133函数的最大(小)值与导数（共83张）

1、1.3.3 函数的最大(小)值与导数一、函数一、函数y=f(x)y=f(x)在闭区间在闭区间a,ba,b上的最值上的最值1.1.取得最值的条件取得最值的条件: :在区间在区间a,ba,b上函数上函数y=f(x)y=f(x)的图象是一条的图象是一条_的曲线的曲线. .2.2.结论结论: :函数函数y=f(x)y=f(x)必有最大值和最小值必有最大值和最小值, ,函数的最值在函数的最值在_或或_取得取得. .连续不断连续不断极值极值点点区间端点区间端点思考思考: :如果在开区间如果在开区间(a,b)(a,b)上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)只有一个极值且为只有一个极值且为极小值极小值, ,

2、那么函数在开区间那么函数在开区间(a,b)(a,b)上有最值吗上有最值吗? ?提示提示: :有最小值有最小值, ,无最大值无最大值. .若若x x0 0是函数的极值点是函数的极值点, ,则函数在则函数在(a,x(a,x0 0) )是减函数是减函数, ,在在(x(x0 0,b),b)是增函数是增函数, ,故故f(x)f(x)在在x x0 0处取得最小值处取得最小值. .二、求函数二、求函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤1.1.求函数求函数y=f(x)y=f(x)在在a,ba,b内的内的_._.2.2.将函数将函数y=f(x)y=f(x)的各的各_与与_比较比

3、较, ,其中最大的一个是最大值其中最大的一个是最大值, ,最小的一个是最小值最小的一个是最小值. .极值极值极值极值端点处的函数值端点处的函数值f(a),f(b)f(a),f(b)判断：判断：( (正确的打正确的打“”“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)函数的极大值一定是函数的最大值函数的极大值一定是函数的最大值.( ).( )(2)(2)开区间上的单调连续函数无最值开区间上的单调连续函数无最值.( ).( )(3)(3)函数函数f(x)= f(x)= 在区间在区间-1,1-1,1上有最值上有最值.( ).( )1x提示：提示：(1)(1)错误错误. .最大值也可能是端点的值最大值也

4、可能是端点的值. .(2)(2)正确正确. .在开区间上的单调函数无极值且端点无函数值在开区间上的单调函数无极值且端点无函数值, ,故无故无最值最值. .(3)(3)错误错误. .函数函数f(x)f(x)在在-1,1-1,1上不连续上不连续, ,所以函数既无最大值所以函数既无最大值也无最小值也无最小值. .答案：答案：(1)(1) (2) (3) (2) (3)【知识点拨知识点拨】1.1.对函数最值的两点说明对函数最值的两点说明(1)(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值一定有最值. .若有唯一的极值，则此极值必是函

5、数的最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值. .(2)(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念函数的最大值和最小值是一个整体性概念. .2.2.函数极值与最值的关系函数极值与最值的关系(1)(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念值和最小值是一个整体性概念. .(2)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只

6、能有一个极值可以有多个，但最值只能有一个. .(3)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得. .有极有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值值，最值不在端点处取得时必定是极值. .类型类型 一一 求函数的最值求函数的最值 【典型例题典型例题】1.1.函数函数f(x)=2xf(x)=2x3 3-3x-3x2 2-12x+5-12x+5在区间在区间0 0，3 3上的最大值与最小上的最大值与最小值分别是值分别是( )( )A.5,-15A.5,

7、-15B.5,-4B.5,-4C.-4,-15C.-4,-15D.5,-16D.5,-162.2.函数函数f(x)=x+2cos xf(x)=x+2cos x在区间在区间0 0，上的最大值上的最大值. .【解题探究解题探究】1.1.闭区间上连续函数的最值与这个区间端点的闭区间上连续函数的最值与这个区间端点的值和区间内的极值有何关系？值和区间内的极值有何关系？2.2.函数的极值和函数的最值有何关系？函数的极值和函数的最值有何关系？探究提示：探究提示：1.1.闭区间上，在区间端点的函数值与区间内的极值中，其中闭区间上，在区间端点的函数值与区间内的极值中，其中最大的值是函数在这个区间上的最大值，最小

8、的值是函数在最大的值是函数在这个区间上的最大值，最小的值是函数在这个区间上的最小值这个区间上的最小值. .2.2.函数的极值可能是函数的最值，最值也可能是区间端点的函数的极值可能是函数的最值，最值也可能是区间端点的值值. .【解析解析】1.1.选选A.A.由题意由题意f(x)=6xf(x)=6x2 2-6x-12.-6x-12.令令f(x)=0f(x)=0，得，得x x1 1=-1,x=-1,x2 2=2.=2.当当x x变化时，变化时，f(x)f(x)及及f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：故函数故函数y=2xy=2x3 3-3x-3x2 2-12x+5-12x+5在区间在区

