简单的线性规划

1、简单的线性规划【知识要点】1、二兀一次不等式(组)所表示的平面区域(1) 一般的，二元一次不等式 Ax+ By+ C 0在平面区域中，表示直线 Ax + By+ C= 0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线.不等式Ax+ By+ O 0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)(2) 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分.注意：作图时，不包括边界画成虚线；包括边界画成实线.(3) 二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法： 可在直线 Ax+ By+ C= 0的某一侧任取一点，一般取特殊点(xo, yo)，从Axo+ By+ C的正

2、(或负)来判断Ax+ By+ C 0(或Ax+ By + C v 0)所表示的区域.当 Cm 0时，常把原点(0, 0)作为特殊点. 也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：(i) y kx+ b表示直线上方的半平面区域；yv kx+ b表示直线下方的半平面区域.(ii) 当B 0时，Ax+ By+C 0表示直线上方区域；Ax+ By+ Cv 0表示直线下方区域；当Bv 0时，Ax+ By+Cv 0表示直线上方区域；Ax+ By+ C 0表示直线下方区域注意：(1)在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同，(2) 在直线Ax+By+C

3、=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反，即: 1点 P(Xi,yi)和点 Q(X2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的同侧，则有(Axi+Byi+C)Ax2+By2+C)02点 P(X1,y1)和点 Q(X2,y2)在直线 Ax+By+C=0 的两侧，则有(Ax 1+By1+C)(Ax2+By2+C)02. 简单线性规划(1) 基本概念：目标函数：关于x, y的要求最大值或最小值的函数，如z= x+ y, z= x2 + y2等.约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组.线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数.线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(

4、或等式).线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题. 最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解. 可行解：满足线性约束条件的解(x, y)称为可行解.可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域.(2) 用图解法解决线性规划问题的一般步骤：分析并将已知数据列出表格；确定线性约束条件；确定线性目标函数；画出可行域；利用线性目标函数，求出最优解；实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解.【例题讲解】例1、(1)若点(3, 1)在直线3x 2y+ a = 0的上方，则实数a的取值范围是 ；(2)若点(3, 1)和(一4, 6)在直线3x 2y+ a=

5、0的两侧，则实数 a的取值范围是 3a3a解：(1)将直线化为y x ，由题意，得13 3 -，解得av 7.2222(2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3X 3 2 + a) 3X ( 4) 12+ a v 0,即(a + 7)( a 24) v 0, 所以，实数a的取值范围是(一7, 24).例2、(1)如图，写出能表示图中阴影部分的不等式组；x -1,2x - y 2-0.(2)如果函数y = ax2 + bx+ a的图象与x轴有两个交点，试在aOb坐标平面内画出点(a,b)表示的平面区域.(2)由题意，得 b2 4a20,即(2a + b)( 2a b) v 0,2

6、a +b 02a +b c0所以丿，或丿，点(a, b)表示的平面区域如图所示.例3、(1)在平面直角坐标系中，不等式组x y_2 乞0x - y亠2 _0表示的平面区域的面积是2a b 0y _0X y -2 乞 0I解：作出可行域，易知不等式组x_y2 _0表示的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐S =*|BC| | AO A* 4 2=4.y-标为A(0,2), B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为:y _ x 1 -1(2)不等式组1所表示的平面区域的面积为 卜兰-x+1解：不等式 y _ x V -1 可化为 y _x(x _ -1)或 y _ -x-2(x

7、： -1); 不等式 y _ - X 1 可化为 y _ -X 1(x _ 0)或 y _ x 1(x ： 0).在平面直角坐标系内作出四条射线:AB: y=x(x】 ：一1) , AC: y = x-2(x T) DE: y=x 1(x_0) , DF : y = x 1(x ： 0)则不等式组所表示的平面区域如图，由于AB与AC、DE与DF互相垂直，所以平面区域是一个矩形.根据两条平行线之间的距离公式可得矩形的两条边的长度分别为2和.所以其面积为2 .2 2 2x y -2 _0例4、若x, y满足0ExE3，求(1) z=x+2y5的最大值与最小值；(2) S =(X+1+ (y-1)2

