大学物理 刚体2

1、dsaFdAF dscosF dsasinF rdMdAM dAMdANdtMddtM0dr1.质元质元m i 的的动能动能：2.刚体的刚体的转动动能转动动能：212iiiEmv21()2iim rKiEE2212i imr212KEJMJdJdtddJddt dJdMdJ d 2211MdJd 2122211122MdJJ质点系功能原理对刚体仍成立：质点系功能原理对刚体仍成立：1.1.刚体重力势能：刚体重力势能：ChchimiEp=02211()kpkpAAEEEE外非保内（）piiEm gh piiEm ghiim hmgmcmgh2.2.刚体的动能：刚体的动能：3.3.刚体的机械能守恒定

2、律：刚体的机械能守恒定律：212KEJ2211()kpkpAAEEEE外非保内（）0AA外非保内若：kbpbEEC则：）L2L2解一：解一：mg 例例1 一均质细杆可绕一水平轴旋转，一均质细杆可绕一水平轴旋转，开始时处于水平位置，然后让它自由下落。开始时处于水平位置，然后让它自由下落。求：求：=() 动能定理动能定理cos2LMmgAM d0cos2Lmgd 1sin2mgL2102AJ3singL解二：解二：转动定律转动定律MJMJ2cos213LmgmL3cos2gLddtddddtdd3cos2gL003cos2gddL 3singL）L2L2mgLP）rmxyz0sinLmvrsinp

3、rLrpLJ角动量定理：角动量定理：作用在刚体上的冲量矩等作用在刚体上的冲量矩等 于刚体角动量的增量。于刚体角动量的增量。四四. 对轴的角动量守恒定律对轴的角动量守恒定律若刚体若刚体对轴的合外力矩为零对轴的合外力矩为零，则它，则它对该轴的角动量对该轴的角动量守恒。守恒。三、角动量定理三、角动量定理MJdJdt2211ttM dtJd21JJ；若0ZM恒量。则ZL2J1J 例例1 两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为分别为1 、2；求：求：1.对接后共同的角速度对接后共同的角速度2.对接过程中的机械能损失。对接过程中的机械能损失。由角动量守恒得：由角动量守恒

4、得：21摩擦力矩作负功，摩擦力矩作负功，有机械能损失。有机械能损失。112212JJJJ112212JJJJ222121122111222kEJJJJ21212120J JJJ 例例2 人和转盘的转动惯量为人和转盘的转动惯量为I0，哑铃，哑铃的质量为的质量为m，初始转速为初始转速为1rr12mmI01求：双臂收缩由求：双臂收缩由r1变为变为r2时的角速度及机械能时的角速度及机械能增量。增量。非保守内力作正功非保守内力作正功 ，机械能增加机械能增加rr12mmI01由角动量守恒由角动量守恒2201102222ImrImr2012120222ImrImr22022122kEImr22011122I

5、mr222010112022121022ImrImrImr 例例3 一质量为一质量为M长度为长度为L的均质细杆可绕一的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为有一质量为m的橡皮泥以速度的橡皮泥以速度v 和杆子发生完全和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。 ）vm试求：试求： 1. 碰撞后系统的角速碰撞后系统的角速度；度； 2. 碰撞后杆子能上摆碰撞后杆子能上摆的最大角度。的最大角度。LM43L碰撞过程角动量守恒碰撞过程角动量守恒,得：得：上摆过程机械能守恒，得：上摆过程机械能守恒，得：）vm

6、LM43LLmv43MmII 231MLIM243LmIm221MmII cos430Lmgcos2LMg解上述方程可得解上述方程可得 maxLmg432LMg 花样滑冰运动员通过改变身体姿态花样滑冰运动员通过改变身体姿态 即改变转动惯量来改变转速即改变转动惯量来改变转速进动：进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴 转动的现象转动的现象。 LLd LdpGGrM 刚体受重力矩刚体受重力矩 OZdt 时间内角动量增量时间内角动量增量 ddLMt因因 LL d所以自转轴发生转动，产生进动。所以自转轴发生转动，产生进动。rLLLd LdpGOZLsinLdOdsi

