 与 2a2n 的大小；（）证明：a a a2+ 4+ + 2n2020 年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8 个小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集U=12 345A= 123 ，B=345A B=（）， ， ，集合 ， ，则?UA3 B 1245C 1 2D135 ， ， ， ， 【分析】 由全集 U 及 B ，求出 B 的补集，找出A 与 B 补集的交集即可【解答】 解：

8、全集U=1234 5A=123 ，B=345 ， ， ，集合 ， ， ， ?UB= 1， 2 ，则 A ?UB= 1，2 ，故选： C【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2已知实数x， y 满足，则 z=x y（）A 最小值为1，不存在最大值B最小值为2，不存在最大值C最大值为1，不存在最小值D最大值为2，不存在最小值【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=x y，得y=x z 表示，斜率为1 纵截距为z 的一组平行直线，平移直线y=x z，当直线 y=x z 经过点 A

9、时，即和直线AD ：x y= 1 平行时，直线y=x z 的截距最大，此时 z 最小，最小为 1，无最大值，故选： A【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用 z 的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决3直线 l1： mx+y 1=0 与直线 l 2：（ m 2） x+my 1=0，则 “m=1”是 “l1l 2”的（）A 充分不必要条件B 充要条件C必要不充分条件D 既不充分也不必要条件【分析】 对 m 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出【解答】 解：当 m=0 时，两条直线分别化为：y 1=0， 2x+1=0 ，此时两条直线相互垂直， m=0 当 m0

10、 时，若 l 1 l 2，则 m（）= 1，解得 m=1综上可得： m=0，或 m=1，故 “m=1”是 “l1 l 2”的充分不必要条件，故选： A【点评】 本题考查了简易逻辑的判定方法、 两条直线相互垂直的充要条件， 考查了推理能力与计算能力，属于基础题4已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A4BC8D【分析】 由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】 解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个矩形：两条边分别是4、 2，且四棱锥的高是2，几何体的体积V=，故选： B【点评】 本题考查三

11、视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，A，A，A ，在S上定义运算为：AA，其中ki j被4除5设集合S= A=A为 +0123ijk的余数， i， j=0 ， 1， 2， 3若（ A 2A 3） A m=A 0，则 m 的值为（）A0B1C 2D 3【分析】 根据新定义进行推理计算即可【解答】 解： 2+3=5， 5 除 4 的余数为1， A2A3=A 1，则 A 1 A m=A 0 ，则 1+m 是 4 的倍数，则 m=3，故选： D【点评】 本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键比较基础6点 P 到图形C 上所有点的距离的最小值称为点P 到

12、图形C 的距离， 那么平面内到定圆C的距离与到圆C 外的定点A 的距离相等的点的轨迹是（）A 射线B 椭圆C 双曲线的一支D 抛物线【分析】 根据题意可知| PC| r=| PA| ，即P 到C 与 A的距离之差为常数，故而P 在双曲线上运动【解答】 解：设圆C 的半径为r，由题意可知P 到圆 C 的距离为 | PC| r， | PC| r= | PA| ，即 | PC| | PA | =r P 点轨迹为以A ， C 为焦点的双曲线靠近A 点的一只故选： C【点评】 本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题，7数列 an 是递增数列，且满足 an+1=f （ an）， a1（ 0， 1），则 f（

13、 x）不可能是（）A f （ x） =B f （ x） =2x1 C f（ x） =D f （ x） =log 2（ x+1）【分析】 A 由 a1（ 0， 1），可得an，即可判断出数列 an 的单调性；B由 a1（ 0， 1），不妨取 a1=，则 a2= 1=1，即可判断出数列 an 的单调性；C：f（ x）=，令 2xx2 0，可得得 0 x 2由 （f x）=，利用二次函数的单调性及其a1（ 0， 1），即可判断出数列 an 的单调性；D利用几何画板画出图象y=log 2（ x+1）， y=x ，可知：在 x（ 0，1）时， log2（ x+1）x，即可判断出数列 an 的单调性【解答

14、】 解：对于A a1（ 0， 1）， an，可得数列 an 是递增数列；对于 B a1（0， 1），不妨取a1= ，则 a2= 1= 1，因此数列 an 不是递增数列；对于 C：（fx）=，令 2x x2 0，解得0 x 2由 （fx）=，可知：当0x 1 时，函数 f （ x）单调递增；当1 x2 时，函数 f（ x）单调递减 a1（ 0， 1），数列 an 是递增数列；对于 D 利用几何画板画出图象y=log 2（ x+1）， y=x，可知：在 x（ 0， 1）时， log 2（ x+1） x， an+1=log 2（ an+1） an，因此数列 an 是递增数列故选： B【点评】 本题考

