第五章 机械波

1、振动和波动的关系：振动和波动的关系： 机械波、电磁波、物质波机械波、电磁波、物质波振动振动波动的成因波动的成因波动波动振动的传播振动的传播 波动的种类：波动的种类： 扰动在空间的传播过程叫做波动扰动在空间的传播过程叫做波动。机械波：机械振动在空间的传播机械波：机械振动在空间的传播第五章第五章 机械波机械波第五章第五章 机械波机械波 5-1 机械波的形成和传播机械波的形成和传播5-2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5-3 波的能量波的能量5-4 惠更斯原理、波的叠加和干涉惠更斯原理、波的叠加和干涉5-5 驻波驻波5-6 多普勒效应多普勒效应5.1 机械波的形成和转播机械波的形成和转播能

2、传播机械振动的媒质能传播机械振动的媒质（空气、水、钢铁等）（空气、水、钢铁等）2 介质介质作机械振动的物体作机械振动的物体（声带、乐器等）（声带、乐器等） 1 波源波源 波是运动状态的传播波是运动状态的传播，介介质的质点并不随波传播质的质点并不随波传播.注意注意5.1.1 机械波产生的条件机械波产生的条件弹性波弹性波: : 波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力。波动中使介质各部分振动的回复力是弹性力。横波：质点振动方向与波的传播方向相横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直垂直的波的波.（仅在固体中传播（仅在固体中传播 ） 特征：波峰和波谷交替出现特征：波峰和波谷交替出现5.1.2 横波和纵波

3、横波和纵波纵波：质点振动方向与波的传播方向互相纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行平行的波的波.（可在固体、液体和气体中传播）（可在固体、液体和气体中传播） 特征：密部和疏部交替出现特征：密部和疏部交替出现. 结论：结论：(1) 质元并未质元并未“随波逐流随波逐流” ” 波的传播不是媒波的传播不是媒 质质元的传播质质元的传播(2) “上游上游”的质元依次带动的质元依次带动“下游下游”的质元振的质元振动动(3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻 于于“下游下游”某处出现某处出现 (4)沿波的传播方向沿波的传播方向, ,各质元的相位依次落后。各质元的相位依次

4、落后。-波是振动状态的传播波是振动状态的传播5.1.3 波线波线 波面波面 波前波前振动相位相同的点组成的面称为波阵面振动相位相同的点组成的面称为波阵面1 波线波线2 波阵面波阵面代表波的传播方向的射线代表波的传播方向的射线任一时刻波源最初振动状态在各方向任一时刻波源最初振动状态在各方向上传到的点的轨迹上传到的点的轨迹. 波前是最前面的波阵面波前是最前面的波阵面波传播到的空间叫做波场波传播到的空间叫做波场分类（分类（1）平面波平面波 （2）球面波球面波性质性质（3）各向同性介质中，波线垂直于波阵面各向同性介质中，波线垂直于波阵面.（2）波阵面的推进即为波的传播波阵面的推进即为波的传播.（1）同

5、一波阵面上各点振动状态相同同一波阵面上各点振动状态相同.5.1.4 简谐波简谐波媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律媒质中的所有质元均按一定的相位传播规律做简谐振动做简谐振动简谐波简谐波 yoxutP任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠任何复杂的波都可以看成由若干个简谐波叠加而成加而成（本章研究对象）（本章研究对象）决定于介质的性质（弹性模量和密度）决定于介质的性质（弹性模量和密度）2波动过程中，某一振动状态（即振动相位）波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）单位时间内所传播的距离（相速）.1 波速波速 u钢铁中钢铁中 水水 中中例如，声波在空气中例如，声波在

6、空气中1sm3401sm50011sm00055.1.6 描述波动的几个物理量描述波动的几个物理量2 周期周期 T一完整波通过波线上某点所需的时间一完整波通过波线上某点所需的时间.12T3 频率频率 单位时间内波向前传播的完整波的数目单位时间内波向前传播的完整波的数目. T124. 波长波长2 波长波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相：沿波的传播方向，两个相邻的、相位差为位差为 的振动质点之间的距离，即一个完整的振动质点之间的距离，即一个完整波形的长度波形的长度.2OyAAuxuTu四个物理量的联系四个物理量的联系T1TuTuu注意注意XYXPOtu)(0tfy 设：设：t时刻时刻O点的运动

