振动力学(梁的横向振动)

1、弹性体的振动振动力学振动力学-弹性体的振动弹性体的振动梁的横向振动梁的横向振动 仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。弹性体的振动1 1、运动微分方程、运动微分方程 在梁的主平面上取坐标在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截，原点位于梁的左端截面的形心，面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移动过程中，轴线上任一点的

2、位移u(x,t)均沿均沿z轴轴方向。方向。弹性体的振动 取微段梁取微段梁dx，截，截面上的弯矩与剪力为面上的弯矩与剪力为M和和Q，其正负号的，其正负号的规定和材料力学一样。规定和材料力学一样。22QuQQdxfdxAdxxt 则微段梁则微段梁dx沿沿z方向的运动方程为：方向的运动方程为：弹性体的振动即即22QuAfxt 利用材料力学中的关系利用材料力学中的关系MQx22uMEIx222222uuEIAfxxt 得到梁的弯曲振动方程得到梁的弯曲振动方程弹性体的振动边界条件边界条件 和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始

3、条件。成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为以左端为例例)。（1）固定端：挠度和转角为）固定端：挠度和转角为0，即，即0( , )(0, )0,0 xu x tutx弹性体的振动（2）简支端：挠度和弯矩为）简支端：挠度和弯矩为0，即，即220( , )(0, )0,0 xu x tutEIx（3）自由端：弯矩和剪力为）自由端：弯矩和剪力为0，即，即222200( , )( , )0,0 xxu x tu x tEIEIxxx其它边界条件用类似的方法给出。其它边界条件用类似的方法给出。弹性体的振动 2 2、梁弯曲自由振动

4、的解、梁弯曲自由振动的解令振动方程中的干扰力为令振动方程中的干扰力为0，得到，得到222222uuEIAxxt 对于均匀梁，振动方程为对于均匀梁，振动方程为其中其中422420uuaxtEIaA弹性体的振动假定有分离变量形式的解存在，令假定有分离变量形式的解存在，令( , )( ) ( )u x tx q t代入方程得到代入方程得到2222222( )( )( )( )dxd q taq txxdxdt 写为写为22222222( )( )( )( )dxd q txdxdtaxq t弹性体的振动则有则有222( )( )0d q tq tdt444( )( )dxxdx其中其中242a（称为

5、特征方程）（称为特征方程）弹性体的振动方程的通解为方程的通解为56( )sincosq tCtCt1234( )sincosshchxCxCxCxCx 由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。 弹性体的振动【例例1】 求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。220(0)0,0 xddx22( )0,0 x ldldx1234( )sincos

6、shchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解22122234( )sincosshchxCxCxCxCx 以及以及解：边界条件为挠度和弯矩为解：边界条件为挠度和弯矩为0。弹性体的振动240,CC得到得到2213sinsh0ClCl以及以及224()0CC则则240CC13sinsh0ClCl则则30C 以及频率方程以及频率方程sin0l由此解得由此解得,(1,2)iiil弹性体的振动所以固有频率所以固有频率振型为振型为( )( )sinsiniiixCxCxl2222,(1,2)iiiEIailA 第第i阶振型有阶振型有i1个节点。节点坐标个节点。节点坐标kixkl即即,(1,2

7、1)kklxiki212EIlA2224E IlA2329EIlA弹性体的振动【例例2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。(0)0,(0)0( )0,( )0ll代入特征方程的解得到代入特征方程的解得到240,CC以及以及13()0CC1234sincosshch0ClClClCl1243cossinshch0ClClClCl解：边界条件为挠度和转角为解：边界条件为挠度和转角为0，即，即弹性体的振动化简后得到频率方程化简后得到频率方程cosch1ll求得求得31CC 241sinshchc sllCCClol 求出求出 后得到固有频率后得到固有

8、频率22,(1,2)iiiEIaiA弹性体的振动振型为振型为1234( )sincosshchxCxCxCxCx1111sinshsincoschcossinsinhshchchcosllCxCxllllCxCxllsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll弹性体的振动【例【例3】求左端固定、右端用刚度为求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的的弹簧支承的 均匀梁弯曲振动的频率方程。均匀梁弯曲振动的频率方程。(0)0,(0)0解：左端的边界条件为挠度和转角为解：左端的边界条件为挠度和转角为0弹性体的振动(0)0,(0)0解：左端的边界条件为挠度和转角为解：左端的边界条件为挠度

