运筹学存储论

1、第十二章 存储论经济订购批量存储模型经济生产批量模型允许缺货的经济订购批量模型允许缺货的经济生产批量模型经济订货批量折扣模型库存管理的对象库存管理的对象库存管理的对象是很多的，广而言之，它可以包括：商业企业库存的商品、图书馆库存的图书、博物馆库存的展品等等。在工业企业它主要包括下列三个部分：l（1）没有经过企业加工，而为企业生产或其他各方面所需要的原材料、燃料、半成品、部件等；如钢材、电缆、水泥、煤炭、轴承、发动机、电动机等。l（2）已经过企业加工，但尚未加工完毕的在制品。l（3）企业已加工完毕，储而代销的成品与备件等。 库存的作用库存的作用 适应原材料供应的季节性 适应产品销售的季节性适应运

2、输上的合理性和经济性适应生产上的合理安排适应批发量的大小库存管理的意义库存管理的意义企业作为一个微观的经济系统，它必然要以宏观的经济系统作为自己的依存环境，在供、产、销、储、运等等方面搞好内部与外部的协调和配合，才能获得良好的社会效益和经济效益，才能保持企业的生存与发展。企业库存管理的目标可概括为下列两点：l保证企业按科学的计划实现均衡生产，不要因缺少原材料或其他物资而停工停产。l使库存管理的总费用达到最低。存储论主要解决两个问题存储论主要解决两个问题当我们补充存储物资时，我们每次补充数量是多少？我们应该间隔多长时间来补充我们的存储物资？存储模型的类型存储模型的类型确定性存储模型：模型中的数据

3、皆为确定的数值。随机型存储模型：模型中含有随机变量。 存储论的基本概念存储论的基本概念 需求需求/输出输出 进货进货/输入输入 定购费定购费/订货费订货费 l进一次货所需要的固定费用 l如果供应源来自企业外部，它就包括采购人员工资，差旅费，手续费等，如果供应源来自企业内部，例如工厂，它就包括更换模具、夹具、设备的调整及检验所需的费用。定购费/订货费与所订货的数量无关。 购进费购进费l是指货物本身的价格、运费等，它与进货多少有关 l应该注意的是，如果不考虑折扣，当需求量一定时，无论分几批进货，也无论每批的数量多少，总购进费是一个常数。 存储论的基本概念存储论的基本概念 存储费存储费/库存费库存费

4、l有每单位商品的存储费和存储数量决定。包括两个部分：（1）购买商品或生产商品占用的资金的利息。若是银行贷款，即贷款利息；如是自有资金，也应考虑占用资金的机会成本，等同于银行的贷款利息。（2）存储仓库的费用、保险费用、损耗费用、管理费用等。短缺费短缺费 l它指的是当需求不能被满足时所引起的损失，如失去销售机会的损失，停工待料的损失，为补足拖欠订货所发生的额外成本支出，以及由于对顾客（如厂矿企业）延期交货而付给的罚金等。 D：全年货物需求量/全年货物用量 Q：每次进货量/货物批量 n：全年进货次数I：单位货物的年存储费用(c1）S：每一次定购费用（c3）TC：全年总的库存费用 X：每日供给的货物数

5、量（p）Y：每日耗用的货物数量（d） P：货物单价V：最高库存量 A：单位货物短缺费（c3）G：最高短缺量（S）假设第一节第一节 经济订货批量存储模型经济订货批量存储模型（EOQ模型）模型）一、经济订货批量存储模型的特点一、经济订货批量存储模型的特点单位时间从存储中取走物资的数量是常量或近似乎常量；当存储降为零时，可以立即得到补充并且所要补充的数量全部同时到位（包括生产时间很短的情况，我们可以把生产实践近似的看成零）。不允许缺货，并要求单位存储费、每次订购费、每次订货量都是常量，分别为一些确定的、不变的数值。特点图示t2t1Q时间t模型假设1、需求是连续的，均匀的。则库存量是均匀递减的，且间隔

6、相等时间进货。2、当存储量降至零时，可以立即得到补充。则最高库存量就是每次的进货量。二、经济订货批量模型的公式二、经济订货批量模型的公式 年度总库存费用 年度总购进费用年度总定购费用年度总存储费用 前面已提到购进费用主要指货物本身的价格，不考虑折扣，则与进货多少无关。可以不考虑此项。年度总库存费用年度总定购费用年度总存储费用（每次定购费用订货次数）（单位货物年存储费用平均库存量）其中：订货次数全年总需求量/每次进货量 平均库存量最高库存量/2每次进货量/2 库存量是均匀递减的） 现在问题是： 使得年度总库存费用最小的每次进货量Q应为多少？ 22QIQDSQInSTC利用微积分求最小值。对变量Q