9、间0 0，3 3上的最大值与最小值上的最大值与最小值分别是分别是5 5，-15.-15.x x0 0(0,2)(0,2)2 2(2,3)(2,3)3 3f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)5 5 -15-15 -4-42.2.因为因为f(x)=x+2cos xf(x)=x+2cos x，所以，所以f(x)=1-2sin x.f(x)=1-2sin x.令令f(x)=0f(x)=0，得，得 或或当当x x变化时，变化时，f(x)f(x)及及f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：所以函数在所以函数在 处取得最大值，最大值为处取得最大值，最大值为x x0 0f(x)f(x

10、)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)2 2 -2-2x65x.6(0,)665(,)66565(, )653636x6f( )3.66【拓展提升拓展提升】求函数最值的解题策略求函数最值的解题策略(1)(1)若函数若函数f(x)f(x)在区间在区间a,ba,b上是单调函数，则函数上是单调函数，则函数f(x)f(x)在在区间的端点处取得最值区间的端点处取得最值. .(2)(2)可利用基本不等式可利用基本不等式 (a,b(a,b0)0)求函数的最值，若求函数的最值，若abab为定值，可求为定值，可求a+ba+b的最小值的最小值. .若若a+ba+b为定值为定值, ,可求可求abab的最大

11、值的最大值. .(3)(3)利用导数求函数在区间利用导数求函数在区间a,ba,b内的极值内的极值, ,再求区间端点的再求区间端点的值进行比较值进行比较, ,也可求出最值也可求出最值. .abab2【变式训练变式训练】1.(20131.(2013广州高二检测广州高二检测) )已知函数已知函数f(x)f(x)的定义的定义域为域为-1,5-1,5, ,部分对应值如下表：部分对应值如下表：f(x)f(x)的导函数的导函数y=fy=f(x)(x)的图象如图所示的图象如图所示. . x x-1-10 04 45 5f(x)f(x)1 12 22 21 1下列关于函数下列关于函数f(x)f(x)的命题的命题

12、: :函数函数y=f(x)y=f(x)是周期函数是周期函数; ;函数函数f(x)f(x)在在0,20,2上是减函数上是减函数; ;如果当如果当x-1,tx-1,t时时,f(x),f(x)的最大值是的最大值是2,2,那么那么t t的最大值为的最大值为4;4;当当1a21a0),g(x)=x+1(a0),g(x)=x3 3+bx.+bx.(1)(1)若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)与曲线与曲线y=g(x)y=g(x)在它们的交点在它们的交点(1,c)(1,c)处具有公处具有公共切线共切线, ,求求a,ba,b的值的值. .(2)(2)当当a=3,b=-9a=3,b=-9时时, ,若函数若函数f

13、(x)+g(x)f(x)+g(x)在区间在区间k,2k,2上的最大值上的最大值为为28,28,求求k k的取值范围的取值范围. .【解题探究解题探究】1.1.函数在闭区间函数在闭区间a,ba,b上具有单调性上具有单调性, ,函数在这函数在这个区间上是否有最值个区间上是否有最值? ?如何求最值如何求最值? ?2.2.利用导数解决最值问题的主要思路是什么利用导数解决最值问题的主要思路是什么? ?探究提示探究提示: :1.1.有最值有最值. .若函数在若函数在a,ba,b上是增函数上是增函数, ,则则f(b)f(b)为最大值为最大值,f(a),f(a)为最小值为最小值, ,若函数在若函数在a,ba,

14、b上是减函数上是减函数, ,则则f(a)f(a)为最大值为最大值,f(b),f(b)为最小值为最小值. .2.2.首先利用导数判断函数的单调性首先利用导数判断函数的单调性, ,再求出函数的极值再求出函数的极值, ,最后最后结合函数图象求解结合函数图象求解. .【解析解析】1.1.选选A.A.因为因为f(x)=6xf(x)=6x2 2-24=6(x-2)(x+2),-24=6(x-2)(x+2),令令f(x)=0,f(x)=0,得得x=x=2.2.当当x x变化时变化时,f(x),f(x)及及f(x)f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :x x0 0(0,2)(0,2)2 2f(x)f(

