两条直线的夹角学习教案

1、会计学1两条直线两条直线(zhxin)的夹角的夹角第一页，共20页。提出(t ch)数学问题1:250lxy :327 0lxy 如果入射光线的直线方程为如果入射光线的直线方程为镜面所在直线的方程为镜面所在直线的方程为 ，你能求反射光，你能求反射光线的方程吗？线的方程吗？第1页/共19页第二页，共20页。第2页/共19页第三页，共20页。两条相交两条相交(xingjio)(xingjio)直线的夹角直线的夹角: :我们规定两条相交直线所成的我们规定两条相交直线所成的锐角或直角锐角或直角为两条相交直线为两条相交直线的的夹角夹角。如果两条直线平行或重合如果两条直线平行或重合, ,我们我们规定它们的

2、夹角为规定它们的夹角为0 0平面平面(pngmin)(pngmin)上两条直线夹角的范围上两条直线夹角的范围: :0,2oxy解决数学(shxu)问题第3页/共19页第四页，共20页。coscos如图如图1)1)所示时所示时: :如图如图2)2)所示时所示时: :于是得于是得: : 的夹角为的夹角为 ; ;方向向量方向向量 的夹角为的夹角为1l、2l1d 、2d 两直线两直线oxy1)1d2d1l2l解决数学(shxu)问题1d2d2)oxy1l2l第4页/共19页第五页，共20页。解解:根据根据 与与 的方程的方程,取取1l2l111(,),db a 222(,)db a 为为 与与 的方向

3、向量的方向向量.1l2l由向量的夹角公式得由向量的夹角公式得:121 21 22222121122cosd daabbd dabab 所以两直线的夹角公式所以两直线的夹角公式:1 21 222221122cosaabbabab问题问题:此时角此时角 是唯一确定的吗是唯一确定的吗?解决(jiju)数学问题0:1111cybxal0:2222cybxal二条直线：二条直线：( (其中其中 不同时为零不同时为零; ; 不同时为零不同时为零) )11ab、22ab、直线夹角直线夹角 的大小的大小.求两求两问题一问题一:coscos由由第5页/共19页第六页，共20页。解解: :根据根据 与与 的方程的

4、方程, ,取取1l2l11(1,),dk 22(1,)dk 为为 与与 的方向向量的方向向量.1l2l可以求得两直线的夹角公式为可以求得两直线的夹角公式为: :1222121cos11k kkk解决数学(shxu)问题注：当其中注：当其中(qzhng)一条直线的斜一条直线的斜率不存在时不适用上述公式，此时夹率不存在时不适用上述公式，此时夹角的大小为两条直线倾斜角差的绝对角的大小为两条直线倾斜角差的绝对值。值。已知两条直线的点斜式方程已知两条直线的点斜式方程:11112222:(),:()lyyk xxlyykxx求两条直线的夹角求两条直线的夹角.问题二问题二:第6页/共19页第七页，共20页。

5、2两直线垂直时两直线垂直时:1 21 2cos00aabb 即当直线和垂直时即当直线和垂直时:1l2l121kk 解决数学(shxu)问题从上述公式从上述公式, ,当两直线当两直线(zhxin)(zhxin)垂直时，你能得到什么事实垂直时，你能得到什么事实? ?问题三问题三:反过来反过来, ,也成立也成立(chngl)(chngl)。第7页/共19页第八页，共20页。应用(yngyng)数学知识1.1.已知两直线方程分别为已知两直线方程分别为1:320,lxy2:230lxy求两直线的夹角求两直线的夹角1l2l解解:根据根据 与与 的方程及两直线夹角公式可得的方程及两直线夹角公式可得:2222

6、3 2 1 ( 1)2cos2( 1)312 即直线和的夹角为即直线和的夹角为1l2l4因为因为 , ,所以所以02，4第8页/共19页第九页，共20页。练习练习(linx)与与评价评价22arccos1aa 22 2、已知直线、已知直线 1:1(1)lya x 21:(2)lyxa其中其中 且且 ，求直线，求直线 与与 的夹角。的夹角。aR0a 1l2l1 1、求下列直线的夹角。、求下列直线的夹角。12(1) :310,:340lxylxy 12(2):10,:2lxylx4第9页/共19页第十页，共20页。0l. .已知直线经过点，且与直线：已知直线经过点，且与直线：l( 2, 3)P 3

7、20 xy的夹角为，求直线的方程。的夹角为，求直线的方程。3l因为两直线夹角为因为两直线夹角为 ，3）当直线斜率存在时，设直线方程为）当直线斜率存在时，设直线方程为3(2)yk x即即230kxyk应用(yngyng)数学知识解解:( 2,3)poxy第10页/共19页第十一页，共20页。应用(yngyng)数学知识法二：设直线的一个法向量为法二：设直线的一个法向量为 ,则直线则直线的点法向式方程为的点法向式方程为(2)(3) 0a xbx ( , )na bl整理得整理得:230ax byab 因为因为 与与 的夹角为的夹角为 ,由两直线夹角公式得：由两直线夹角公式得：l0l3由由）、）、）

