121函数的概念学案

1、1.2.1函数的概念1函数的定义(1)传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y的值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量B为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x) (xA)其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域B为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x) (xA)其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域(3)对函数概念的理解需注意以下几点：A、B都是非空

2、数集，因此定义域(或值域)为空集的函数不存在在现代定义中，B不一定是函数的值域，如函数yx21可称为实数集到实数集的函数对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了函数符号f(x)的含义：f(x)是表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看作是对“x”施加的某种法则(或运算)，如f(x)x22x3.当x2时，可看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，则左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如f(2x1)(2x1)22(2x1)3

3、，fg(x)g(x)22g(x)3等，f(a.)与f(x)的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量 对应关系：A中的任一个元素，B中都有唯一的元素与之对应；而B中的元素在A中的对应元素可以不唯一，也可以没有2两个函数相等只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应法则不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能惟一地确定函数的对应法则例如，函数yx1与yx1，其中定义域都是R，值域都是R.但它们的对应法则是不同的，因此不

4、能说这两个函数是同一个函数3区间的概念函数的定义域和值域通常用区间表示，下面介绍区间的概念：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)满足不等式ax<b，或a<xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b)，(a，b满足xa，x>a，xa，x<a的实数x的集合用区间分别记作a，)，(a，)，(，a，(，a)对区间概念的理解，要注意以下三点：(1)区间符号里面两个字母(或数字)之间用“，”间隔开(2)无穷大是一个符号，不是一个数(3

5、)在求函数的定义域或值域时，既可以用集合也可以用区间表示. 题型一两个函数相等的判断判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，并说明理由f(x)(x1)0，g(x)1f(x)x，g(x)f(x)x2，f(x)(x1)2f(x)|x|，g(x)解f(x)(x1)0的定义域为x|x1，g(x)1的定义域为实数集R，它们定义域不同，所以它们不表示同一函数；f(x)x的值域是R，g(x)的值域是0，)，它们的值域不同，所以它们不表示同一函数；f(x)x2与f(x)(x1)2的对应关系不同，所以它们不表示同一函数；f(x)|x|与g(x)的定义域都为实数集R，值域都为0，)，对应关系相同，所以它

6、们是同一函数点评判断两个函数是否相同时，只要看定义域和对应关系是否完全一致，只有完全一致，这两个函数才是相等函数，对于解析式较为复杂的函数需先化简比较对应关系是否相同，但化简过程必须是等价的 题型二函数的求值已知函数f(x)x2x1，求：(1)f(2)；(2)f；(3)若f(x)5，求x的值解(1)f(2)4215.(2)f211.(3)f(x)5，即x2x15.由x2x60，得x2或x3.点评求函数值主要用代入法，每当代入时要注意式子的化简和符号的变化，求f(g(x)可以看作是求以g(x)为f(x)的自变量的函数值 题型三函数的定义域求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)y；(3)f(x

7、)；(4)若函数f(x)的定义域为2,3，求f(x2)的定义域；(5)若函数f(x3)的定义域为5，2，求F(x)f(x1)f(x1)的定义域分析一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使式子有意义的自变量的取值范围当一个函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分有意义的公共部分的集合对于复合函数的定义域，在同一对应关系f下，括号内整体的取值范围相同解(1)依题意，函数f(x)的定义域是x|x1且x2(2)依题意，函数y的定义域为.(3)依题意，得x<0且x1，故定义域为(，1)(1,0)(4)函数f(x)的定义域为2,3，故2x3.由2x23，得0x1

8、，f(x2)的定义域为0,1(5)函数f(x3)的定义域为5，2，即5x2，2x31，得F(x)f(x1)f(x1)的定义域为1,0点评(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；(2)如果f(x)是分式，那么函数定义域是使分母不等于零的实数的集合；(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合；(6)求抽象函

9、数的定义域，要明确以下两点：定义域是指自变量x的取值集合，yf(x)的定义域是x的取值集合，yfg(x)的定义域也是指x的取值集合；同一个f，括号内整体的取值范围相同，好比法律面前人人平等，yf(x)的定义域为a，b，则yfg(x)的定义域是指满足不等式ag(x)b的x的取值集合已知函数y的定义域为R，求实数k的值错解函数的定义域为R，即k2x23kx10对任意的实数x恒成立，9k24k2<0，此时5k2<0，无解，k值不存在错因分析本题忽视了k0的讨论，误认为k2x23kx1一定是二次函数正解问题转化为：求使k2x23kx10成立的k的值(1)k0时，y8，定义域为R，k0符合题