15、x)- -f(x)f(x)m m -32+m-32+m因为因为f(x)f(x)在在0,20,2上为减函数上为减函数, ,所以当所以当x=2x=2时时, ,函数函数f(x)f(x)有最小值有最小值. .又因为当又因为当x=0 x=0时时,f(x)=m,f(x)=m最大最大, ,所以所以m=3,m=3,从而从而f(2)=-29.f(2)=-29.所以最小值为所以最小值为f(2)=-29.f(2)=-29.故选故选A.A.2.(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2.(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2 2+b+b，由已知可得由已知可得 解得解得a=b=3.a=b=3.(2)f(x)=3x(2)

16、f(x)=3x2 2+1,g(x)=x+1,g(x)=x3 3-9x,-9x,h(x)=f(x)+g(x)=xh(x)=f(x)+g(x)=x3 3+3x+3x2 2-9x+1-9x+1，h(x)=3xh(x)=3x2 2+6x-9.+6x-9.令令h(x)=0h(x)=0，得，得x x1 1=-3,x=-3,x2 2=1,=1,当当x x变化时变化时h(x)h(x)及及h(x)h(x)的变化情况如下表的变化情况如下表. .f(1)a1c,g(1)1bc,2a3b, 当当x=-3x=-3时时, ,取极大值取极大值28;28;当当x=1x=1时时, ,取极小值取极小值-4.-4.而而h(2)=3

17、h(-3)=28,h(2)=3h(-3)=28,如果如果h(x)h(x)在区间在区间k,2k,2上的最大值为上的最大值为28,28,则则k-3.k-3.x x(-,-3)(-,-3)-3-3(-3,1)(-3,1)1 1(1,+)(1,+)h(x)h(x)+ +0 0- -0 0+ +h(x)h(x)增增2828减减-4-4增增【拓展提升拓展提升】已知函数最值求参数值已知函数最值求参数值( (范围范围) )的思路的思路 已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的已知函数在某区间上的最值求参数的值是求函数最值的逆向思维逆向思维, ,一般先求导数一般先求导数, ,利用导数研究函数的单调性及极

18、值利用导数研究函数的单调性及极值点点, ,探索最值点探索最值点, ,根据已知最值列方程根据已知最值列方程( (不等式不等式) )解决问题解决问题.(.(关关键词键词: :表示出最值表示出最值) )【变式训练变式训练】1.(20131.(2013新课标全国卷新课标全国卷)若函数若函数f(x)=f(x)=(1-x(1-x2 2)(x)(x2 2+ax+b)+ax+b)的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称对称, ,则则f(x)f(x)的最大的最大值为值为. .【解题指南解题指南】首先利用数首先利用数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称求出对称求出a,ba,b的

19、值的值, ,然后利用导数判断函数的单调性然后利用导数判断函数的单调性, ,这里要采用试根的这里要采用试根的方法对导函数进行因式分解方法对导函数进行因式分解. .【解析解析】因为函数因为函数f(x)f(x)的图象关于直线的图象关于直线x=-2x=-2对称，对称，所以所以f(0)=f(-4)f(0)=f(-4)，得，得4b=-60+15a4b=-60+15a，又又f(x)=-4xf(x)=-4x3 3-3ax-3ax2 2+2(1-b)x+a+2(1-b)x+a，而而f(-2)=0f(-2)=0，即，即-4-4(-2)(-2)3 3-3a(-2)-3a(-2)2 2+2(1-b)+2(1-b)(-

20、2)+a=0(-2)+a=0，得得11a-4b=2811a-4b=28，即即 解得解得a=8a=8，b=15.b=15.4b60 15a11a4b28 ，故故f(x)=(1-xf(x)=(1-x2 2)(x)(x2 2+8x+15),+8x+15),则则f(x)=-4xf(x)=-4x3 3-24x-24x2 2-28x+8-28x+8=-4(x=-4(x3 3+6x+6x2 2+7x-2)+7x-2)=-4(x+2)(x=-4(x+2)(x2 2+4x-1),+4x-1),令令f(x)=0,f(x)=0,即即(x+2)(x(x+2)(x2 2+4x-1)=0,+4x-1)=0,则则x=-2x

21、=-2或或x=-2- x=-2- 或或-2+ .-2+ .当当x x变化时变化时,f(x),f(x),f(x),f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :55x x(-,(-,-2-2-2-2）-2-2（-2-2，-2+-2+）f(x)f(x)正正负负正正负负f(x)f(x)单调单调递增递增极大极大值值单调单调递减递减极小极小值值单调单调递增递增极大极大值值单调单调递减递减25) ( 25, 525) 5( 25, f(-2- )=f(-2- )=1-(-2- )1-(-2- )2 2(-2- )(-2- )2 2+8+8(-2- )+15(-2- )+15=(-4 -8)(8-4 )=1