9、和转角为0弹性体的振动右端的边界条件：弯矩为右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力，剪力等于弹性力( )0l33( )x ldMdQEIqqkldxdx弹性体的振动1234( )sincosshchxCxCxCxCx代入特征方程的解代入特征方程的解以及以及22122234( )sincosshchxCxCxCxCx 1243( )cossinshchxCxCxCxCx( )0l33( )x ldMdQEIqqkldxdx弹性体的振动进一步化简后得到频率方程进一步化简后得到频率方程3chcos1chsincosshkllEIllll 求出求出 后得到固有频率后得到固有频率22,(1,2)iii

10、EIaiA振型为振型为1234( )sincosshchxCxCxCxCxsinshsinsh(cosch)chcosllCxxxxll弹性体的振动33123334( )cossinchshxCxCxCxCx 240,CC将边界条件代入得到将边界条件代入得到13()0CC1234sincosshch0ClClClCl33331234(cossinchsh)EIClClClCl1234(sincosshch)k ClClClCl求得求得31CC 241sinshchcosllCCCll 弹性体的振动讨论：讨论：（1）k0时，频率方程变为时，频率方程变为chcos10ll 即为悬臂梁的情况。即为悬

11、臂梁的情况。（2）k趋于无穷大时，频率方程变为趋于无穷大时，频率方程变为chsincossh0llll或或tanthll即为左端固定，右端简支的情况。即为左端固定，右端简支的情况。弹性体的振动【思考题】【思考题】 证明图示悬臂梁在证明图示悬臂梁在xl处的边界条件为：处的边界条件为：202( , )( , )x lx lu x tu x tEIkxx 33( , )( , )x lu x tEIku l tx弹性体的振动关于振型函数的正交性关于振型函数的正交性 和一维波动方程振型函数的正交性类似。第和一维波动方程振型函数的正交性类似。第i阶阶特征值满足特征值满足22222( )( )( )( )

12、iiidxdEI xA xxdxdx 弹性体的振动 考虑边界条件为简支、自由、固定的情考虑边界条件为简支、自由、固定的情况，梁端点的位移、弯矩或剪力为况，梁端点的位移、弯矩或剪力为0，则，则对第对第j阶振型进行上面类似的运算得：阶振型进行上面类似的运算得：22220lijddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20liijAdx 22220ljiddEIdxdxdx22220ljiddEIdxdxdx20ljijAdx 弹性体的振动用用 j左乘上式两端，并积分左乘上式两端，并积分22220222200lijlliijjddEIdxdxdxddddEIEIdxdxdxdxdx22

13、220022220lljiijljiddddEIEIdxdxdxdxddEIdxdxdx弹性体的振动上两式相减得上两式相减得则则220()0lijijAdx 00()lijAdxij ij时时0liiiAdxM 2222222200lliiiiidddEIdxEIdxMdxdxdx弹性体的振动梁在激励力作用下的响应梁在激励力作用下的响应 和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应( )1( , )( )( )iiiu x tq tx1. 标准坐标（正则坐标）标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化对振型函数按下式条件正则化01liiiAdxM 弹性体的

14、振动2. 对初始激励的响应对初始激励的响应 设初始条件为设初始条件为00( , )( )tu x tu xt0( ,0)( )u xux将其按标准振型展开将其按标准振型展开001( ,0)( )iiiu xuxq001( ,0)( )iiiu xuxq弹性体的振动用用 A j左乘上两式，并积分得左乘上两式，并积分得标准坐标下的初始激励响应标准坐标下的初始激励响应00001( ,0)llijiiiiqAdxqAu xdx 00001( ,0)llijiiiiqAdxqAu xdx 00( )cossiniiiiiiqq tqtt弹性体的振动物理坐标下的响应物理坐标下的响应001( , )( )c