10、意(2)k0时，k2>0，k2x23kx10，即9k24k2<0，此时5k2<0，无解综上，k0时函数y的定义域为R.高考对本节知识的考查，一是求一些简单函数的定义域；二是考查对函数定义的理解常以客观题形式出现，属于试卷中的容易题1(全国高考)函数y的定义域为()Ax|x0 Bx|x1Cx|x10 Dx|0x1解析要使函数有意义，需解得函数的定义域为x|x10答案C2(浙江高考)函数y(xR)的值域是_解析y1，由x211，得0<11<0，01<1，即0y<1，值域为0,1)答案 0,1)1下列说法中不正确的是()A函数定义域中的每一个数都有值域中的一

11、个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定D若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素答案B解析函数的定义域和值域可能是有限集，也可能是无限集，但不能是空集，故选B.2下列图象中不能作为函数图象的是()答案B解析B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义，故选B.3下列各组函数中，表示同一函数的是()Ayx1和y Byx和yCyx2和y(x1)2 Dy和y答案D解析A，B中两函数的定义域不同，C中的两个函数对应关系不同，故选D.4下列函数中，定义域不是R的是()Aykxb ByCyx2c Dy答案B解析选项A

12、、C都是整式函数，符合题意，选项D中，对任意实数x都成立5下列对应为A到B的函数的是()AA=R，B，f:xy=|x|BA=Z,B=N,f:xy=xC.A=Z,B=Z,f:xy=A=,B=, f:xy=0答案D解析A、B不满足存在性，C不满足任意性6若函数yf(x)的定义域是2,4，则函数g(x)f(x)f(x)的定义域是()A4,4 B2,2C4，2 D2,4答案B解析由，可得2x2.7已知f(x) (xR，且x1)，g(x)x22.(1)求f(2)与g(a.)；(2)求gf(2)和fg(x)解(1)f(2)，g(a)a22；(2)f(2)，gf(2)22，fg(x)f(x22).8已知f(

13、x)的定义域为(0,1，求g(x)f(xa)·f(xa) (a0)的定义域解由已知得即(a0)用数轴法，讨论(1)当a0时，x(0,1；(2)当a时，x，即函数不存在；(3)当<a<0时，x(a,1a. 学习目标1理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用2通过实例领悟构成函数的三要素；会求一些简单函数的定义域3了解区间的概念，体会用区间表示数集的意义和作用 自学导引B为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.(其中x叫自变量)，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做

14、函数的值域B为从集合A到集合B的一个函数，记作：yf(x)，xA.(其中x叫自变量)，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域2函数的三要素是定义域、值域和对应法则3由于值域是由函数的定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相同4(1)满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)(3)满足不等式ax<b或a<xb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b)，(a.，b(4)实数集R

15、用区间表示为(，)(5)把满足xa，x>a，xb，x<b的实数x的集合分别表示为a，)，(a.，)，(，b，(，b).一、判断对应是否为函数例1判断下列对应是否为函数：(1)，x0，xR；(2)xy，这里y2x，xN，yR；(3)集合AR，B1,1，对应关系f：当x为有理数时，f(x)1；当x为无理数时，f(x)1，该对应是不是从A到B的函数？分析函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：(1)定义域和对应关系是否给出；(2)根据给出的对应关系，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值y与之对应解(1)对于任意一个非零实数x,被x为以确

16、定，所以当x0时，是函数，这个函数也可以表示为f(x)(x0) (3)是函数，满足函数的定义，在A中任取一个值，B中有唯一确定的值和它对应点评判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一(即多对一或一对一)变式迁移1判断下列对应是否为集合A到集合B的函数：(1)A=R,B=R,对任意的；（2）A=,对任意的（x,y）,(x,y)；(3)A=B=N,对任意的A,x|x3|.解(1)是(2)不是，因为集合A不是数集(3)不是，因为当x3时，在集合B中不存在数值与之对应 二、已知解析式求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y3x；(2)y；(3)y；(4)y