22、6=(-4 -8)(8-4 )=16，f(-2+ )=f(-2+ )=1-(-2+ )1-(-2+ )2 2(-2+ )(-2+ )2 2+8+8(-2+ )+15(-2+ )+15=(4 -8)(8+4 )=16=(4 -8)(8+4 )=16，故故f(x)f(x)的最大值为的最大值为16.16.答案：答案：16165555555555552.2.已知函数已知函数f(x)f(x)的导数的导数f(x)=3xf(x)=3x2 2-3ax,f(0)=b,a,b-3ax,f(0)=b,a,b为实数为实数, ,且且1a2.1a2.(1)(1)若若f(x)f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的最小值、

23、最大值分别为上的最小值、最大值分别为-2,1,-2,1,求求a,ba,b的值的值. .(2)(2)在在(1)(1)的条件下的条件下, ,求经过点求经过点P(2,1)P(2,1)且与曲线且与曲线f(x)f(x)相切的直线相切的直线l的方程的方程. .(3)(3)设函数设函数F(x)=f(x)+6x+1eF(x)=f(x)+6x+1e2x2x, ,试判断函数试判断函数F(x)F(x)的极值点的极值点的个数的个数. .【解析解析】(1)(1)由已知得由已知得 由由f(x)=0f(x)=0得得3x(x-a)=03x(x-a)=0，得，得x x1 1=0,x=0,x2 2=a,=a,因为因为xx-1,1

24、-1,1,1,1a a2 2，所以当，所以当xx-1,0)-1,0)时，时，f(x)f(x)0 0，f(x)f(x)单调递增；单调递增；当当x(0,1x(0,1时，时，f(x)f(x)0,f(x)0,f(x)单调递减，单调递减，323f(x)xaxb,2所以所以f(x)f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的最大值为上的最大值为f(0)=b=1,f(0)=b=1,又又所以所以f(x)f(x)在区间在区间-1,1-1,1上的最小值为上的最小值为解得解得 故故 b=1b=1为所求为所求. .333f(1)1a12a,f( 1)af(1),222 3f( 1)a2,2 4a,34a,3(2)(2)由

25、由(1)(1)得得f(x)=xf(x)=x3 3-2x-2x2 2+1,f(x)=3x+1,f(x)=3x2 2-4x,-4x,点点P(2,1)P(2,1)在曲线在曲线f(x)f(x)上，上，当点当点P(2,1)P(2,1)为切点时，切线斜率为切点时，切线斜率k=f(2)=4,k=f(2)=4,所以切线所以切线l的的方程为方程为y-1=4(x-2)y-1=4(x-2)，即，即4x-y-7=0;4x-y-7=0;当点当点P(2,1)P(2,1)不是切点时，设切点为不是切点时，设切点为Q(xQ(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 02)2)，切线，切线斜率斜率k=f(xk=f(x0 0)=3x)

26、=3x0 02 2-4x-4x0 0, ,所以切线所以切线l的方程为的方程为y-yy-y0 0=(3x=(3x0 02 2-4x-4x0 0)(x-x)(x-x0 0),),又点又点P(2,1)P(2,1)在切线在切线l上，得上，得1-y1-y0 0=(3x=(3x0 02 2-4x-4x0 0)(2-x)(2-x0 0),),即即1-(x1-(x0 03 3-2x-2x0 02 2+1)=(3x+1)=(3x0 02 2-4x-4x0 0)(2-x)(2-x0 0) )，即，即x x0 02 2 (2-x(2-x0 0)=(3x)=(3x0 02 2- -4x4x0 0)(2-x)(2-x0

27、 0),),由于由于x x0 02,2,得得x x0 02 2=3x=3x0 02 2-4x-4x0 0, ,即即2x2x0 0(x(x0 0-2)=0,-2)=0,所以所以x x0 0=0=0，切线，切线l方方程为程为y=1,y=1,故所求切线故所求切线l的方程为的方程为4x-y-7=04x-y-7=0或或y=1.y=1.(3)F(x)=f(x)+6x+1e(3)F(x)=f(x)+6x+1e2x2x=(3x=(3x2 2-3ax+6x+1)e-3ax+6x+1)e2x2x=3x=3x2 2-3(a-2)x+1e-3(a-2)x+1e2x2x, ,所以所以F(x)=6x-3(a-2)eF(x