15、查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题8棱长为 2 的正方形ABCD A 1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，点 P，Q 分别为面A 1B 1C1D 1和线段 B1C 上的动点，则PEQ 周长的最小值为（）A2B CD2【分析】 由题意， PEQ 周长取得最小值时，P 在 B 1C1 上，在平面B 1C1CB 上，设 E 关于B1C 的对称点为M ，关于 B1C1 的对称点为N ，求出 MN ，即可得出结论【解答】 解：由题意，PEQ 周长取得最小值时，P 在 B1C1 上，在平面 B1C1CB 上，设 E 关于 B1C 的对称点为M ，关于 B1C1

16、的对称点为N，则EM=2 EN=， MEN=135 ，MN=故选： B【点评】 本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分）9以椭圆=1 的焦点为顶点， 长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y= x，离心率为【分析】 由椭圆=1 的焦点坐标为（， 0），长轴顶点为（2， 0），求出双曲线的标准方程，由此能求出结果【解答】 解：椭圆=1 的焦点坐标为（， 0），长轴顶点为（2， 0），以椭圆=1 的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为：=1，双曲线的渐近线方程是y=

17、x，离心率e=故答案为：，【点评】 本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用10函数的图象如图所示，则= 2 ， =【分析】 通过函数的图象，求出T 然后求出，利用图象经过（， 0）求出 的值【解答】2，解：由图象可知T= ，则 =2，函数经过点（， 1）， 1=2sin （2 +）， sin=，故=；| | 故答案为2，【点评】 本题是基础题， 考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用11已知等差数列an 的公差为3，且a是 a1 和 a4 的等比中项，则通项a =3n+15，3n数列 an 的前 n 项和 S

18、n 的最大值为30【分析】 由题意可得（ a16）2=a1（ a1 6），解之可得a1，代入通项公式得到an= 3n+15，再判断数列 an 的前 n 项和 Sn 的最大值的n 的情况，即可求出，【解答】 解：由题意可得（a1 6） 2=a1（ a1 9），解得 a1=12 ， an=12+（ n 1）（ 3） = 3n+15， an=3n+150，解得 n 5， S5=5 12+=30，故答案为： 3n+15， 30【点评】 本题考查等差数列的前n 项和公式和等比中项的定义，属基础题12设奇函数f （x） =，则 a+c 的值为0，不等式f （ x）f（x）在x 上的解集为，【分析】 根据函

19、数奇偶性的定义和性质求出a，b，c 的值，利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论【解答】 解： f （ x）是奇函数， f （ 0） =0，即 f（ 0） =acos0 sin0+c=a+c=0，即 a+c=0，则 f（ x） =，若 x 0，则 x 0，则f（x）=acosx+sinxa=cosxbsinxa ，则 a= 1， b= ， c=1，即 f（ x） =，若0 x ，则由 f （x） f （ x）得 cosxsinx +1cosx+sinx 1，即cosxsinx1，即cosx），+（0 x ， x，则 x，即 x ，若 x0，则由 f （x） f （ x）得 cosxsinx 1

20、 cosx+sinx +1，即 cosxsinx 1，即 cos（ x+） ， x0， x+，则x+，即x0 ，综上不等式的解集为，故答案为：【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a，b，c 的值，利用分类讨论的思想结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键13若正数ab满足log 2a=log 5b=lga b的值为1，（+），则【分析】 设 log 2a=log 5b=lg（ a+b）=k，可得 a=2k，b=5k， a+b=10k，可得 a+b=ab即可得出【解答】 解：设 log2a=log5b=lg （ a+b）=k ， a=2k， b=5 k， a+b=10 k

21、， ab=10k， a+b=ab，则=1故答案为： 1【点评】 本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题141 14x0a ? 2x01 2x01若存在 x0 ， 使得不等式成立，则实数 a 的取值范围是0，【分析】 将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立不等式关系进行求解即可得到结论【解答】 解：不等式 |4a212等价为2+ | ，即 | 2+ a| 2，即 22+ a 2，即 a2 2+ 2+a，设 t=2，当 x0 1， 1 是 t ， 2 ，设 y=t+ ，则函数在 ， 1 上是减函数，在 1， 2 上是增函数，则当 t=

22、1 时，函数取得最小值y=1 +1=2，当 t=2 或 t=，函数取得最大值y=+2=，则 2 y，即 a 2 y 2+a，若 a2a 22 没有公共点， ，+ 与，则a 22或a 2，+即 a0 或 a，则若 a 2， a+2与 2， 有公共点，则 0 a，故答案为：0 ，【点评】 本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用不等式求出不等式的范围，建立不等式关系是解决本题的关键15如图，矩形ABCD 中， AB=3 ， AD=4 ， M ， N 分别为线段BC，CD 上的点，且满足，若，则x y的最小值为+【分析】 由题意建立平面直角坐标系，设点M （ 3， a）， N （b， 4

