关于三次样条插值函数的学习报告研究生

1、学习报告一一三次样条函数插值问题的讨论班级：数学二班学号：152111033姓名：刘楠楠样条函数：由一些按照某种光滑条件分段拼接起来的多项式组成的函数；最常用的样条函数为三次样条函数，即由三次多项式组成，满足处处有二阶连续导数。一、三次样条函数的定义：对插值区间a,b进行划分，设节点a=X0<Xi<Xn<Xn=b,若函数s(x)wc2a,b在每个小区间x，x"上是三次多项式，则称其为三次样条函数。如果同时满足s(Xi)=f(x)(i=0,1,2n),则称s(x)为f(x)在a,b上的三次样条函数。二、三次样条函数的确定：,Si(x),xWxo,xi由定义可设：S(x

2、)=S2(x),x三如其中Sk(x)为x-xk上的三次I,Sn(x),xxn4,xn多项式，且满足Sk(%)=yk,Sk(%)=yk(k=1,2,n,由S(x)"2a,b可得：S(xJ=s(xT,s''(xJ=s'(x：),有Sk(xQ=Sk4t(xj,Sk(xQ=Sk+(xJ(k=1,2,n1),已知每个Sk(x)均为三次多项式，有四个待定系数，所以共有4n个待定系数，需要4n个方程才能求解。前面已经得到2n+2(n-1)=4n-2个方程，因此要唯一确定三次插值函数，还要附加2个条件，一般上，实际问题通常对样条函数在端点处的状态有要求，即所谓的边界条件。1、

3、第一类边界条件：给定函数在端点处的一阶导数，即S(x0)=fo,S(xn)=fn2、第二类边界条件：给定函数在端点处的二阶导数，即''''''''S(x0)=f0,s(Xn)=fn特别地，当s''(X0)=S(Xn)=0时，称为自然边界条件，此时的样条函数称为自然样条函数。3、第三类边界条件：设f(X)是周期函数，并设Xn-Xo是一个周期，于是s(x)满足S(Xo)=S(Xn),S(Xo)=S(Xn)三、三次样条函数的分析计算：设出s(X)在每个节点处的二阶导数值，即s(Xj)=Mj,(j=0,1,2,，n)考虑区

4、间Xj,Xj,在此区间上，s(x)=Sj(x)是三次多项式，故sj'(X)为线性函数，且sj(xj)=s(为)=Mj,sj%)=s(为)=Mj利用线性插值公式，可得sj(x)的表达式：Xj-XX_X-sj(x)=-Mji-Mj,hj=Xj-Xjhjhj积分两次后可得sj(x)的表达式：(Xj-X)3(xXj)3sj(x)=MjMjcixC26hjj6hjj将插值条件sj(Xj,)=yj<sj(Xj)=yj代入可确定积分常数G和c2,整理上式得/、3/、3,2、(Xj-x)(x-Xj)1Mjhj可斗Mjj'j/Mj+|yj厂jj6hj6hj6,xXxjx+/2、Mjhjx-

5、Xjhjyj一«<6)hj只需确定Mo,Mi,，Mn即可给出s(x)的表达式。s(x)在各个节点处的一阶导数存在s(XjD=s'(Xj)即有sj(Xj)=sj+(Xj+)22q青(、由日1日'(xj-x)(X-Xjiyj-yjJMj-Mj-1与sj(x)本导语：sj(x)=-MMj+-hjj2hjj2hjjh6jhjhjyj-yj/hj-ihj-1yj-iyjMj(Mj-Mj)Mj(Mji-Mj)2j6hj2j6hji整理得关于Mj,Mj和Mj中的方程：NjMj+2Mj+%Mj=djhj其中hjhj1hjhj1dj=yj1-yjyj-yjj=1,2;,n-1hj