28、)=6x-3(a-2)e2x2x+23x+23x2 2-3(a-2)x+1e-3(a-2)x+1e2x2x=6x=6x2 2-6(a-3)x+8-3ae-6(a-3)x+8-3ae2x2x, ,二次函数二次函数y=6xy=6x2 2-6(a-3)x+8-3a-6(a-3)x+8-3a对应方程的判别式为对应方程的判别式为=36(a-3)=36(a-3)2 2-24(8-3a)=12(3a-24(8-3a)=12(3a2 2-12a+11)=123(a-2)-12a+11)=123(a-2)2 2-1,-1,令令00，得，得(a-2)(a-2)2 2 所以所以 令令0 0，得，得 或或 由于由于e

29、 e2x2x0 0，1 1a a2,2,所以当所以当 时，时，00，F(x)0F(x)0，函数，函数F(x)F(x)单调递单调递增，极值点个数为增，极值点个数为0 0；当当 时，时，0,F(x)=00,F(x)=0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，所以函数所以函数F(x)F(x)有两个极值点有两个极值点. .1,3332a2;333a233a2,332a23 31a23 类型类型 三三 与最值有关的不等式的恒成立问题与最值有关的不等式的恒成立问题 【典型例题典型例题】1.(20131.(2013衡水高二检测衡水高二检测) )已知函数已知函数f(x)f(x) x x4 42x2x3 3

30、3m3m，xRxR，若，若f(x)f(x)9090恒成立，则实数恒成立，则实数m m的取值范围是的取值范围是( )( )A.mA.mB.mB.mC.mC.mD.mD.m 12323232322.(20132.(2013六盘水高二检测六盘水高二检测) )已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+c+bx+c在在x=- x=- 与与x=1x=1时都取得极值时都取得极值. .(1)(1)求求a,ba,b的值与函数的值与函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .(2)(2)若对若对xx-1,2-1,2, ,不等式不等式f(x)f(x)c c2 2恒成立恒成立, ,求求

31、c c的取值范围的取值范围. .23【解题探究解题探究】1.1.函数函数f(x)a(xR)f(x)a(xR)恒成立的充要条件是什么？恒成立的充要条件是什么？2.2.在极值点处，函数的导数满足什么条件？要使在极值点处，函数的导数满足什么条件？要使f(x)f(x)c c2 2(x(xa,ba,b) )恒成立，应满足什么条件？恒成立，应满足什么条件？探究提示：探究提示：1.f(x)a1.f(x)af(x)f(x)minmina.a.2.(1)2.(1)在极值点处在极值点处f(x)=0.f(x)=0.(2)f(x)(x(2)f(x)(xa,ba,b) )的最大值小于的最大值小于c c2 2，即，即f(

32、x)f(x)maxmaxc c2 2. .【解析解析】1.1.选选A.A.因为函数因为函数f(x)f(x) x x4 42x2x3 33m3m，所以所以f(x)f(x)2x2x3 36x6x2 2. .令令f(x)f(x)0 0，得，得x x0 0或或x x3.3.经检验知经检验知x x3 3是函数的一个最小值点，是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为所以函数的最小值为f(3)f(3)不等式不等式f(x)f(x)9090恒成立，即恒成立，即f(x)f(x)9 9恒成立，恒成立，所以所以 9 9，解得，解得12273m.2273m23m.22.(1)f(x)=x2.(1)f(x)=x3 3+a

33、x+ax2 2+bx+c,f(x)=3x+bx+c,f(x)=3x2 2+2ax+b.+2ax+b.由由f(1)=3+2a+b=0f(1)=3+2a+b=0得得a=- ,b=-2,a=- ,b=-2,经检验，满足题意经检验，满足题意. .f(x)=3xf(x)=3x2 2-x-2=(3x+2)(x-1),-x-2=(3x+2)(x-1),函数函数f(x)f(x)的单调区间如下表的单调区间如下表: :2124f ()ab0,393 12所以函数所以函数f(x)f(x)的递增区间是（的递增区间是（-,- -,- ）与）与(1,+),(1,+),递减区间递减区间是（是（- ,1- ,1）. .x x

34、1 1(1,+)(1,+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x) 极大值极大值 极小值极小值 232(,)3 2(,1)32323(2)f(x)=x(2)f(x)=x3 3- x- x2 2-2x+c,x-2x+c,x-1,2-1,2, ,当当x=- x=- 时，时， 为极大值为极大值, ,而而f(2)=2+c,f(2)=2+c,则则f(2)=2+cf(2)=2+c为最大值，为最大值，要使要使f(x)f(x)c c2 2,x,x-1,2-1,2恒成立，恒成立，则只需要则只需要c c2 2f(2)=2+c,f(2)=2+c,得得c c-1-1或或c c2.2.所以所以c

