第六章 矩阵位移法

1、第六章矩阵位移法第六章矩阵位移法1 基本概念基本概念2结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法3单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）4单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换 5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理6后处理法后处理法7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法基本概念基本概念求解固体力学问题的方法求解固体力学问题的方法解析法解析法应用经典理论，具有精确解，但求解范围局限应用经典理论，具有精确解，但求解范围局限数值法数值法应用线性代数中的矩阵理论，具有近似解，能收敛于应用线性代数中的矩阵理论，具有近似解，能收敛于经典解答

2、，求解范围广经典解答，求解范围广结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法假定：采用等截面直杆单元，承受节点荷载（非节点荷载另行解决）假定：采用等截面直杆单元，承受节点荷载（非节点荷载另行解决）离散化的基本原则：离散化的基本原则：在截面变化，荷载作用点，结构转折处编码、标注在截面变化，荷载作用点，结构转折处编码、标注坐标系的建立坐标系的建立整体（结构）坐标系（整体（结构）坐标系（x，y，z）局部坐标系（）局部坐标系（）a）轴从）轴从ijb）轴以）轴以i为原点将轴逆转度为原点将轴逆转度c) 轴符合右手定则轴符合右手定则z, y, xxyzx一杆端位移的表示一杆端

3、位移的表示 ejiu单元单元i(j)端局部坐标系下沿端局部坐标系下沿方向的轴向位移分量方向的轴向位移分量xx e) j ( iv单元单元i(j)端局部坐标系下沿端局部坐标系下沿方向的横向位移分量方向的横向位移分量y e) j ( i单元单元i（j）端局部坐标系下绕着）端局部坐标系下绕着方向的转角位移分量方向的转角位移分量z结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法二杆端力的表示二杆端力的表示轴力：单元轴力：单元i（j）端局部坐标）端局部坐标下的轴向力分量下的轴向力分量 ejiX剪力：单元剪力：单元i（j ） 端局部坐标端局部坐标下的横向力分量下的横向力分量 e

4、jiY弯矩：单元弯矩：单元i（j ） 端局部坐标端局部坐标下的弯矩分量下的弯矩分量 ejiM结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法三杆端位移列阵三杆端位移列阵 Tejjjiiiejjjiiiejievuvuvuvu TejjjiiiejjjiiiejieMYXMYXMYXMYXfff四杆端力列阵四杆端力列阵结构的离散化及结构的离散化及杆端位移（力）的表示方法杆端位移（力）的表示方法单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）所谓单元刚度方程指的是单元杆端位移与杆端内力间关系的方程所谓单元刚度方程指的是单元杆端位移与杆端内力间关系的方程有两种处理方法。有

5、两种处理方法。一先处理法及后处理法：是否先（后）处理边界条件一先处理法及后处理法：是否先（后）处理边界条件先处理法的优缺点：先处理法的优缺点：k阶数低，不统一阶数低，不统一后处理法的优缺点：后处理法的优缺点：k阶数高，统一，但有较多的零元素阶数高，统一，但有较多的零元素二不考虑杆端约束条件的刚度方程二不考虑杆端约束条件的刚度方程桁架（轴力）单元的单元刚度矩阵桁架（轴力）单元的单元刚度矩阵）仅在）仅在i或或j端有单位位移时引起的杆端力端有单位位移时引起的杆端力eijk eiXi ejXiijj eiu eju LEAkLEAk,LEAkLEAke12e22e21e11设设 0u, 1uejei

6、)(ke11 )(ke21) 1 ( i)2( j1令令 1ue1e1设设 1u, 0uejei )(ke12 )(ke22) 1 ( i)2( j1令令 1ue2e2 eiu单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析） jiejie22122111ejiuu1111LEAuukkkkXX eje22eie21ejeje12eie11eiukukXukukX）实际杆端位移引起的杆端力）实际杆端位移引起的杆端力 ejeiu,u ejeiX,X单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）刚架类单元（不计轴向变形）刚架类单元（不计轴向变形）ij eiv ejv ejM eiM ei ej e

7、iY ejY eef TejjiiTejjiivvMYMYij e11eikY e21eikM e31ejkM e41ejkY令令 1veie1其他为零其他为零ij2ijLEI6M 2jiLEI6M 3ijLEI12Q 3jiLEI12Q 单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析） ei2e413e312e213e11vLEI6kLEI12kLEI6kLEI12kij e22eikM e42ejkM e32ejkY令令 1eie2其他为零其他为零 e12eikY1i eie422e32e222e12LEI2kLEI6kLEI4kLEI6kijLEI4MijLEI2Mji2ijLEI6Q