6、hj1hj1hj，hj1共n1个方程，附加边界条件后，补充两个方程，便可确定n+1个未知量Mo,M1,，Mn。第一类边界条件：s'(Xo)=y0,s'(Xn)=yn直接代入Sj(x)的一阶导数表达式(yi-yo)即得2MoM1=6hih1-=d0,Mn2Mn=6、,(yn7n)yn-hnhnJ三dn与前面的n-1个方程联立得到n+1阶线性方程组:2112lMo1-do1M1M2dd2Mndn类似的有第二类和第三类边界条件得到的方程组:一22112UM11一M2Mn4M2Mn1n2JlMnJ又知上述三个方程组的系数矩阵严格对角占优,''d1-J1yod2dn2-4

7、一八nyn1-di1d2dnl故矩阵可逆，则方程组的解存在且唯一。四、三次样条函数的一致收敛性和稳定性：1、收敛性：设f(x)wC2a,b,S(x)是以人*=0,1：,n)为节点，满足任意边界条件得三次样条插值函数，设hi=Xj手一x,h=max1,S=minh,则0.玄叩J0反叨，当?Ec<°o日寸，S(x)和S(x)在a,b上一致收敛到f(x)f(x),即6lhim0s(x)=f(x),lihm0s(x)=f(x),xa,b从而我们可以知道：当插值节点越多时，三次样条插值函数就越接近被插函数，也就不会产生龙格现象中不收敛的情况。2、稳定性：在三次样条插值法中，插值节点处函数

8、值的波动，只对这个节点两边的分段有影响，而对离该点较远的分段的影响会逐渐变小，因此样条插值法具有较好的稳定性。五、三次样条插值函数的算例与实际应用：例1、求满足下面函数表所给出的插值条件的三次样条插值函数。x0123y0000''y101111解：已知M0=1，M3=0,算得%0=“3=0,%=再=2,儿2=在=3,1,1“1=1%=2，“2=1d0=2,d=d2=d3=0,所以由第二类边界条件可得:20122121220【M。|M11/2M22一2100-01计算M及样条系数得：M°=1,M1=-4/15,M2=1/15,M3=01C2,耳419C90可，1C79&

9、quot;二2Ci,于118C2=1-29C0,2上21C30,2-31901990所以三次样条插值函数为31226xx-x,x0,12901°2o7"F")一被一八丁"/，21312290(x-2)3o(x-2)-90(x-2)，x2,3例2、已知一组数据点，求解满足这些数据点的三次样条插值函数x0.250.30.390.450.53小0.50000.54770.62450.67080.7280解：由于数据点含有多位小数，不便计算，所以本题采用Matlab编程，源代码见附录，结果为g=2.8620,2.7541,2.4130,2.2421,2.1450

10、2.00001.00000.64292.00000.3571Q=0.40002.00000.60000.57142.00000.42861.00002.0000m=0.9697,0.9227,0.7992,0.7424,0.7013插值函数为s1=26452307532726514/56294995342131200*XA2-23087199381998953112589990684262400*X+4002320557702543/112589990684262400-176348716884842172814749767106560*XA3s2=-160081743506404901607

11、98594969501696*XA2+404209705972252727202661983231672320*X+42914224301032395/B166593487994880000+25736189808929622f136796838681378816*XA3s3=143737440983014/33510798882111488*XA2+10427488839800859Z11258999068426240*X+123582314319822599445035996273704960000-34959125367738257599824371187712*XA3s4=267325

12、0110587470491G20575940379279360000+3862675376903357318014398509481984*XA3-24566615397105302ZI72057594037927936*XA2+361470792890578167矽441151880758558720*X例3、已知汽车门曲线型值点的数据如下:Xi012345678910Yi2.513.304.044.705.225.545.785.405.575.705.80求车门的三次样条插值函数，并打印出s(4.5),端点条件为y0=0.8»0=0.2解：源代码见附录，插值函数为_3_2_s(

13、1)=-0.0085140t3-0.0014860t20.80000t2.510032s(2)=0.0044579t-0.013654t0.81217t2.505932s(3)=0.0036544t-0.018475t0.82181t2.499532s(4)-0.040924t0.31696t-0.18448t3.5058s(5)=0.10735t3-1.4624t26.9328t-5.98393_2_s(6)-0.26848t34.1752t2-21.255t40.99632s(7)=0.42659t-8.3361t53.813t-109.143s(8)=-0.26786t6.2474t-4

