2020届高三理科数学一轮复习定积分与微积分基本定理专题汇编教师版

1、定积分与微积分基本定理专题、相关知识点1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义给定一个在区间a,b上的函数y=f(x)：将a,b区间分成n份，分点为a=x0<x1<x2<,<xn1<xn=b.第i个小区间为xii,xi,设其长度为Ax,在这个小区间上取一点工,使f(日)在xi,刈上的值最大.设S=f(&)Axi+f(a)A混+f(AH-一+f(&)An.在这个小区间上取一点区,使f(G)在xii,X上的值最小,设s=f(&)Ai+f(q)A2+f(G)Ax+f(q)An.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时

2、S与s同时趋于某一个固定的常数A,称A是函数y=f(x)在区间a,b上的定积分.记作bf(x)dx,即fbf(x)dx=A.aa(2)有关概念在f(x)dx中，a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间a,b叫作积分区间，函数f(x)叫作被积函数，x'a叫作积分变量，f(x)dx叫作被积式.(3)定积分的几何意义f(x)fbf(x)dx的几何意义laf(x)>0表不由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的叱边梯形的面积f(x)<0表不由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在a,b上后正后负表小位于x轴上方的曲边梯形的面

3、积减去位于x轴卜方的曲边梯形的面积2 .定积分的性质(1)1kf(x)dx=k6f(x)dx(k为常数);aa(2)f1(x)f2(x)dx=汽1(x)dx士f2Xxjdlx;aaa(3)f(x)dx=(cf(x)dx+bf(x)dx(其中a<c<b).333aac3 .微积分基本定理一般地，如果f(x)是在区,间a,b上的连续函数，且F'(x)=f(x),那么bf(x)dx=F(b)F(a),这个结论/a叫作微积分基本定理，又叫作牛顿莱布尼茨公式.其中F(x)叫作f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)F(a)记作F(x)|b,即bf(x)dx=F(x)|b=F(b)

4、F(a).4 .定积分与曲边梯形面积的关系(1)是奇函数，则af(x)dx=0.Ma解析：|x2-2x|dx=0J2-2(x2-2x)dx+-10x32.0(2xx)dx=6一xJ2+33j2=T+4+4-1=8.3/333.定积分2,1x2+Ldx=解析:x-x2+xdx=f2xdx-x2dx+广21x1x2,2x3,2,2375dx='2'|1-|1+ln如=万一3+ln2=ln2-g.设阴影部分的面积为S.(1)S=f(x)dx;(2)S=-bf(x)dx;(3)S=f(x)dxbf(x)dx;(4)S=bf(x)dxbg(x)dx=bf(x)g(x)dx.5 .奇偶函数

5、定积分的两个重要结论设函.数f(x)在闭区间a,a上连续，则有(1)若f(x)是偶函数，则af(x)dx=2af(x)dx;(2)若f(x)一a题型一定积分的计算类型一：利用公式计算定积分1.定积分1(x.定积分2|x2-2x|dx=+sinx)dx=111212.112x212斛析：J(x+sinx)dx=Ixdx+|sinxdx=2|xdx=2&|0=3.4.jNsin解析:原式=.(sinx+cosx)dk(sinxcosx)|2='in2cos之I-(sin0-cos0)=2.5.TLsin2dx等于02解析:n几2.2x,21-cosx,2sindx=2dx=)2p2

6、.、冗A1.上工1-2sinx/|0=4-2.6.若？a，x+；jdx=3+ln2(a>1),则a的值是解析：由题意知？ai2x+x?x=(x2+lnx)|1=a2+lna1=3+ln2,解得a=2.7.定积分(3x+ex)dx的值为0解析：|(3x+ex)dx=gx2+ex,0皇13,1,0=2+e1=2+e.8.已知t是常数，若ft(2x-2)dx=8,则t=0解析:由，(2x2)dx=8得，(x22x)|0=t22t=8,解得t=4或t=2(舍去).0gx,x>0,9.若f(x)=1jX+.a3t2dt,vf(f(1)=1,则a的值为,0xw0,解析:因为f(1)=lg1=0

7、,f(0)=2dt=t3|0=a3,所以由f(f(1)=1得a3=1,所以a=1.10.设x2,x"1,f(x)=$则2f(x)dx等于12x,xe(1,2,J0解析:,f(x)dx=1x2dx+，(2x)dx=33'0013,x|0+2x-2x1=3+l4-2-2+2,r6.11.若S1=，；dx,S2=/(lnx+1)dx,S3=2xdx,则Si,S3的大小关系为()A,S1<S2<S3B.S2<S1<S3C,S1<S3<S2D,S3<S1<S2解析：A,如图，分别画出对应图形，比较围成图形的面积，易知选12.定积分川1si