8、2jiLEI6Q 单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）ij e23eikM e43ejkM e33ejkY令令 1veje3其他为零其他为零 e13eikYij3ijLEI12Q 3jiLEI12Q 2ijLEI6M 2jiLEI6M ej2e433e332e233e13vLEI6kLEI12kLEI6kLEI12k单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）ij e14eikM e34ejkM e44ejkY令令 1eje4其他为零其他为零 e24eikY1jijLEI2MijLEI4Mji2ijLEI6Q 2jiLEI6Q eje442e34e242e14LEI2kLEI6

9、kLEI4kLEI6k单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）汇总：汇总： eje44eje43eie42eie41ejeje34eje33eie32eie31ejeje24eje23eie22eie21eieje14eje13eie12eie11eikvkkvkMkvkkvkYkvkkvkMkvkkvkY ejjiie44434241343332312423222114131211ejjiivvkkkkkkkkkkkkkkkkMYMY单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析） eeekf单元刚度矩阵中元素的物理意义：单元刚度矩阵中元素的物理意义：（）每个元素表示单元抵抗某方向的

10、单位位移的能力（）每个元素表示单元抵抗某方向的单位位移的能力（）单元刚度矩阵的某一行表示所有的单位杆端位移对某一杆端力（）单元刚度矩阵的某一行表示所有的单位杆端位移对某一杆端力的影响的影响（）某一列元素表示某一单位位移分别引起的各杆端力分量（）某一列元素表示某一单位位移分别引起的各杆端力分量考虑轴向变形的刚架类单元的单元刚度方程考虑轴向变形的刚架类单元的单元刚度方程 eijk1j TejjjiiieTejjjiiieMYXMYXfvuvu杆端位移杆端位移单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）杆端力杆端力 ejjjiiie222323222323ejjjiiivuvuLEI4LEI60

11、LEI2LEI60LEI6LEI120LEI6LEI12000LEA00LEALEI2LEI60LEI4LEI60LEI6LEI120LEI6LEI12000LEA0LEAMYXMYX单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义：（）是一个关于主对角线对称的方阵，行数杆端力数，（）是一个关于主对角线对称的方阵，行数杆端力数，列数杆端位移数列数杆端位移数 （）行列式的值为零该方阵是一个奇异阵，即不可逆（无）（）行列式的值为零该方阵是一个奇异阵，即不可逆（无）也即不能由杆端力来求杆端位移，因为没有考虑边界条也即不能由杆端力来求杆端位移，因为没有考虑

12、边界条件，故有不定解（有刚体位移）件，故有不定解（有刚体位移）（）将单元刚度矩阵用分块的子阵表示便于组装结构的总刚度矩阵（）将单元刚度矩阵用分块的子阵表示便于组装结构的总刚度矩阵 1ek ek ejiejjjiijiiejikkkkff单元刚度方程（单元分析）单元刚度方程（单元分析）单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换xyxy eiY eiX eiY eiX eieiMM一坐标转换矩阵一坐标转换矩阵由图示两种坐标系可知，力分量的由图示两种坐标系可知，力分量的代换关系为：代换关系为： ejejejejejejejejeieieieieieieieiMMcosYsinXYsinYcosXX

13、MMcosYsinXYsinYcosXXij由由x轴逆转，至轴为正轴逆转，至轴为正x ejjjiiiejjjiiiMYXMYX1 0 0 0 0 0 0 cos sin- 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin-0 0 0 0 sin cosMYXMYX单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换即即 eefTf同理同理 eeT eeeeekk,kf二两种坐标系下单位刚度矩阵的关系二两种坐标系下单位刚度矩阵的关系 eeTeeTeTe1eeeTkTkTfTfTffTf整体坐标系下的单元刚度矩阵整体坐标系下的单元刚度矩阵 TkTkeTe单

14、元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换小结：单元分析步骤小结：单元分析步骤建立坐标系（局部）、结构的离散化（节点、单元编号）建立坐标系（局部）、结构的离散化（节点、单元编号）建立单元的杆端位移（力）列阵建立单元的杆端位移（力）列阵建立按各自局部坐标系，且不考虑边界条件的单元刚度矩阵建立按各自局部坐标系，且不考虑边界条件的单元刚度矩阵将局部坐标系下的转换到整体坐标系下的，且应表示将局部坐标系下的转换到整体坐标系下的，且应表示成分块的子阵形式（按节点编码）成分块的子阵形式（按节点编码） ek ek ek单元刚度矩阵的坐标转换单元刚度矩阵的坐标转换65非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理一基