7、求导，并令其等于0，则）公式、经济订货量公式（EOQIDSQQDSIQDSIdQdTC2*2102122例：例：某一工厂每年需用某物料3000件，每件单价40元，已知每件的存储费用为2元，定购费用每次30元，试求最优订货批量Q*，最优定购次数n*，每次订货可供使用的最优天数d*，最优每次订货金额M*（设一年生产使用物料的天数为300天）解：依题意，得 D3000件，I2元/件，S30元/次批）（元（天）天）（件每天物料的使用量（次）件）/120040300*3010300*/103003000103003000*(300230300022*pQMdQDnIDSQ三、再订货点三、再订货点若上例中

8、物料供应商要求工厂提前1天订货才能保证及时送货，则工厂要在物料剩余一天的需求量10件时就应该向供应商订货以保证第二天能及时收到物料。我们把这10件称为再订货点。如果需要提前2天订货， 则再订货点为：10220件。第二节第二节 经济生产批量模型经济生产批量模型一、经济生产批量模型的特点一、经济生产批量模型的特点在很多情况下，库存是陆续补充和陆续消耗的。比如，某零售商店订了一批货，由于运输等方面的原因，货物分多次陆续送到。该零售商店一边收货一边售货，货物的库存也是边消耗边补充。 特点图示Q*Vt1t2t边补充边消耗只补充不消耗只消耗不补充模型假设1、需求和进货都是连续、均匀的，则库存量是均匀变化的

9、。2、当存储降至零时，可以立即得到补充。公式推导一个进货周期可分为两个阶段：一是边补充边消耗时期t1，二是只消耗不补充时期t2。在t1期间，假设每天进货量X大于每天货物消耗量Y，则每天库存量会逐日递增，到货物全部供应完时，库存量达到最高。 最高库存量t1期间货物总进货量该期间总消耗量 进货量Q每天耗用量t1 进货量Q每天耗用量（总进货量/每天进货量） XQYQXQYQ2121最高库存量平均库存量年度总库存费用 年度总定购费用+年度总存储费用 （每次订货费用订货次数）+单位货物年存储费用平均库存量现在的问题是：一年中应进几次货及每次进多少货才能使年总库存费用最小？ XYQIQDSYXQQIQDS

10、TC12121对变量Q求导，并令其等于0，则 XYIDSQXYIQDSdQdTC12*01212例：某厂每天需用某元件200件，全年以300个工作日计，已知元件每天送达的数量是1000件，每件年存储费用为0.6元/件，每次定购费用为40元/件，试求最优订货批量Q*，最优库存周期t0*。解：依题意，得 D20030060000件 X1000件/天 Y200件/天 S0.6元/批 I0.6元/年 件件32003 .3162100020016 . 04060000212*XYIDSQ天天件最高库存量天8 .122 . 316*2 . 310003200*2560200100032003200*162

11、003200*1021tttXQtYXQQYQt图示320025603.2天12.8天16天最高库存量订货批量第三节第三节 允许缺货的经济订货批量模型允许缺货的经济订货批量模型一、模型特点一、模型特点V-Gt1t2tQ从图可知，一个进货周期可分为两个阶段在第一阶段，库存量最高为Q-G，随着需求均匀递减，至t=t1时，库存量0;此时并不马上进货，而是缺货一段时期至t=t1+t2，进货量Q，其中一部分G马上满足缺货需求，而不必存储。年度总库存费用 总定购费用+总存储费用+总短缺费用（每次定购费用订货次数）+（单位年存储费平均库存量）+（单位短缺费平均短缺量）其中ttGQttttGQ12121210

12、21周期时间量同期内缺货时总的存储储量周期内不缺货时总的存周期时间周期总存储量平均库存量因为最大库存量为Q-G，每一天的需求为Y，则可求出周期中不缺货的时间t1，又因为每次订货量为Q，可满足t时间的需求即有 YGQt1YQt 再计算平均缺货量：平均缺货量等于周期t内的平均缺货量，在t1时间内不缺货，平均缺货量为0；在t2时间内，平均缺货量为G/2，即得QGQYQYGQGQ2212平均库存量ttGttGt2210221平均缺货量 因为最大缺货量为G，每天需求为Y，则可求出周期中缺货时间 YGt 2QGYQYGG222平均缺货量年度总库存费用年度总购进费用+年度总存储费用+年度总短缺费用问题：一年

13、中进几次货及每次进货多少才能使总的存储费达到最小？QGAQGQIQDSTC22)(22对以上公式求Q及G的偏导，得 IADSIATCQIAAIAIDSAGAIIADSQ2*2*2*例：已知每年需求量R1600件，定购费S5元，每年的单位商品保管费I0.1元，每年的单位短缺费A0.5元，求Q*，S*，TC*。 解（元）（件）（件）（51.361 . 05 . 05 . 01 . 05160022*3654381 . 05 . 05 . 0*2*4381 . 05 . 01 . 05 . 05160022*IADSIATCQIAAIAIDSAGAIIADSQ第四节第四节允许缺货的经济生产批量模型允