8、可知，方程为）可知，方程为 或或310 xy 20 x）直线斜率不存在时，验证知）直线斜率不存在时，验证知 也满足题意也满足题意20 x得直线方程为得直线方程为310 xy 231cos3241kk所以有所以有解得解得33k 第11页/共19页第十二页，共20页。当当 时直线时直线 的方程为的方程为0bl2 0 x 当当 时直线时直线 的方程为的方程为0b l31 0 xy 所以直线所以直线 的方程为的方程为 或或2 0 x 31 0 xy l整理得整理得:223abab211 13bab即即:2231cos321 3abab 第12页/共19页第十三页，共20页。解决解决(jiju)课前的光

9、线问课前的光线问题：题：应用(yngyng)数学知识NoImage由直线由直线 与与 相交相交,解方程组解方程组2503270 xyxy1ll得交点得交点(jiodin)坐标坐标为为:(-1,2)设反射光线的法向量为设反射光线的法向量为( , )(na b a b、 不同时为零）故可设反射光线故可设反射光线 的方程为的方程为2l(1)(2) 0a xb y 由光的反射定律可知由光的反射定律可知, 与与 、与、与 的夹角相等的夹角相等,由两直由两直线的夹角公式可得：线的夹角公式可得：1lll2l222222221 3 ( 2) ( 2)3( 2)1( 2)3( 2)3( 2)abab 第13页/

10、共19页第十四页，共20页。2232751313abab即即22460290aabb化简整理得：化简整理得：(2)(229 )0abab即即（1）当）当 时，由时，由a、b不同为零，可知不同为零，可知2ba0,0ab求得直线方程为求得直线方程为 ，是入射光线方程，故舍去。，是入射光线方程，故舍去。1l（2）当）当 时，求得直线时，求得直线 的方程为的方程为229ab29233 0 xy2l课后思考课后思考: :试试看试试看, ,此题还有没有此题还有没有(mi yu)(mi yu)其他解其他解法法? ?第14页/共19页第十五页，共20页。逐渐(zhjin)减弱回顾(hug)与总结 1111:0

11、la xb yc2222:0la xb yc1. 1. 二条直线：二条直线：( (其中其中 不同时为零不同时为零; ; 不同时为零不同时为零) )11ab、22ab、 (1) (1)两直线的夹角公式两直线的夹角公式: :121222221122cosa ab babab2.2.当直线和垂直时当直线和垂直时: :1l2l121k k (2)(2)两直线斜率都存在时，两直线斜率都存在时，或一个斜率或一个斜率(xil)(xil)不存在，另一个斜率不存在，另一个斜率(xil)(xil)为零为零. .(2)(2)当两条直线的斜率都存在时当两条直线的斜率都存在时, ,两直线的夹角公式两直线的夹角公式: :

12、1222121cos11k kkk当其中一条直线的斜率不存在时夹角的大小为当其中一条直线的斜率不存在时夹角的大小为两条直线倾斜角差的绝对值。两条直线倾斜角差的绝对值。1 21 20aabb(1)第15页/共19页第十六页，共20页。探究探究(tnji)与思与思考考已知两条直线已知两条直线 ，其中，其中 是实数，当两条直线的夹角在是实数，当两条直线的夹角在 内变内变动时，求动时，求 的取值范围。的取值范围。12:, :0lyx laxy (0,)12aa第16页/共19页第十七页，共20页。作业作业(zuy)与拓与拓展展1、已知直线、已知直线 经过原点，且与直线经过原点，且与直线 的夹的夹l31

13、yx角为角为 , 则直线则直线 的方程是的方程是 。030l2、若直线、若直线 与与 的斜率分别是二次方程的斜率分别是二次方程 的两个根，那么的两个根，那么 直线直线 与与 的夹角为的夹角为 。1l2l2410 xx 1l2lABC4 4、已知等腰三角形、已知等腰三角形 的顶点的顶点 ， 底边底边 所在的直线方程为所在的直线方程为 ，求两腰，求两腰所在直线的方程。所在直线的方程。 (2, 1)A4arccos5B BC245 0 xy 3、若若 的夹角为的夹角为 ，求，求k k的值的值12:30,:10lxylkxy 60第17页/共19页第十八页，共20页。感谢感谢(gnxi)评委莅临评委莅临指导！指导！第18页/共19页第十九页，共20页。NoImage内容(nirng)总结会计学。根据 与 的方程,取。注：当其中一条直线(zhxin)的斜率不存在时不适用上述公式，此时夹角的大小为两条直线(zhxin)倾斜角差的绝对值。即当直线