35、c的取值范围是的取值范围是(-,-1)(2,+).(-,-1)(2,+).1223222f()c327【互动探究互动探究】在题在题2(2)2(2)中中, ,若把条件改为若把条件改为f(x)2cf(x)2c恒成立恒成立, ,求实求实数数c c的取值范围的取值范围. .【解析解析】由由(1)(1)知函数知函数f(x)=xf(x)=x3 3- x- x2 2-2x+c,x-2x+c,x-1,2-1,2. .当当x=1x=1时，函数有极小值时，函数有极小值f(1)=c- .f(1)=c- .而而f(-1)=c+ f(-1)=c+ ，故函数，故函数f(x)f(x)在区间在区间-1,2-1,2的最小值为的

36、最小值为f(1)=c- f(1)=c- ，要使，要使f(x)2cf(x)2c在在xx-1,2-1,2恒成立，则只需恒成立，则只需c- 2cc- 2c，解得，解得c- .c- .所以所以c c的取值范围是（的取值范围是（-,- .-,- .12321232323232【拓展提升拓展提升】不等式恒成立问题常用的解题方法不等式恒成立问题常用的解题方法【变式训练变式训练】设设f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).f(x)=ln x,g(x)=f(x)+f(x).(1)(1)求求g(x)g(x)的单调区间和最小值的单调区间和最小值. .(2)(2)求求a a的取值范围，使得的取值范围，使得g

37、(a)-g(x)g(a)-g(x) 对任意对任意x x0 0成立成立. .【解题指南解题指南】(1)(1)先求函数先求函数f(x)f(x)的导数的导数, ,得到函数得到函数g(x)g(x)的解析的解析式式, ,再利用导数求函数再利用导数求函数g(x)g(x)的单调区间和最小值的单调区间和最小值.(2).(2)要使要使g(a)-g(x)g(a)-g(x) 恒成立恒成立, ,等价于等价于g(a)-g(x)g(a)-g(x)minmin 成立成立. .1a1a1a【解析解析】(1)(1)由题设知由题设知f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,所以所以

38、令令g(x)=0g(x)=0得得x=1.x=1.当当x(0,1)x(0,1)时，时，g(x)g(x)0,0,故故(0,1)(0,1)是是g(x)g(x)的单调递减区间；的单调递减区间；当当x(1,+)x(1,+)时，时，g(x)g(x)0,0,故故(1,+)(1,+)是是g(x)g(x)的单调递增区的单调递增区间间. .因此，因此，x=1x=1是是g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上的惟一极值点，且为极小值上的惟一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.g(1)=1.(2)(2)由由(1)(1)知知g(x)g(x)的最小值为的最小值

39、为1,1,所以所以,g(a)-g(x),g(a)-g(x) , ,对任意对任意x x0 0成立成立g(a)-1g(a)-1 , ,即即ln aln a1,1,从而得从而得0 0a ae.e.1x2x1g (x).x1a1a【误区警示误区警示】解决题解决题(1)(1)时时, ,一定要注意函数自变量的取值范一定要注意函数自变量的取值范围围. . 与最值有关的不等式的证明与最值有关的不等式的证明1.1.当当0 0 x x 时，求证：时，求证：2.(20132.(2013大庆高二检测大庆高二检测) )已知函数已知函数f(x)=axf(x)=ax3 3+bx+bx2 23x3x在在x=x=1 1处取得极

40、值处取得极值. .(1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的解析式的解析式. .(2)(2)求证：对于区间求证：对于区间1 1，1 1上任意两个自变量的值上任意两个自变量的值x x1 1，x x2 2，都有都有|f(x|f(x1 1) )f(xf(x2 2)|4.)|4.23xtan xx.3【解析解析】1.1.设设f(x)=tan x-(x+ )f(x)=tan x-(x+ )，则则=tan=tan2 2x-xx-x2 2=(tan x+x)(tan x-x),=(tan x+x)(tan x-x),因为因为0 0 x x , ,所以所以tan xtan xx x0,0,所以所以f(x)f(