7、为点的运动为)(ttfy t时刻时刻P点的状态：点的状态：在波的传播方向上，在波的传播方向上，任意点任意点在任意时刻的振动状态。在任意时刻的振动状态。 波函数波函数：表示在波的传播方向上，任意点振动状态表示在波的传播方向上，任意点振动状态 的函数。的函数。 波的传播方向上，波的传播方向上，任意点任意点 x处的振动方程处的振动方程 波沿波沿x轴负向传播：轴负向传播：)(ttfy)(uxtf)(uxtf表达式的物理意义：表达式的物理意义： 5.2 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程5.2.1平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 yoxut原点振动方程：原点振动方程：)cos(0tAy)(

8、costtAyP P点处：点处： P)(cosuxtAy 波动方程波动方程波沿波沿x轴负向传播：轴负向传播：)(cosuxtAy可得波动方程的几种不同形式：可得波动方程的几种不同形式：利用利用kxtAxtAxTtAuxtAycos2cos2coscosT22uT和和（波具有时间的周期性）（波具有时间的周期性）)()(Ttxytxy,tAycos 则则02x令令02cosxtAyOyt 1 一定，一定， 变化变化 xt表示表示 点处质点的振动方程（点处质点的振动方程（ 的关系）的关系）ty 0 x5.2.2 波动方程的物理意义波动方程的物理意义 212xx2 波程差波程差波线上各点的简谐运动图波

9、线上各点的简谐运动图Ct 0令令（定值）（定值） xAy2cos则则 y o xxtAy2cos0 2 一定一定 变化变化xt 该方程表示该方程表示 时刻波传播方向上各质点时刻波传播方向上各质点的位移的位移, 即即 时刻的波形（时刻的波形（ 的关系）的关系）0t0txy )(2)(1212ttTtt 方程表示在不同时刻各质点的位移，方程表示在不同时刻各质点的位移，即不同时刻的波形，体现了波的传播即不同时刻的波形，体现了波的传播.yxuO3 、 都变都变xt25xy0.1cost1025例例已知波动方程为已知波动方程为 ，其中，其中x，y的单位为的单位为m，t的单位为的单位为s，求，求(1)振幅

10、、波长、周振幅、波长、周期、波速；期、波速；(2)距原点为距原点为8 m和和10 m两点处质点振动两点处质点振动的位相差；的位相差；(3)波线上某质点在时间间隔波线上某质点在时间间隔0.2 s内的位内的位相差相差.y0.1cos25tx10解解(1) 将波动方程改写将波动方程改写0 xyA costu1025A0.1m ,s, u25m / s,0102T0.8s,=uT=20m(2)同一时刻波线上坐标为同一时刻波线上坐标为 和和 两点处质点振动两点处质点振动的位相差的位相差1x2x212xx2 21=xx1082m=-25 时，负号表示负号表示x2处的振动位相落后于处的振动位相落后于x1处的

11、振动位相处的振动位相.(3)对于波线上任意一个给定点对于波线上任意一个给定点(x一定一定)，在时间间，在时间间隔隔t内的位相差内的位相差21tttt0.2s,2则 例例2 一平面简谐波沿一平面简谐波沿 轴正方向传播，轴正方向传播， 已知振幅已知振幅 ， ， . 在在 时坐标原点处的质点在平衡位置沿时坐标原点处的质点在平衡位置沿 轴正向轴正向运动运动. 求：求： ( (2) ) 波形图；波形图；s0 .1t( (3) ) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图. m5 . 0 x( (1) )波动方程；波动方程；m0 . 1A0tm0 . 2s0 . 2TOxOy解解 ( (1) ) 写出

12、波动方程的标准式写出波动方程的标准式)(2cosxTtAy20,0tyyv00 xt)(2cosxTtAyyAO2)0 . 20 . 2(2cosxty(m) ( (2) )求求 波形图波形图s0.1t2cos0 .1xy波形方程波形方程s0.1t0m/ym/x2.01.0-1.0 时刻波形图时刻波形图s0.1t2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xtyxsin(m) ( (3) ) 处质点的振动规律并作图处质点的振动规律并作图 m5 . 0 x2)0 . 20 . 2(2cos0 . 1xty 处质点的振动方程处质点的振动方程m5 .0 xcos ty(m)0m/y1.0-1.0s/