15、本原理一基本原理原则：使结构等效前后的结点位移保持不变原则：使结构等效前后的结点位移保持不变0m0PPxy（固结）无任（固结）无任何结点位移何结点位移（释放）（释放）02P1mPh81qL121R0mPh812qL121P2R2qL1210mP2qL121P21Ph81qL21qL21产生反力矩产生反力矩qL21qL212qL121qL212PP002mPh81qL121Ph81P21反向施反力（矩）反向施反力（矩）内力之一内力之一内力之二内力之二65非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理二等效过程二等效过程（一）求各单元的固端内力（局部坐标系下）：（一）求各单元的固端内力（局部坐标系下）：

16、 TeFjFjFjFiFiFieFjFieFMYXMYXfff号单元号单元： T1221F12qL,2qL, 0 ,12qL,2qL, 0f号单元号单元： T22F8Ph,2P, 0 ,8Ph,2P, 0f5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理号单元号单元： T33F0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0f（二）转换为整体坐标系下的固端内力并反号（）得单元的等效（二）转换为整体坐标系下的固端内力并反号（）得单元的等效节点荷载节点荷载单元的等效节点荷载：单元的等效节点荷载： eFTeEfTP号单元号单元： T221FT1E12qL,2qL, 0 ,12qL,2qL, 0fTP号单元号单元

17、：5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理 T2FTE8Ph, 0 ,2P,8Ph, 0 ,2PfTP号单元号单元： 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0fTP3FT3E（三）在相关结点上迭加各单元的等效结点荷载为各结点的（三）在相关结点上迭加各单元的等效结点荷载为各结点的等效荷载等效荷载 EiP结点：结点： T22, 1ee1E1E12qL8Ph,2qL,2PPP结点：结点： T23, 1ee2E2E12qL,2qL, 0PP5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理结点：结点： T23E3E8Ph, 0 ,2PPP结点：结点：T4E0 , 0 , 0P（四）若原结构某些结点尚作用有

18、结点荷载，则应累加为（四）若原结构某些结点尚作用有结点荷载，则应累加为综合结点荷载综合结点荷载 T02001E1Cm12qL8Ph,2qL,P2PPPP（五）等效后的杆端内力计算（五）等效后的杆端内力计算 eeeFeeFekTffTff5非结点荷载的等效处理非结点荷载的等效处理6后处理法后处理法一原理一原理（一）先假设结构不受约束，即把支座暂视为可位移的，支反力（一）先假设结构不受约束，即把支座暂视为可位移的，支反力看作结点荷载，对各杆统一采用不考虑杆端约束条件的单看作结点荷载，对各杆统一采用不考虑杆端约束条件的单元刚度方程元刚度方程（二）用刚度集成法组装出一个在空间不受约束的总刚度矩阵（奇（

19、二）用刚度集成法组装出一个在空间不受约束的总刚度矩阵（奇异阵）异阵）（三）引入边界条件，修正为符合实际支承条件的总刚度矩阵，用（三）引入边界条件，修正为符合实际支承条件的总刚度矩阵，用以求解结点位移。以求解结点位移。二具体方法二具体方法（一）选择总体及局部坐标系，对结点、单元进行编码（一）选择总体及局部坐标系，对结点、单元进行编码（二）按总体坐标建立结点位移（力）列阵（二）按总体坐标建立结点位移（力）列阵 P, T444111T41vuvu T4y4x41y1x1T41PPPPPPPPP（三）按总坐标系由结点编码建立单元刚度矩阵（三）按总坐标系由结点编码建立单元刚度矩阵（分块矩阵）。（分块矩阵

20、）。 ek 144433433323332232221222112111kkkkkkkkkkkkkkk6后处理法后处理法1231(1)(2)(3)oyx（四）由结点平衡方程和位移连续条件导出结构原始总（四）由结点平衡方程和位移连续条件导出结构原始总刚度方程刚度方程将单元的刚度方程展开将单元的刚度方程展开 1211221211121111211kkkkfff 121221112112121121111111kkfkkf6后处理法后处理法将单元的刚度方程展开将单元的刚度方程展开 2322332322232222322kkkkfff 232332223223232232222222kkfkkf6后处