8、n2xdx的值为A.解析:广兀?兀2/1sin2xdx=2|sinxcosx|dx=,兀4(cosxsinx)dx+,兀2(sinxcosx)dx=(sinx+cosx)兀4+(cosxsinx)0兀2=2-1+(-1+a/2)=22-2.413.若函数f(x)在R上可导，f(x)=x3+x2f,(1),则2f(x)dx=10解析：，(x)=3x2+2xf，(1),所以f(1)=3+2f'(1),f(1)=-3,即f(x)=x3-3x2,所以f2f(x)dx=f2(x33x2)dx=B4x4-x312=-4.14 .若函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xf'(1),则

9、？2f(x)dx=.解析：因为f(x)=x2+2xf'(1),所以f'(x)=2x+2f'(1).2所以f'(1)=2+2f'(1),解得f'(1)=2,所以f(x)=x4x.3,222i'A_2*216故？0f(x)dx=?0(x4x)dx=Q2x0=.15 .若f(x)=x2+2f(x)dx,则f1f(x)dx=1=；+21f(x)dx,./f(x)dx=-1.03301010,0，0解析:.f(x)=x2+2，f(x)dx,f1f(x)dx=1x3+2x1f(x；dx00J0<，。类型二：利用定积分的几何意义求定积分1. 1（

10、小-x2+x）dx等于1 -1解析：（寸x2+x）dx=/1飞，1x2dx+xdx=2+2x2|11=2.11J1J11 o.92. 1-dx+14xdx=.1x2解析：产dx=lnx|e=1-0=1,因为广4x2dx表示的是圆x2+y2=4在x轴上方的面积,Ax>2故24x2dx=2兀X22=2兀所以原式=2兀+1.123,若定积分叫正x22xdx=则m等于24解析：根据定积分的几何意义知，定积分mMx2-2xdx的值，就是函数y=7-x2-2x的图彳与x轴及12直线x=2,x=m所围成图形的面积，y=>/x22x是圆心（一1,0）,半径为1的上半圆，其面积等于，而m«

11、x22xdx=；,即在区间2,m上该函数图像应为；的圆，于是得m=-1.124 .1.1（x12dx=.解析：根据定积分的几何意义，可知"1一（x1fdx表示的是圆（x-1）2+y2=1的面积的：故005 .(3x3+4sinx)dx=55解析：丁(3x3+4sinx)dx表示直线x=5,x=5,y=0和曲线y=3x3+4sinx所围成的曲边梯形面积的代55数和，且在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.设y=f(x)=3x3+4sinx,则f(x)=3(x)3+4sin(x)=(3x3+4sinx)=f(x),又f(0)=0,所以f(x)=3x3+4sinx在5,5上是奇函

12、数，所以f(3x3+4sinx)dx=5(3x3+4sinx)dx,J5>0所以广(3x3+4sinx)dx=/0(3x3+4sinx)dx+5(3x3+4sinx)dx=0.-5J5力。题型二定积分的应用类型一：利用定积分求曲边梯形的面积1 .如图，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形(图中阴影部分),则该闭合图形的面积是解析：所求面积=?2(-x2+2x)dx=(；x3+x2)0=:4=g.22 .曲线y=2与直线V=x1及直线x=4所围成的封闭图形的面积为x2解析：由曲线y=-与直线y=x-1及x=4所围成的封闭图形，如图中阴影部分所示，x故所求图形的面积为S=广卜

13、一1xjx=gx2x-2lnx|2=4-2ln2.,2-x+1,1wx<0,一,一一八、一,一一，、，、一一，.,3,函数f(x)=ix的图像与直线x=1及x轴所围成的封闭图形的面积为Ie,0wxw1解析：由题意知所求面积为°(x+1)dx+/exdx=("x2+xj01+ex|J=-g1/+(e1)=e；11J04,曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为4,则k=3y=x,x=0,x=k,解析：由得%或12则曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边梯形的面积为y=kxy=0|y=k,fk(kx-x2)dx=仅2；x3|0=f

14、k3=B，即k3=8,所以k=2.23.23305 .由曲线.xy=1,直线y=x,y=3所围成的封闭平面图形的面积为解析：由xy=1,y=3,可得A(，3/由*丫=1,y=x,可得B(1,1),由y=x,y=3,得C(3,3),由曲线xyi，一.r、，一，一,2.一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所不，则该物体在-s6s间的运动路程为m.1q1,12、3=1,直线y=x,y=3所围成图形的面积为(3-)dx+|(3-x)dx=(3x-Inx)3十岁x2xJ1J“13=(3-1-ln3)+9-|-3+214-ln3.6 .已知曲线y=x/x,y=2x,y=3x所围成图形的面积为S,则S=&Ebqy=x，解析：如图所不，由£y=2x,y=-%,得交点A(1,1);由S3y=2x,得交点B(3,-1).故所求面积S=Qx+gx,dx+x+；x,dx=+步0+3=t+6+r136.类型二：定积分在物理中的应用1.一物体在变力F(x)=5x2(力单位：N,位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x=1运动到x=2时，F(x)