7、ndLL dsinJ 由角动量定理由角动量定理 tMLdd 所以所以 tpdd sinJM 进动角速度进动角速度 dsindJtMMpLp/11、sinJMP2、实际上，转动中的进动现象相当于平动中、实际上，转动中的进动现象相当于平动中 的匀速圆周运动，类比如下：的匀速圆周运动，类比如下：成因具有角动量并在外力矩作用下具有动量并在外力作用下共同点两因素互相垂直两因素相互垂直结果角动量改变方向，自旋轴转动动量改变方向，作圆周运动刚体的进动刚体的进动质点匀速圆周运动质点匀速圆周运动类比类比1）飞行中的子弹或炮弹将受到空气阻力的作用，而且）飞行中的子弹或炮弹将受到空气阻力的作用，而且一般又不作用在子

8、弹或炮弹的质心上，阻力对质心的力一般又不作用在子弹或炮弹的质心上，阻力对质心的力矩就可能使弹头翻转。为了保证弹头着地而不翻转，常矩就可能使弹头翻转。为了保证弹头着地而不翻转，常利用枪膛或炮筒中利用枪膛或炮筒中来复线来复线的作用，使子弹或炮弹绕自己的作用，使子弹或炮弹绕自己的对称轴迅速旋转由于回转效应，空气阻力的力矩使的对称轴迅速旋转由于回转效应，空气阻力的力矩使子弹或炮弹的自转轴绕弹道方向进动，这样，子弹或炮子弹或炮弹的自转轴绕弹道方向进动，这样，子弹或炮弹的自转轴就将与弹道方向始终保持不太大的偏离，再弹的自转轴就将与弹道方向始终保持不太大的偏离，再没有翻转的可能没有翻转的可能3、回转效应的应

9、用、回转效应的应用2）原子中的电子同时参与绕核运动具有角动量，在外）原子中的电子同时参与绕核运动具有角动量，在外磁场中，电子将以外磁场方向为轴线作进动这是从物磁场中，电子将以外磁场方向为轴线作进动这是从物质的电结构来说明物质磁性的理论依据质的电结构来说明物质磁性的理论依据 例例: 用绳系一小球使其在光滑的桌面上作圆周运动用绳系一小球使其在光滑的桌面上作圆周运动, 圆圆半径为半径为r 0速度为速度为v0.今缓慢的拉下绳的另一端今缓慢的拉下绳的另一端,使圆使圆半径缩至半径缩至 r , 求求:此时小球的速率此时小球的速率解：解：以桌面为参考系以桌面为参考系0FrM故故 对对0点点角动量守恒角动量守恒

10、mrvvmr00求：摆球移动半圈角动量的增量。求：摆球移动半圈角动量的增量。例：圆锥摆，摆长为例：圆锥摆，摆长为 l , 摆线与竖直线之间的夹角为摆线与竖直线之间的夹角为 1v2v解：（解：（1）以）以O点点为参考点为参考点1r2r)(i vmjRL0角动量守恒角动量守恒imvjR)(olcxyz（2）若以）若以C点点为参考点，角动量增量为：为参考点，角动量增量为：1rlco1v2vxyz2r1r2r1122vmrvmrL 22)(vmrco11)(vmrco)(imvkcoikmvco 2imvkco)(3-15,3-20,3-22习题习题P140-141变换：变换：两个参照系之间时空坐标之

11、间的关系两个参照系之间时空坐标之间的关系两个参照系之间两个参照系之间 时空坐标之间的关系时空坐标之间的关系注意：注意：在这里在这里t = t是一个隐含的假定是一个隐含的假定！P.xxOZXYXYZOtuu, , ,x y z t,xy z t xxut yy zz tt yyzztttuxxxxut yy zz tt dxdxudtdtdydydtdtdzdzdtdtxxvvu yyvv zzvv 4.经典力学中的不变量经典力学中的不变量2). 质量质量1). 加速度加速度xxvvu yyvv zzvv xxaa yyaa zzaa aa ()FmaS系Fma（S系）FF3).或或 牛顿定律在伽利略变换下形式不变牛顿定律在伽利略变换下形式不变( (或或 牛顿力学规律是伽利略不变式牛顿力学规律是伽利略不变式) )1.空间的绝对性（空间的绝对性（长度测量与参照系无关长度测量与参照系无关）2.时间的绝对性（时间的绝对性（时间测量与参照系无关时间测量与参照系无关）1.空间的绝对性（空间的绝对性（长度测量与参照系无关长度测量与参照系无关）222212121lxxyyzz222212121lxxyyzz221xutxut222212121xxyyzzl2.时间的绝对性（时间的绝对性（时间测量与参照系无关时间测量与参照系无关）由伽利略坐标变换由伽利略坐标变换所以：所以：这表明这表明,在经典力