8、的最0 3值；(3) t= 一-的取值范围；(4) u = x-2y-5|的最大值与最小值；x 2(5)M (-1,1),P(x, y)为此区域的一个动点，求OM OP,OM +OP的范围。3解：(1)Zmin一-3,Zmax=4 ；(2)Smin=2,Smax=20 ；( 3)t - 1或t； ( 4) Umin = 2,Umax = 112(5) OM OP 引-3,3, OM +OP 可运,2悶例5、某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克。今预算每日原料总成

9、本不得超过6000元，运费不得超过 2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的解：设此工厂每日需甲种原料 x吨，乙种原料y吨，则可得产品z= 90x+ 100y(千克).2x+3y 幻2, 由题意，得 0，若z= ax + y的最大值为3a + 9,最小值为3a 3,则实数a的取值xw 3范围为( )CA . a 1B .a w 1C. 1 w a w 1D.a1 或 a w 15、已知变量x,y满足约束条件1x + 4y 13 02y x+ 1 0x+ y 4w 0，且有无穷多个点(x,y)使目标函数z= x+ my取得最小值，则m =()CA . 2B .-1C.

10、1D.46、当点M(x, y)在如图所示的三角形ABC区域内洽边界)运动时，目标函数 z= kx+ y取得最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是( )B”A .(m,1 u 1 ,+ )B .1,1C .(m,1) u (1 ,+ )D.(1,1)0X满足x +y兰2的整点的点(x, y)的个数是13y x8、 已知x, y满足约束条件(x+y2,则z = 2x + y的最大值为 3y-12x y -2 _09、 已知x, y满足 x2y，4_0求：(1)Z1= x+ y的最大值；(2)Z2= x y的最大值;3x _y3 込0（3）Z3= x2+ y2的最小值；（4） z （x

11、 J）的取值范围.x_1(5) u=3x+4y+12的最大值与最小值;解：如图，作出已知不等式组表示的平面区域. 易求得 M（2，3），A（1，0），B（0，2）.（1）作直线x+ y= 0，通过平移，知在（2）作直线x y= 0，通过平移，知在M点，zi有最大值5；A点，Z2有最大值1；（3）作圆x2+ y2= r2，显然当圆与直线2x+ y 2 = 0相切时，r2有最小值2，即Z3有最小值-；5（4）丄可看作（1，0）与（x，y）两点连线的斜率，所以x -110、已知点P （1, -2）及其关于原点的对称点均在不等式0石3i-y-3-O /z4的取值范围是（一R， 2 U 3，+ ）.2x

12、-by 10表示的平面区域内，则b的取值范围是x y _ 511、求由约束条件 2x 6确定的平面区域的面积x _ 0, y _ 0解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分）P （1，4）.过P点作y轴的垂线，垂足为 C.S阴影部分和周长C 阴影部分，其四个顶点为 O（ 0，0），B（ 3，0），A(0, 5)，贝U AC=|5-4|=1，PC=|1-0|=1，OC=4，OB=3，AP= i 2，pb= . (4 _0)2 (1 -3)2 =2.51 1得 S acpPC=1，1S梯形 COBP = 2 (CP OB) OC - 8、_ 17所以S阴影部分=S.ACP + S梯形COBP

13、 = C 阴影部分=OA+AP+PB+OB=8+ 2+2汝;5已知木工做一张12、某工厂家具车间造 A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张 A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆 工每天工作分别不得超过 8小时和9小时，而工厂造一张 A、B型桌子分别获利润 2千元和3千元, 试问工厂每天应生产 A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？解：设每天生产 A型桌子x张，B型桌子y张.则0, y 启0作出可行域：把直线I: 2x+3y=0向右上方平移至I的位置时, 直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，+x +2y =8此时z=2x+3y取最大值，解方程丿得M的坐标为(2, 3).0x + y=9答：每天应生产 A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润13、实系数一元二次方程 x2+ ax + 2b = 0有两个根，一个根在区间 (0,1)内，另一个根在区间(1,2)内，求：b 2(1)点(a, b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；a 1解析：方程X+kb说=0的两根在区间(0,1)和对上的儿何意义分别是：函数/也宀血与葢 轴的两个交点胡横坐标分别在区间 1)和曽內由此可樓7等式组/(0