用充要条件等价转化来解题

1、用充要条件的等价转化来解题【例例1 1】指出下列命题中，指出下列命题中，p p是是q q的什么条件（在的什么条件（在“充充 分不必要条件分不必要条件”、“必要不充分条件必要不充分条件”、“充要条充要条 件件”、“既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件”中选出一种作答中选出一种作答).). (1) (1)在在ABCABC中，中，p p：A A=B B，q q：sin sin A A=sin=sin B B; ; (2) (2)对于实数对于实数x x、y y，p p：x x+ +y y8,8,q q: :x x22或或y y6;6; (3) (3)非空集合非空集合A A、B B中，中，p p：x

2、 xA AB B，q q：x xB B; ; (4) (4)已知已知x x、y yR R，p p：( (x x-1)-1)2 2+(+(y y-2)-2)2 2=0=0， q q：( (x x-1)(-1)(y y-2)=0. -2)=0. 首先分清条件和结论，然后根据充要条首先分清条件和结论，然后根据充要条 件的定义进行判断件的定义进行判断. . 思维启迪思维启迪解解 （1 1）在）在ABCABC中，中，A A=B B sin sin A A=sin=sin B B，反，反之，若之，若sin sin A A=sin =sin B B，因为，因为A A与与B B不可能互补（因为三不可能互补（因

3、为三角形三个内角和为角形三个内角和为180180),),所以只有所以只有A A= =B B. .故故p p是是q q的充要条件的充要条件. .(2)(2)易知易知, , p p: :x x+ +y y=8, =8, q q: :x x=2=2且且y y=6,=6,显然显然 q q p p, ,但但 p p q q, ,即即 q q是是 p p的充分不必要条件的充分不必要条件, ,根据原命题根据原命题和逆否命题的等价性知和逆否命题的等价性知, ,p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件. .(3)(3)显然显然x xA AB B不一定有不一定有x xB B, ,但但x xB B一定有一定

4、有x xA AB B, ,所以所以p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件. .(4)(4)条件条件p p: :x x=1=1且且y y=2,=2,条件条件q q: :x x=1=1或或y y=2,=2,所以所以p pq q但但q pq p, ,故故p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件. . 探究提高探究提高 判断判断p p是是q q的什么条件，需要从两方面分的什么条件，需要从两方面分 析析: :一是由条件一是由条件p p能否推得条件能否推得条件q q, ,二是由条件二是由条件q q能否推能否推得条件得条件p p. .对于带有否定性的命题或比较难判断的命对于带有否定性的命题

5、或比较难判断的命题题, ,除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题的等价性，转化为判断它的等价命题. . 知能迁移知能迁移2 2 （20092009安徽理，安徽理，4 4）下列选项中下列选项中, ,p p是是 q q的必要不充分条件的是的必要不充分条件的是 （ ） A.A.p p: :a a+ +c c b b+ +d d, ,q q: :a a b b且且c c d d B. B.p p: :a a1,1,b b1,1,q q

6、: :f f( (x x)=)=a ax x- -b b( (a a0,0,且且a a1)1)的图象不过的图象不过 第二象限第二象限 C.C.p p: :x x=1=1，q q: :x x2 2= =x x D. D.p p: :a a1,1,q q: :f f( (x x)=log)=loga ax x( (a a0,0,且且a a1)1)在（在（0,+0,+）上）上 为增函数为增函数 解析解析 由于由于a a b b, ,c c d d a a+ +c c b b+ +d d，而，而a a+ +c c b b+ +d d却不一定却不一定 推出推出a a b b, ,c c d d. .故故

7、A A中中p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.B.B中中, ,当当a a1,1,b b11时，函数时，函数f f( (x x)=)=a ax x- -b b不过第二象限不过第二象限, ,当当f f( (x x)=)=a ax x- -b b不过第二象限时，有不过第二象限时，有a a1,1,b b1.1.故故B B中中p p是是q q的充分不的充分不必要条件必要条件.C.C中，因为中，因为x x=1=1时有时有x x2 2= =x x，但，但x x2 2= =x x时不一定有时不一定有x x=1=1，故，故C C中中p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.D.D中中p p