23、）， 0 a 4， 0 b 3；求得 b=， a=，从而可得+=（ x+y 1） 2，再设 x+y=m ，则 x=m y；利用判别式即可求出m 的最小值【解答】 解：由题意建立如图所示坐标系，如图所示；设点 M （ 3， a）， N（ b， 4），且 0 a4， 0 b3； =（ 3， 4）， =（ 3，a）， =（ b，4）；又 =x +y ，（ 3， 4） =x（ 3， a） +y（ b， 4），即， b=， a=，+=+=+=1，即+=（ x+y 1） 2，设 x+y=m ，则 x=m y；则+=（m1 2， ）即 25y2 18my +9m2144（ m 1）2=0 ，故 =（ 18m

24、） 2 4 25（ 9m2 144（ m 1）2） 0，即 24m250m+25 0，解得， m或 m（舍去）； x+y 的最小值故答案为：【点评】本题考查了平面向量的应用问题， 也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题，是较难的题目三、解答题（本大题共5 小题，共74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16在 ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=（ ）求 sinC 的值；（ II ）设 D 为 AC 的中点，若ABC 的面积为8，求 BD 的长【分析】 （ 1）利用向量的数量积和正玄定理得出sinBcosA=sinAcosB ，根据三角

25、公式得出A=B ，根据诱导公式求解即可（ 2）利用面积公式，以及余弦定理求解即可【解答】 解：在 ABC 中，=， cbcosA=cacosB ，即 bcosA=acosB，sinBcosA=sinAcosB ，sin（ A B ）=0，A=B ， sinA= sinC=sin （ 2A ） =sin（ 2A ） =2sinAcosA=2 =（ 2）设 AC=BC=m ， ABC 的面积为8，=，m=3， cosC=，根据余弦定理得出：BD 2=m 2=m2=BD=【点评】 本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：

26、该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具要17如图，矩形 ABCD 中，=（ 1），将其沿 AC 翻折，使点 D 到达点 E 的位置，且二面角 C AB E 为直二面角（1）求证：平面 ACE 平面 BCE；（2）设 F 是 BE 的中点，二面角E AC F 的平面角的大小为，当 2，3 时，求 cos的取值范围【分析】 （ ）推导出 AB BC，BC AE ，从而 AE 平面 BCE，由此能证明平面 ACE 平面 BCE （ ）以 E 为坐标原点，以 AD 长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 cos的取值范围【解答】 （本题 15

27、分）证明：（ ）二面角CAB E 为直二面角， AB BC ， BC AE 平面， BC AE （ 2 分） AE CE， BCCE=C ， AE 平面 BCE（ 4 分） AE ? 平面 ACE ，平面 ACE 平面 BCE（ 6 分）解：（ ）如图，以E 为坐标原点，以AD 长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB= （8 分）则设平面 EAC 的法向量为则，取 x=1 ，则（ 10 分）同理设平面 FAC 的法向量为（ 12 分）（ 14 分）（ 15 分）【点评】 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18已

28、知二次函数2bx ca 010）f（ x）=ax +（ ）的图象过点（，1fx）在 0 2M，若M1a的最大值；（ ）记函数（， 上的最大值为 ，求2x1 0 2x2 0 2 ，使得fx1）f xa的取值（ ）若对任意的， ，存在，（+（ 2），求范围1f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=maxf0f2），【分析】 （ ）方法一：由（ ），（即，两式相加可得a 的最大值；方法二：=，结合 M 1，可得 a 的最大值（ 2）存在，使，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案【解答】 解：（ 1） f （ x）过点（ 1， 0）， f （ 1） =a+b+c=0， （ 1

29、分） c= a b， f （ x） =ax2+bxa b f （ x）是开口向上的抛物线， M=max f（0）， f（ 2） （ 3 分）（5 分）两式相加得a1，即a 的最大值为1（ 6 分）解法二：由解得：=1 （6分）（ 2）由题意，存在，使，（8 分） a+b+c=0 f （ x） =ax2+bx a b 其对称轴为 当，即时， f（ x）在 0，2 上单调递增， 0 均符合题意（10 分） 当，即时，f （ x）在 0， 上递减，在 ， 2 上递增且 f （ 0） f（ 2），由得：，符合题意（ 12 分） 当，即时，f （ x）在 0， 上递减，在 ， 2 上递增且 f （ 0） f（ 2），由得：符合题意（ 13 分）当即fx）在 02上单调递减，时，（， ，均符合题意（ 14 分）综上所述：或（ 15分）【点评】 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键19已知椭圆=1（ a b0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点 P（ a，b）满足 PF1F2 是等腰三角形（