41、x)0 0，即，即f(x)f(x)在在(0, )(0, )上递增上递增. .又因为又因为f(0)=0f(0)=0，所以当，所以当x(0, )x(0, )时，时，f(x)f(x)f(0)=0,f(0)=0,即即3x3221f (x)1xcos x 2223xtan xx.32.(1)f(x)=3ax2.(1)f(x)=3ax2 2+2bx+2bx3.3.依题意，依题意，f(1)=f(f(1)=f(1)=01)=0，即即 解得解得a=1a=1，b=0. b=0. 所以所以f(x)=xf(x)=x3 33x.3x.3a2b30,3a2b30,(2)(2)因为因为f(x)=xf(x)=x3 33x,3

42、x,所以所以f(x)=3xf(x)=3x2 23=3(x+1)(x3=3(x+1)(x1).1).当当1x11x1时，时，f(x)0f(x)0，故，故f(x)f(x)在区间在区间1 1，1 1上为减函上为减函数，数，f(x)f(x)maxmax=f(=f(1)=21)=2，f(x)f(x)minmin=f(1)=f(1)=2.2.因为对于区间因为对于区间1 1，1 1上任意两个自变量的值上任意两个自变量的值x x1 1，x x2 2，都有，都有|f(x|f(x1 1) )f(xf(x2 2)|f(x)|f(x)maxmaxf(x)f(x)minmin| |，所以所以|f(x|f(x1 1) )

43、f(xf(x2 2)|f(x)|f(x)maxmaxf(x)f(x)minmin|=2|=2( (2)=4.2)=4.【拓展提升拓展提升】用导数证明不等式的方法用导数证明不等式的方法(1)(1)利用导数证明不等式问题利用导数证明不等式问题, ,关键是把不等式变形后构造恰关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的到证明不等式的目的. .(2)(2)利用导数解决不等式，应特别注意区间端点是否取得到利用导数解决不等式，应特别注意区间端点是否取得到. .(3)(3)学会观察不等式与函数的内在联系，

44、构造函数再利用导数学会观察不等式与函数的内在联系，构造函数再利用导数证明不等式，借助导数工具来解决不等式的证明，是转化与证明不等式，借助导数工具来解决不等式的证明，是转化与化归思想在中学数学中的重要体现化归思想在中学数学中的重要体现. .【变式训练变式训练】(2013(2013太原高二检测太原高二检测) )已知函数已知函数f(x)=xln x,f(x)=xln x, (1)(1)求函数求函数f(x)f(x)的最小值的最小值. .(2)(2)证明：对任意证明：对任意m,n(0,+)m,n(0,+)，都有，都有f(m)g(n)f(m)g(n)成立成立. .xx2g(x).ee【解析解析】(1)(1

45、)由由f(x)=xln xf(x)=xln x，可得，可得f(x)=ln x+1.f(x)=ln x+1.当当xx（0, 0, ）时，）时，f(x)f(x)0,f(x)0,f(x)单调递减，单调递减，当当xx（ ,+,+）时，）时，f(x)f(x)0,f(x)0,f(x)单调递增单调递增. .可知可知f(x)=xln x(x(0,+)f(x)=xln x(x(0,+)在在 时取得最小值时取得最小值1e1e1xe11f( ).ee (2)(2)由由(1)(1)可知可知f(m)- ,f(m)- ,由由g(x)= g(x)= 可得可得g(x)=g(x)=所以当所以当x(0,1)x(0,1)时时,g(

46、x),g(x)0,g(x)0,g(x)单调递增，单调递增，当当x(1,+)x(1,+)时时,g(x),g(x)0,g(x)0,g(x)单调递减单调递减. .所以函数所以函数g(x)(xg(x)(x0)0)在在x=1x=1时取得最大值，时取得最大值，又又g(1)=- ,g(1)=- ,可知可知g(n)- ,g(n)- ,所以对任意所以对任意m,n(0,+)m,n(0,+)，都有，都有f(m)g(n)f(m)g(n)成立成立. .1exx2,eex1x.e1e1e【规范解答规范解答】函数最值在不等式问题中的应用函数最值在不等式问题中的应用【典例典例】【条件分析条件分析】【规范解答规范解答】对任意对

47、任意x x1 1-3,3-3,3,x,x2 2-3,3-3,3都有都有f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )成立成立f(x)f(x)maxmaxg(x)g(x)minmin， 2 2分分xx-3,3-3,3先求先求g(x)g(x)的最小值，的最小值，g(x)=6xg(x)=6x2 2+10 x+4=2(3x+2)(x+1).+10 x+4=2(3x+2)(x+1).4 4分分令令g(x)=0g(x)=0得得x=- x=- 或或x=-1x=-1，23列表如下：列表如下：x x-3-3(-3,-1)(-3,-1)-1-13 3g(x)g(x)+ +0 0- -0 0+ +g(x)g(x)-

