9.3扭转问题的薄膜比拟法

1、§9.3扭转问题的薄膜比拟法学习思路:扭转问题的应力解法具有一个明显的优点，它能够借助于所谓的薄膜比拟（Prandtl比拟）法，使对应的扭转问题运算和分析变的更为直观。薄膜比拟法是由德国力学家Prandtl提出的。薄膜比拟法的基本思想是：受均匀压力的薄膜与柱体的扭转，有着相似的微分方程和边界条件，因此可以通过测试薄膜变形，分析柱体扭转时横截面上的应力分布。当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。薄膜比拟法的主要作用是定性地分析横截面的扭转应力。这一方法借助薄膜等高线直观地说明横截面的切应力方向与大小。学习要点：1. 薄膜比拟；2. 薄膜垂度与扭转应力；3.

2、 薄膜等高线与切应力；扭转问题的应力解法具有一个明显的优点，它能够借助于所谓的薄膜比拟（Prandtl比拟）法，使对应的扭转问题运算和分析变的更为直观。薄膜比拟的基本思想是：假设一个与柱体横截面形状相同的孔，孔上敷以张紧的均匀薄膜，那么，受均匀压力的薄膜与柱体的扭转，有着相似的微分方程和边界条件。因此，可以通过测试薄膜弯曲的情况，分析柱体扭转时横截面的应力分布。设有一块均匀的薄膜，张在一个与扭转柱体横截面形状相似的水平边界上。当薄膜承受微小的均匀压力q作用时，薄膜上各点将产生微小的垂度。将边界所在水平面作为Oxy平面，z轴垂直向下，如图所示。由于薄膜的柔顺性，可以假设它不承受弯矩，扭矩，剪力和

3、压力，而只承受均匀的张力。设薄膜内单位宽度的张力为ft。现在考虑薄膜中微分单元abed的平衡。微分单元受的总压力为qdxdy，薄膜的垂度用Z表示。ad边上的张力为FTdy,它在z轴上的投影为be边上的张力也是FTdy，它在叭（訐窖dx）z轴上的投影为ab边的张力在z轴上的投影为FTdx（+cd边上的张力在z轴上的投影为根据薄膜微分单元平衡条件工广°,则Td普十耳切罕十窘血）-哄曽fd晋十等如gd讪二0oxdxdxdydydy简化可得4二可乜二丄曲卯zyT这就是薄膜平衡时垂度z所满足的微分方程，垂度z在边界上显然是等于零。有Z=0垂度Z所满足的微分方程与扭转应力函数相同，均为泊松方程，

4、只是常数不同。下面考察薄膜垂度Z所满足的边界条件。讨论薄膜所围的体积，有2r=2jJZ4cdy上述分析表明，薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式，边界条件的差别仅是一个常数。虽然确定薄膜体积与扭矩的关系仍然是困难的，但是通过薄膜曲面，可以形象地描述柱体横截面的扭转应力分布。由于薄膜垂度Z与扭转应力具有相同的函数形式，其差别仅是一个常数。因此我们可以通过薄膜曲面，形象地表示出横截面上的应力分布情况。我们可以想象一系列的和Oxy平面平行的平面与薄膜曲面相截，得到一系列曲线，显然这些曲线是薄膜的等高线。对于薄膜的等高线上的任意点的垂度Z为常数，所以，Z对等高线方向的导数为零，因此，这就是说施中的坐

5、标转换成曲线坐标，可以写出切应力分别沿等高线的切线和法线方向的分量表达式:os上式表明柱体扭转时，横截面的切应力的方向总是沿着薄膜上对应点的等高线的切线方向，切应力的数值与等高线的法线导数成正比，如图所示。qV因此，薄膜的等高线，对应于扭转杆件横截面上这样的曲线，各点的切应力均与曲线相切。因此这一曲线称为切应力线。这个结论对于研究柱体扭转时横截面上的应力分布是很重要的。因为，虽然我们很难完全通过薄膜比拟测定柱体扭转时横截面的应力分布，但是通过这种比拟，至少可以定性的描述出横截面上应力分布的大致情况。例如，要知道横截面上哪一点的应力最大，只要看一下对应的薄膜上哪一点的斜率最大。也就是说，薄膜上斜

6、率最大的点，就是对应横截面上切应力最大的作用点。由此可知，最大切应力一定发生在横截面的周界上，而且横截面的周界是一条切应力线。§9.4椭圆截面杆的扭转学习思路：对于自由扭转问题的应力解法，椭圆横截面柱体扭转问题是最成功的应用。本节通过椭圆截面柱体的扭转问题，对应力解法作全面介绍。应力解法的关键是应力函数的确定。根据边界应力函数值为零，椭圆横截面柱体扭转的应力函数是容易确定的。对于待定常数根据基本方程，即泊松方程确定。端面面力边界条件的应用确定了外力偶与柱体应力的关系。通过这个条件，可以建立待定常数与外力偶的关系。应力函数确定后，可以确定横截面切应力以及最大切应力关系式。椭圆形横截面的

7、最大切应力在长边的中点。本节最后讨论横截面的翘曲，即扭转变形。对于非圆横截面柱体，在扭矩作用下，横截面将发生翘曲。因此对于非圆横截面柱体的扭转，平面假设不能使用。学习要点：1. 椭圆截面直杆应力函数2. 椭圆截面切应力3. 椭圆截面翘曲设有椭圆截面直杆，它的横截面为椭圆边界，椭圆的长短半轴分别为a和b，如图所示JI椭圆方程可以写作根据自由扭转问题的基本方程，应力函数在横截面的边界上应该等于零,所以假设应力函数为：2这一应力函数满足=0。C2_将上述应力函数代入基本方程，则即2/2加+TF=_2Ga2b2m=疋+F则扭转基本方程满足。将应力函数代入端面边界条件公式，则设£na3b计算可得TTiabTnabGJ他如二nab。回代可得应力函数表达式将上述应力函数代入应力分量计算公式以得到横截面应力分量为横截面上的任意一点的合成切应力为根据薄膜比拟，最大切应力发生在椭圆边界上，边界切应力最大值在椭圆短轴处，而最小值在椭圆的长轴处，如图所示。2Tnab2F面讨论椭圆截面杆扭转时横截面的翘曲，将应力分量代入翘曲函数公式，则将上面两式分别对x和y积分，则宀夕叫刃=2丄以砂+X®)a+b叭3)二一十上何a十b比较上述两式，必然有f(x)=f1(x)=k(常数)，所以其中，k表示横截面沿z方向的刚体平动，对变形