14、8.272t129.0632s(9)=0.054872t-1.4983t13.694t-36.184s(10)=0.058376t3-1.5929t214.545t-38.738插值点处值为s(4.5)-5.3833附录例2、源代码：x=0.250.30.390.450.53y=0.50000.54770.62450.67080.7280n=length(x);fori=1:n-1h(i)=x(i+1)-x(i);endfori=1:n-2k(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1);u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1);endfori=1:n-2gl(i)=3*(u(i)*(y(

15、i+2)-y(i+1)/h(i+1)+k(i)*(y(i+1)-y(i)/h(i);endg0=3*(y(2)-y(1)/h(1);g00=3*(y(n)-y(n-1)/h(n-1);g=g0glg00;g=transpose(g)k1=k1;u1=1u;Q=2*eye(5)+diag(u1,1)+diag(k1,-1)m=transpose(Qg)symsX;fori=1:n-1p1(i)=(1+2*(X-x(i)/h(i)*(X-x(i+1)/h(i)A2*y(i);p2(i)=(1-2*(X-x(i+1)/h(i)*(X-x(i)/h(i)A2*y(i+1);p3(i)=(X-x(i)*

16、(X-x(i+1)/h(i)F2*m(i);p4(i)=(X-x(i+1)*(X-x(i)/h(i)F2*m(i+1);p(i)=p1(i)+p2(i)+p3(i)+p4(i);p(i)=simple(p(i);ends1=p(1)s2=p(2)s3=p(3)s4=p(4)fork=1:4forz=x(k):0.001:x(k+1)q=eval(subs(p(k),'X','z');plot(z,q,'b')holdonendendgridonlegend('eval')title('图像')xlabel('

17、;x')ylabel('y')例3、源代码：function=spline3(X,Y,dYx0,m)N=size(X,2);s0=dY(1);sN=dY(2);interval=0.025;disp('x0为插值点')x0h=zeros(1,N-1);fori=1:N-1h(1,i)=X(i+1)-X(i);endd(1,1)=6*(Y(1,2)-Y(1,1)/h(1,1)-s0)/h(1,1);d(N,1)=6*(sN-(Y(1,N)-Y(1,N-1)/h(1,N-1)/h(1,N-1);fori=2:N-1d(i,1)=6*(Y(1,i+1)-Y(1

18、,i)/h(1,i)-(Y(1,i)-Y(1,i-1)/h(1,i-1)/(h(1,i)+h(1,i-1);endmu=zeros(1,N-1);md=zeros(1,N-1);md(1,N-1)=1;mu(1,1)=1;fori=1:N-2u=h(1,i+1)/(h(1,i)+h(1,i+1);mu(1,i+1)=u;md(1,i)=1-u;endp(1,1)=2;q(1,1)=mu(1,1)/2;fori=2:N-1p(1,i)=2-md(1,i-1)*q(1,i-1);q(1,i)=mu(1,i)/p(1,i);endp(1,N)=2-md(1,N-1)*q(1,N-1);y=zeros

19、(1,N);y(1,1)=d(1)/2;fori=2:Ny(1,i)=(d(i)-md(1,i-1)*y(1,i-1)/p(1,i);endx=zeros(1,N);x(1,N)=y(1,N);fori=N-1:-1:1x(1,i)=y(1,i)-q(1,i)*x(1,i+1);endfprintf('M为三对角方程的解n');M=x;fprintf('n');symst;digits(m);fori=1:N-1pp(i)=M(i)*(X(i+1)-t)A3/(6*h(i)+M(i+1)*(t-X(i)A3/(6*h(i)+(Y(i)-M(i)*h(i)A2/6)*(X(i+1)-t)/h(i)+(Y(i+1)-M(i+1)*h(i)A2/6)*(t-X