15、ossiniiiiiiiqu x txqtt弹性体的振动响应求解步骤响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用标准化条件确定振型中的常数因子）利用标准化条件确定振型中的常数因子;（3）将初始条件变换到标准坐标）将初始条件变换到标准坐标;（4）求标准坐标下的响应）求标准坐标下的响应;（5）求物理坐标下的响应。）求物理坐标下的响应。弹性体的振动【例【例4】长为长为l的均匀简支梁初始静止，设在的均匀简支梁初始静止，设在xx1处的处的微段微段d上有初始速度上有初始速度v，求系统对此初始条件的响应。，求系统对此初始条件的响应。 解：解： （1）

16、固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为2iiEIlA( )siniii xxCl（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxll01liiAdx弹性体的振动求得求得2iCAl2( )sinii xxAll所以所以（3）初始条件。按题意）初始条件。按题意110( ,0)0,220tvxxxuu xt弹性体的振动变换到主坐标下变换到主坐标下1100022( )2sinliixxqAux dxi xAvdxAll000( )0liiqAux dx1122sinsin22sini xAlivlilli xAvll00( )coss

17、iniiiiiiqq tqtt弹性体的振动3. 对外激励的响应对外激励的响应（1）分布干扰力）分布干扰力 设干扰力密度为设干扰力密度为f(x,t), 和前面杆的外激励受迫振和前面杆的外激励受迫振动响应推动方法一样。利用标准化振型函数动响应推动方法一样。利用标准化振型函数Fi，得到，得到标准坐标下的解耦方程标准坐标下的解耦方程20( , )liiiiqqf x ydx利用杜哈美积分得利用杜哈美积分得001( , )sin()ltiiiiqf xtd dx弹性体的振动（4）响应）响应1( , )( )( )iiiu x tq tx1121sinsinsiniiii xvi xtlll0012cos

18、sinsiniiiiiiqi xqttAll总响应为总响应为001( , )( , )sin()ltiiiiiu x tf xtd dx弹性体的振动（2）集中力）集中力 设在设在xx1处受集中力处受集中力F(t), 这时可以用这时可以用 函数表示函数表示为分布形式：为分布形式：F(x,t)dx (x-x1), 方程变为方程变为2110( , ) ()() ( )liiiiiqqF x txxdxx F t总响应为总响应为101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tFtd弹性体的振动（3）集中力偶（不推导，只给出结果）集中力偶（不推导，只给出结果） 设在设在xx1处受集中

19、力处受集中力M(t), 这时有这时有10()( )sin()tiiiixqMtd总响应为总响应为101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tMtd弹性体的振动强迫振动的响应求解步骤强迫振动的响应求解步骤：（1）根据边界条件求解固有频率和固有振型）根据边界条件求解固有频率和固有振型;（2）利用正规化条件确定振型中的常数因子）利用正规化条件确定振型中的常数因子;（3）求主坐标下的响应）求主坐标下的响应;（4）求广义坐标下的响应。）求广义坐标下的响应。弹性体的振动 解：（解：（1）固有频率与相应的固有振型为）固有频率与相应的固有振型为2iiEIlA( )siniii xxCl

20、（2）由正规化条件）由正规化条件 确定系数确定系数Ci0sinsin1liii xi xCA Cdxll01liiAdx【例【例5】设长为设长为l的简支梁在的简支梁在xa处受集中力处受集中力Fsin t作作用用, 求响应。求响应。求得求得2( )sinii xxAll弹性体的振动（3）响应）响应122121sinsinsinsiniiiii xFi xttAlll110122sinsinsinsinsin()iiitii xi xtAllAllFtd101( )()( , )( )sin()tiiiiixxu x tFtd弹性体的振动【例【例6】火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均火车在很长的桥梁上通过，可以简化为一均匀筒支梁受到以等速率匀筒支梁受到以等速率v向右运动的荷重向右运动的荷重P的作用。的作用。假设在初始时刻荷重位于梁的左端，试求强迫振动假设在初始时刻荷重位于梁的左端，试求强迫振动的响应。的响应。弹性体的振动 解：（解：（1）均匀简支梁的固有频率与相应的固有