21、理法后处理法对结点建立隔离体平衡方程：对结点建立隔离体平衡方程：结点荷载（外力）杆端内力结点荷载（外力）杆端内力 22122222212222y2x22ffPMYXMYXPPPP（a）4 位移连续条件位移连续条件 32322212111,（b）6后处理法后处理法5 结构原始总刚度方程结构原始总刚度方程将（将（b）式代入（）式代入（a）得：）得： 3223222212211212kkkkP同理对结点，可得到：同理对结点，可得到： 211211111kkP 4334333323322323kkkkP 434433434kkP以上四式整理为矩阵形式：以上四式整理为矩阵形式：6后处理法后处理法 432

22、13443343433332332232322221221121211114321kk00kkkk00kkkk00kkPPPP6后处理法后处理法简写为：简写为： PKP PK原始总刚度矩阵原始总刚度矩阵直接刚度法集成原始总刚度矩阵直接刚度法集成原始总刚度矩阵 PK）有关名词）有关名词主子块主子块总刚度矩阵中位于主对角线上的子块，其余称副子块总刚度矩阵中位于主对角线上的子块，其余称副子块相关结点相关结点两结点之间有杆件（单元）相连两结点之间有杆件（单元）相连相关单元相关单元汇交于同一结点上的若干单元汇交于同一结点上的若干单元）组装方法（）组装方法（“对号入座对号入座”）a）总刚度矩阵中的主子块由

23、结点）总刚度矩阵中的主子块由结点i的各相关单元的主子块的各相关单元的主子块迭加得到，即迭加得到，即b）副子块，当）副子块，当i、m为相关结点时即为连接它的单元的相为相关结点时即为连接它的单元的相应副子块，即；当应副子块，即；当i、m为非相关结点时，即为非相关结点时，即为零子块。为零子块。iiK eiiiikKimK eimimkK6后处理法后处理法7直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法建立先考虑支承条件的单元刚度矩阵建立先考虑支承条件的单元刚度矩阵一简支连续梁单元的刚度方程一简支连续梁单元的刚度方程ijju杆端位移：杆端位移： T)e(jjie,u, T)e(jjieM,X,Mf杆端内

24、力：杆端内力：已知位移：已知位移：0vvujii e13)e(e134i 0 2i0 LEA 02i 0 4if若不计轴向变形：若不计轴向变形： ejie22e124i 2i2i 4if二带悬臂的刚架单元：二带悬臂的刚架单元：ij1eij2e Tejjje1311,v,u Teiiie1322,v,u Tejjje1311M,Y,Xf Teiiie1322M,Y,Xf7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法 e332e4i Li 6 0Li 6 L12i 0 0 0 LEAk2 e332e4i Li 6- 0Li 6 - L12i 0 0 0 LEAk16 5 40vujjj3 2 1

25、0vuiii7直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法xyo例用先处理法例用先处理法建立图示刚架的整体刚建立图示刚架的整体刚度矩阵度矩阵已知各杆已知各杆,20cmA2,300cmI4cm100l,cmkN102.1E24解：取各单元和节点编号、各单元的局部坐标系及结构的整解：取各单元和节点编号、各单元的局部坐标系及结构的整体坐标系仍同例。体坐标系仍同例。计算整体坐标系的单元刚度矩阵计算整体坐标系的单元刚度矩阵因各单元在结点、处为固定端，只有结点可发生位移，因各单元在结点、处为固定端，只有结点可发生位移，可将单元、都看作悬臂式单元。可将单元、都看作悬臂式单元。单元、：单元、：单元、的局部坐标

26、系与结构的整体坐标一致，无坐标变单元、的局部坐标系与结构的整体坐标一致，无坐标变7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法换问题；直接应用式（换问题；直接应用式（a，b），得），得L4EI L6EI- 0L6EI- L12EI 0 0 0 LEAkk vu 2232 22222MYXL4EI L6EI 0L6EI L12EI 0 0 0 LEAkk vu 2232 22222MYX为清晰起见，在矩阵中各列及各行的上方或右方，分别表明为清晰起见，在矩阵中各列及各行的上方或右方，分别表明了所相应的位移或杆端力分量了所相应的位移或杆端力分量单元：单元：由式（由式（b），得），得 （a）（b）7 直接刚度法中的先处理法直接刚度法中的先处理法L4EI L6EI 0L6EI L12EI 0 0 0 LEAkk v u 2232 22222MYX按表所列数据，单元之端的位移或杆端