13、t2.0Oy*处质点的振动曲线处质点的振动曲线m5 .0 x123412341.0 例例3 一平面简谐波以速度一平面简谐波以速度 沿直线传播，波线上点沿直线传播，波线上点 A 的简谐运动方程的简谐运动方程-1sm20u)4cos(1032tyA求求: :( (1) )以以 A 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程；( (2) )以以 B 为坐标原点，写出波动方程；为坐标原点，写出波动方程；( (3) )求传播方向上点求传播方向上点C、D 的简谐运动方程；的简谐运动方程；uABCD5 m9 mxo8 m单位分别为单位分别为m，s).yt, ,; ( (1) ) 以以 A 为坐标原点

14、，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程m10 uTm1032As5 . 0T0)(2cosxTtAyuABCD5 m9 mxo8 m)105 . 0(2cos1032xty(m)ABABxx 21052B)4cos(1032tyB( (2) ) 以以 B 为坐标原点，写出波动方程为坐标原点，写出波动方程)4cos(1032tyAuABCD5 m9 mxo8 m)105 . 0(2cos1032xty(m) ( (3) ) 写出传播方向上点写出传播方向上点C、D的运动方程的运动方程点点C 的相位比点的相位比点A 超前超前)24cos(1032ACtyCm10uABCD5 m9 mxo8 m)4c

15、os(1032tyA)5134cos(1032t(m)点点 D 的相位落后于点的相位落后于点 A )2cos(41032ADtyDm10uABCD5 m9 mxo8 mm10)4cos(1032tyA(m)59cos(41032t5.3 波的能量波的能量振动状态的传播就振动状态的传播就是能量的传播是能量的传播设某质元设某质元 ，V，中心坐标，中心坐标x 波函数波函数)(cosuxtAy动能动能22)(2121tyVmvWKVxyGWP2)(21)(sin21222uxtAV)(sin21222uxtAV势能势能Gu )(sin212222uxtVAuG5.3.1.波的能量和能量密度波的能量和能

16、量密度相同相同任一质元都有：任一质元都有：PKWW)(sin222uxtAVWWWKP总能量总能量w 能能 = 0w能能 最大最大某时刻弹性棒中各质元能量分布情况某时刻弹性棒中各质元能量分布情况2体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能最大体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能最大.2 体积元的位移最大时，三者均为零体积元的位移最大时，三者均为零. 2） 任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断任一体积元都在不断地接收和放出能量，即不断地传播能量。任一体积元的机械能不守恒。波动是能地传播能量。任一体积元的机械能不守恒。波动是能量传递的一种方式。量传递的一种方式。总结总结 1）在波动传播的媒

17、质中，任一体积元的动能、在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、 势能、势能、总机械能均随总机械能均随 x, t 作周期性变化，且变化是作周期性变化，且变化是同相位同相位的。的。动能动能和和势能势能处处相等。处处相等。（与振动不同，振动的动能和势能相互转化，总机械（与振动不同，振动的动能和势能相互转化，总机械能守恒）。能守恒）。总能量：总能量：)(sin222uxtAVWWWKP能量密度：能量密度：单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量)(sin222uxtAVWw 平均平均能量密度：能量密度在一个周期内的能量密度：能量密度在一个周期内的平均值平均值22021d1AtwTwT5.3.2

18、 波的能流和能流密度波的能流和能流密度 能流能流：单位时间内垂直通过某一面积的单位时间内垂直通过某一面积的能量能量.平均能流：平均能流：SuwP uSuuwSPI 能流密度能流密度 ( ( 波的强度波的强度 )I: )I: uAI2221 通过垂直于波传播方向的单位面积的平通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流均能流. SuwP uSu22、AI单位：单位：瓦每平方米瓦每平方米 W/m25.3.3 波的吸收波的吸收设介质中某处波的振幅为设介质中某处波的振幅为A0，经厚度为，经厚度为dx的介质后，的介质后，振幅的衰减量为振幅的衰减量为dA，则，则 AA ex0II ex02dAdx0AAAdx