14、许缺货的经济生产批量模型一、模型特点一、模型特点Q*Vt1t2tt3t4-G在上图中t1为在周期t中存储量增加的时期，t2为在周期t中存储量减少的时期，t3为在周期t中缺货量增加的时期，t4为在周期t中缺货量减少的时期，显然有周期tt1t2t3t4，其中t1t2为不缺货时期，t3t4为缺货期。图中的V表示最大存储量，G表示最大缺货量。由于在t1期间每天的存储量为XY，最大存储量V（XY）t1，即得到 YXVt1同样在t2期间每天的需要量仍为Y，开始时有库存量V，这是不进货，则有YVt 2在t3期间，开始时没有库存量，每天需求量仍为Y，直到缺货量为G，则有YGt 3在t4期间，每天除了满足当天的

15、需求外，还有X-Y的产品可用于减少缺货，则有YXGt4在图中可知t1和t4中边进货边销售，设在同期t中总的进货量为Q（都是在t1和t4期间生产的），其中总进货量的Y/X部分满足了当时的需要，而剩下的（1Y/X）部分用于偿还缺货和存储，在这个期间（即t1和t4期间）共偿还缺货G和存储产品量V，即有 XYQGV1即得最高存储量的表达式 在不缺货期间即在t1和t2期间的平均存储量为GXYQV12121GXYQV1而在缺货期间存储量都为0，这样可以计算出平均存储量，其值等于一个周期平均存储量432121432143211210121ttttttGXYQttttttttGXYQ周期时间的存储量储量周期内

16、缺货时总周期内不缺货时总的存周期时间周期总存储量平均存储量把以上周期公式代入得：GVVGXYQYYXGVYYXVGXYQYXGYGYVYXVYVYXVGXYQ1211111121121平均存储量把V的公式代入得XYQGXYQGGXYQGXYQGXYQ121111212平均存储量同样，在t3和t4期间平均缺货量为1/2G，在t1和t2期间缺货量都为0，可求得43214321210ttttttGtt周期时间周期内缺货时总缺货量量周期内不缺货时总缺货周期时间周期内总缺货量得平均缺货量平均缺货量一个周期把周期公式代入得GVGYXYGVYXYGYXGYGYVYXVYXGYGG222111112121平均

17、缺货量把V的公式代入得XYQGGGXYQG1212122平均缺货量年度总库存费用总购进费用+总存储费用+总短缺费用（每次定购费用订货次数） +（单位年存储费平均库存量） +（单位短缺费平均短缺量）XYQGAXYQGXYQIQDSTC1212122对以上公式求Q、G的偏导得IAXYDSIATCIAIXYDSASXYAIIADSQ12*12*12*第五节第五节 经济订货批量折扣模型经济订货批量折扣模型一、经济订货批量折扣模型的特点一、经济订货批量折扣模型的特点前一节的经济订货批量模型中商品的价格是固定的，而经济订货批量折扣模型中商品的价格是随订货数量的变化而变化的。一般情况下购买的数量越多，商品单

18、价就越低。因此决定最优订货批量时，不仅考虑一年的存储费和一年的订货费，而且还要考虑一年的定购商品的货款。折扣模型中，订货批量变化，同时订货次数也变，平均库存量变化。 二、经济订货批量折扣模型最优订货批二、经济订货批量折扣模型最优订货批量的计算量的计算 只需将不同折扣的方案与没有折扣的方案进行比较。 例例某一工厂每年需用某物料3000件，每件单价40元，已知每件的存储费用为2元，定购费用每次30元，试求最优订货批量Q*，最优定购次数n*，每次订货可供使用的最优天数d*，最优每次订货金额M*（设一年生产使用物料的天数为300天）。若每次进货在500件以上，则有九七折优惠。试问应否接收优惠折扣，将订

19、货批量提高到500件/批？ 解：（1）原方案全年费用=全年订货费用+全年存储费用+全年购进费用=10次*30元/次+（300件/2）*2+3000*40=120600元（2）折扣方案全年费用=全年订货费用+全年存储费用+全年购进费用=（3000/500）次*30元+（500件/2+3000*40*0.97=117080元结论应接收折扣方案，将订货批量提高到500件/批。例例图书馆设备公司准备从生产厂家购进阅览桌用于销售，每个阅览桌的价格为500元，每个阅览桌的存储一年的费用为阅览桌价格的20%，每次的订货费为200元，该公司预测这种阅览桌的每年的需求为300个。生产厂商为了促进销售规定：如果一次定购量达到或超过50个，每个阅览桌将打九六折，每个售价为480元；如果一次定购量达到或超过100个，每个阅览桌将打九五折，每个售价为475元。请决定为使其一年总费用最少的最优订货批量Q*，并求出这时一年的总费用为多少？ 解：已知D=300个/年，S=200元/次，当一次订货量小于50个时，每个阅览桌价格c=500元，这时存储费I=500*20%=100（元/个年）；当一次订货量大于等于50个，且小于100个时，每个阅览桌价格c=