8、是是q q的充要条的充要条件件. . 答案答案 A 一、选择题一、选择题1.1.（20092009重庆文，重庆文，2 2）命题命题“若一个数是负数，则若一个数是负数，则 它的平方是正数它的平方是正数”的逆命题是的逆命题是 （ ） A.“A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数若一个数是负数，则它的平方不是正数” B.“B.“若一个数的平方是正数，则它是负数若一个数的平方是正数，则它是负数” C.“C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D.“D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析解析 原命题的逆命题原命题

9、的逆命题: :若一个数的平方是正数，若一个数的平方是正数， 则它是负数则它是负数. . B定时检测定时检测2.2.（20092009浙江理，浙江理，2 2）已知已知a a, ,b b是实数，则是实数，则“a a00且且 b b0”0”是是“a a+ +b b00且且abab0”0”的的 （ ） A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当a a00且且b b00时，一定有时，一定有a a+ +b b00且且abab0.0.反之，反之， 当当a a+ +b b

10、00且且abab00时，一定有时，一定有a a0,0,b b0.0.故故“a a00且且b b0”0” 是是“a a+ +b b00且且abab0”0”的充要条件的充要条件. . C3.3.（20082008广东文，广东文，8 8）命题命题“若函数若函数f f( (x x)=log)=loga ax x ( (a a0,0,a a1)1)在其定义域内是减函数，则在其定义域内是减函数，则logloga a20”20,0,a a1)1)在其定在其定 义域内不是减函数义域内不是减函数 B.B.若若logloga a2020,0,a a1)1)在其定在其定 义域内不是减函数义域内不是减函数 C.C.若

11、若logloga a2020，则函数，则函数f f( (x x)=log)=loga ax x( (a a0,0,a a1)1)在其定在其定 义域内是减函数义域内是减函数 D.D.若若logloga a20,20,0,a a1)1)在其定义在其定义 域内是减函数域内是减函数 解析解析 由互为逆否命题的关系可知由互为逆否命题的关系可知, ,原命题的逆否命原命题的逆否命 题为：若题为：若logloga a2020，则函数，则函数f f（x x）=log=loga ax x( (a a0,0,a a1)1)在其定义域内不是减函数在其定义域内不是减函数. . 答案答案 A A4.4.已知已知A A=x

12、 x|x x-1|1,-1|1,x xR R,B B=x x|log|log2 2x x1,1,x xR R, , 则则“x xA A”是是“x xB B”的的 （ ） A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 A A=x x| |x x22或或x x00，B B=x x| |x x22， x xA xA xB B，但，但x xB B x xA A. . B5.5.集合集合A A=x x|x x|4,|4,x xR R,B B=x x| |x x 5”5”的的 （ ）

13、 A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 A A=x x|-4|-4x x4,4,若若A AB B，则，则a a4,4, a a4 4 a a5,5,但但a a55a a4.4. 故故“A A B B”是是“a a5”5”的必要不充分条件的必要不充分条件. . B6.6.（20092009北京文，北京文，6 6） 的的 （ ） A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 这说明这说明 外外 还可以取其他的值还可以取其他的值. .所以所以 的的 充分而不必要条件充分而不必要条件. .cos2126 是是,21)3cos(2cos,6;213cos2cos,6时而当时当6,212cos除时cos2126 是是A二、填空题二、填空题 7.7.若若“x x2,52,5或或x xx x| |x x14”4”是假命题，则是假命题，则x x 的取值范围是的取值范围是_._. 解析解析 x x2 2，5 5且且x x x x| |x x144是真命题是真命题. . 由由 得得11x x2 . 2 . 1,2)1