48、21-21 -1-1 1111112( 1,)3 232(,3)32827则则g(x)g(x)minmin=-21=-21. . 8 8分分再求再求f(x)f(x)的最大值：的最大值：f(x)=8xf(x)=8x2 2+16x-k+16x-k=8(x+1)=8(x+1)2 2-8-k-8-k，xx-3,3-3,3，f(x)f(x)maxmax=f(3)=120-k=f(3)=120-k. . 1010分分由由f(x)g(x),f(x)g(x),可得可得120-k-21120-k-21k141.k141.故故k k的取值范围是的取值范围是141141，+). +). 1212分分【失分警示失分警

49、示】【防范措施防范措施】1.1.转化与化归思想的应用转化与化归思想的应用在解含有不等式的恒成立问题中，等价转化是常用的思想方在解含有不等式的恒成立问题中，等价转化是常用的思想方法，如本例就转化为比较函数的最值问题法，如本例就转化为比较函数的最值问题. .一般地，若在某区一般地，若在某区间上间上f(x)af(x)a恒成立，则恒成立，则f(x)f(x)maxmaxa;a;若在某区间上存在若在某区间上存在x x使使f(x)af(x)a成立，则成立，则f(x)f(x)minminaa即可即可. .2.2.求函数最值常用的方法求函数最值常用的方法利用函数在闭区间上的单调性，可求函数的最大值、最小值；利用

50、函数在闭区间上的单调性，可求函数的最大值、最小值；也可利用导数求出函数在闭区间内的极值，再与端点的值相也可利用导数求出函数在闭区间内的极值，再与端点的值相比较求最值，如求函数比较求最值，如求函数g(x)g(x)的最小值利用的就是后一种方法的最小值利用的就是后一种方法. . 【类题试解类题试解】(2013(2013北京高二检测北京高二检测) )已知函数已知函数(1)(1)若若a=2,a=2,求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在在(1,f(1)(1,f(1)处的切线方程处的切线方程. .(2)(2)求函数求函数f(x)f(x)的单调区间的单调区间. .(3)(3)设函数设函数g(x)=- g(x

51、)=- ，若至少存在一个，若至少存在一个x x0 01,e1,e，使得使得f(xf(x0 0) )g(xg(x0 0) )成立，求实数成立，求实数a a的取值范围的取值范围. .1f(x)a(x)2ln x(aR).xax【解题指南解题指南】(1)(1)求导数得切线斜率，再求切线方程求导数得切线斜率，再求切线方程. .(2)(2)解导数不等式，要对参数进行分类讨论解导数不等式，要对参数进行分类讨论. .(3)(3)分离参数，转化为求函数的最小值分离参数，转化为求函数的最小值. .【解析解析】函数函数f(x)=a -2ln xf(x)=a -2ln x的定义域为的定义域为(0,+),(0,+),

52、且且(1)(1)当当a=2a=2时，时，f(x)=2 -2ln x,f(1)=0,f(1)=2,f(x)=2 -2ln x,f(1)=0,f(1)=2,故曲线故曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1(1，f(1)f(1)处的切线方程为处的切线方程为y-0=2(x-1),y-0=2(x-1),即即2x-y-2=0.2x-y-2=0.1(x)x22212ax2xaf (x)a(1).xxx1(x)x(2)(2)函数的定义域为函数的定义域为(0,+).(0,+).当当a0a0时，时，h(x)=axh(x)=ax2 2-2x+a-2x+a0 0在在(0,+)(0,+)上恒成立，则上恒成立，则f(x)

53、f(x)0 0在在(0,+)(0,+)上恒成立，此时，上恒成立，此时，f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调上单调递减递减. .当当a a0 0时，时，=4-4a=4-4a2 2, ,(i)(i)若若0 0a a1,1,由由f(x)f(x)0,0,即即h(x)h(x)0,0,得得或或由由f(x)f(x)0 0，即，即h(x)h(x)0,0,得得所以函数所以函数f(x)f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为和和单调递减区间为单调递减区间为211 axa211 ax,a2211 a11 ax,aa 211 a(0,)a211 a(,),a2211 a11 a(,)aa；(ii)(ii)若若a1,0a1,0，则，则h(x)0h(x)0在在(0,+)(0,+)上恒成立，即上恒成立，即f(x)0f(x)0在在(0,+)(0,+)上恒成立，上恒成立，所以所以f(x)f(x)在在(0,+)(0,+)上单调递增上单调递增. .(3)(3)因为存在一个因为存在一个x x0 01,e1,e使得使得f(xf(x0 0) )g(xg