17、.分析求函数定义域，其实质是求使解析式各部分都有意义的未知数的取值范围解(1)函数y3x的定义域为R；(2)要使函数有意义，需x1且x0，所以函数y的定义域为x|x1且x0(，0)(0,1；(3)要使函数有意义，需x0且x.故函数y的定义域为；(4)要使函数有意义，需解得x<2且x0，所以函数y的定义域为(0,2)点评求函数定义域的原则：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次根式的被开方数(式)为非负数；(3)零指数幂的底数不等于零等变式迁移2求下列函数的定义域：(1)f(x)；(2)f(x)4；(3)f(x).解(1)由x23x20，得：x1，x2f(x)的定义域是xR|x1且x2(2)

18、由，得x.f(x)4的定义域是.(3)由，得x<0且x1，原函数的定义域为x|x<0且x1 三、两函数相同的判定例3下列各题中两个函数是否表示同一函数：(1)f(x)x，g(x)()2；(2)f(x)x，g(x)；(3)f(t)t，g(x)；(4)f(x)，g(x)x2.分析要判断两个函数是否为同一函数，关键在于看函数的两要素：定义域和对应关系是否相同，两者只要有一个不同，两个函数就不是同一函数解(1)f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为x|x0，两个函数的定义域不同，故不是同一函数(2)g(x)|x|，两个函数对应关系不同，故不是同一函数(3)g(x)x，两者的定义域和对应关

19、系相同，故是同一函数(4)f(x)的定义域为(，2)(2，)，g(x)的定义域为R，故不是同一函数点评只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一函数，这就是说：(1)定义域不同，两个函数也就不同；(2)对应关系不同，两个函数也是不同的；(3)即使是定义域和值域分别相同的两个函数，它们也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系(4)两个函数是否相同，与自变量是什么字母无关变式迁移3试判断下列函数是否为同一函数：(1)f(x)·与g(x)；(2)f(x)x22x与g(t)t22t；(3)f(x)1与g(x)x0(x0)解(2)是，(1)、

20、(3)不是对于(1)，f(x)的定义域为0，)，而g(x)定义域为(，10，)(3)也是定义域不同 四、求函数的值域例4(1)已知函数f(x)x22x，定义域A0,1,2,3，求这个函数的值域；(2)求函数f(x)，xR，在x0,1,2处的函数值及该函数的值域解(1)函数的定义域为A0,1,2,3，分别令x0,1,2,3得相应的函数值分别为0，1,0,3，于是知，函数的值域为1,0,3(2)f(0)1，f(1)，f(2).容易看出，这个函数当x0时，取得最大值，当自变量x的绝对值逐渐变大时，函数值逐渐变小并无限接近于0，但永远不会等于0.从而可知，这个函数的值域为(0,1点评(1)求函数的值域

21、的问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数，其值域是指集合Cy|yf(x)，xA；二是函数的定义域和对应关系对应关系相同，而定义域不同，其值域肯定不同，如f(x)x22x，x0,2与f(x)x22x，xR.(2)求函数的值域没有固定的方法和模式，就目前阶段主要用观察法求值域，但函数的图象在求函数的值域中也起着十分重要的作用变式迁移4(1)函数f(x)的值域为(用区间表示)_；(2)函数y(1x2)的值域为(用区间表示)_答案(1)0，)(2)1,21函数符号yf(x)是难以理解的抽象符号，它的内涵是“对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下即可得到y”在学习过程中，不容易

22、认识到函数概念的整体性，而将函数单一地理解成函数中的对应关系，甚至认为函数就是函数值2正确理解函数的三要素，其中对应关系是函数的核心，而函数的定义域就是指能使这个解析式有意义的所有实数的集合，在实际问题中，还必须考虑自变量的取值应符合实际意义3区间是某些数集的一种重要表示形式，具有简单直观的优点，因此是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具一、选择题1下列各组函数表示同一函数的是()Ay与yx3By1与yx1Cyx0(x0)与y1(x0)Dy2x1，xZ与y2x1，xZ答案C解析A中的两函数定义域不同，B中的两函数值域不同，D中的两函数对应法则不同C正确2下列集合A，B及对应关系不能构成函数的是()AABR，f(x)|x|BABR，f(x)CA1,2,3，B4,5,6,7，f(x)x3D