19、dA吸收系数吸收系数经积分后得：经积分后得：波强的衰减规律：波强的衰减规律：5.4 惠更斯原理惠更斯原理 波得叠加和干涉波得叠加和干涉描述波在介质中传播方向的一种方法描述波在介质中传播方向的一种方法5.4.1.惠更斯原理惠更斯原理 波传到的各点，都可以看作发射新的子波的波源波传到的各点，都可以看作发射新的子波的波源 以后的任一时刻，这些子波波面的包络就是该时刻以后的任一时刻，这些子波波面的包络就是该时刻 波的波前，垂直波面的波线即表示波的传播方向。波的波前，垂直波面的波线即表示波的传播方向。波源波源.t 波面波面t 波面波面u tu t5.4.2 波的叠加原理波的叠加原理 波传播的独立性：波传

20、播的独立性：两列波在某区域相遇两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰干扰. 波的叠加原理：波的叠加原理：在相遇区，任一质点的在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成振动为二波单独在该点引起的振动的合成.二二. 波的干涉波的干涉 频率相同、振动频率相同、振动方向相同、相位相同方向相同、相位相同或相位差恒定的两列或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地波相遇时，使某些地方振动始终加强，而方振动始终加强，而使另一些地方振动始使另一些地方振动始终减弱的现象，称为终减弱的现象，称为波的干涉现象波的干涉现象.1. 相干条件相干条件(1

21、) 频率相同频率相同(2) 有恒定的相位差有恒定的相位差 (3) 振动方向相同振动方向相同 同方向、同频率同方向、同频率 振动的合成振动的合成 S2S1r1r2p S1 p点两分振动点两分振动 2. 干涉讨论干涉讨论)cos(111tAyS S2)cos(222tAyS)2cos(1111rtAyP)2cos(2222rtAyP相位差相位差 )(2)(1212rr 波源引起波源引起 )(12波程差波程差 )(12rr 合振幅合振幅 cos2212221AAAAA强度强度cos22121IIIII3. 加强、减弱条件加强、减弱条件v 加强条件加强条件 ( 相长干涉相长干涉 ) = 2k (k=0

22、,1,2)2121max2IIIII v 减弱条件减弱条件 (相消干涉相消干涉) = (2k+1) (k=0,1,2)2121min2IIIII 若若 A1=A2 ,则则 Imax= 4I1 若若 A1=A2 ,则则 Imin= 021maxAAA21minAAA特殊情况：特殊情况：21krr12特殊情况：特殊情况：212) 12(12krrS1S2S2/减减弱弱加强加强加强加强减减弱弱加强加强解解：干涉减弱的条件是：干涉减弱的条件是例例1图所示是声波干涉仪图所示是声波干涉仪.声波从入口声波从入口E处进入仪器，处进入仪器，分分B，C两路在管中传播，然后到喇叭口两路在管中传播，然后到喇叭口A会合

23、后传出会合后传出.弯管弯管C可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声可以伸缩，当它渐渐伸长时，喇叭口发出的声音周期性增强或减弱音周期性增强或减弱.设设C管每伸长管每伸长8 cm，由，由A发出的发出的声音就减弱一次，求此声波的频率声音就减弱一次，求此声波的频率(空气中声速为空气中声速为340 m/s).DCADBA2k1k0,1,2.2当当C管伸长管伸长x8 cm时，再一次出现干涉减弱，即此时，再一次出现干涉减弱，即此时两路波的波程差应满足条件时两路波的波程差应满足条件/2x2 k112以上两式相减得以上两式相减得2x，于是可求出声波，于是可求出声波的频率为的频率为uu3402125Hz2x2

24、0.08例例2 如图所示，如图所示，A、B 两点两点为同一介质中两相干波源为同一介质中两相干波源. .其振幅皆为其振幅皆为5 cm，频率皆，频率皆为为100 Hz，但当点，但当点 A 为波为波峰时，点峰时，点B 恰为波谷恰为波谷.设波设波速为速为 ，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时时干涉的结果干涉的结果.15 m20 mABP1sm1025201522BP设设 A 的相位较的相位较 B 超超前前BA2011 . 0152522APBPAB点点P 合振幅合振幅021AAA解解10. 010010u(m)15 m20 mABP5.5 驻波驻波2 现象现象1 条件条件 两列两列振幅相同振幅相同的相干波的相干波相向相向传播传播xxtAy)2cos(1xxtAy)2cos(2txAyyy cos2cos2215.1.1. 驻波方程驻波方程波形没有传播波形没有传播“驻驻”字的含义字的含义xxtAy)2cos(1xxtAy)2cos(2txAyyy cos2cos2215.1.1. 驻波方程驻波方程5.1.2. 驻波的特点驻波