2017天津高考理科数学试题及答案

1、绝密启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。第I卷1至2页，第n卷3至5页。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2 .本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式:如果事件A,B互斥，那么如果事件A,B相

2、互独立，那么P(AUB)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)P(B).棱柱的体积公式V=Sh.其中S表布棱柱的底面面积,43球的体积公式V二一二R3.3其中R表示球的半径.h表示棱柱的高.-、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(1)设集合A=1,2,6,B=2,4,C=xwR|-1<x<5,则(AUB)DC=(A)2(B)1,2,4(C)1,2,4,6(D)”R|-1<x<52x+y之0,、一心x+2y-2>0,一一，一，一(2)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为x",y±3,(A)2(B)1

3、(C)3(D)332(3)阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24,则输出N的值为(A)0(B)1(C)2(D)3、一_一,“兀兀1(4)设8wr,则“|日一一|<一”是"sine”的12122(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件22_(5)已知双曲线三七=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为J2.若经过F和abP(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为4422xy,(B)=1(C)8822x_y_48二122xy/(D)一一一二184(6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g

4、(x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(2°.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为(A)a<b<c(B)c<b<a(C)(7)设函数f(x)=2sin(ox+中)，xWR,其中且f(x)的最小正周期大于2n,则(A)0=2,邛=限(B)a=2，中=1 .二©=一,邛=324b<a<c(D)b<c<a切下0,1cpicn.若f(豆)=2,f(生)=0,88II：1.II：(C)=一，9=(D)12324-2(8)已知函数x-x3,x<1,xf(x)=42设awR,右关于x的不等式f(x)K-十a|在

5、R上恒x,x1.2x成立，则a的取值范围是，、-39(D)-2.3,-474739一(A)户后,2(B)一行，诿(C)万2第II卷注意事项:1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2 .本卷共12小题，共110分。二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(9)已知awR,i为虚数单位，若七土为实数,则a的值为2-i(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.(11)在极坐标系中，直线4Pcos(6-卜1%圆P=2sin日的公共点的个数为6,a4"4b4i1,口，-，(12)若a,bwR,ab0,则4b的最小值为ab(1

6、3)在ZXABC中,/A=60立,AB=3,AC=2.若BD=2DC,一TTTAE='ACAB(ZwR),且ADAE=一4,则九的值为.(14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个.(用数字作答)三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15 .(本小题满分13分)3在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sinB=-.5(i)求b和sinA的值；(n)求sin(2A+j的值.16 .(本小题满分13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设

7、各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的111概率分别为-,-,-.234(I)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(n)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.(17)(本小题满分13分)如图，在三棱锥P-ABC中，PAL底面ABC,/BAC=90之点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.(I)求证：MN/平面BDE;(n)求二面角C-EM-N的正弦值；(m)已知点H在PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为(,求线段AH的长.818.(本小题满分13分)已知an为等差数列

8、，前n项和为Sn(nWN*),bn是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2+b3=12,0=a42a1,S11=11b4.(I)求an和bn的通项公式；(n)求数列a2nb2n二的前n项和(nwN*).(19)(本小题满分14分)221设椭圆+4=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为-.已知A是抛物线a2b2221y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为-.2(I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ6与x轴相交于点D.若AAPD的面积为,求直线AP的方程.2(20)(

9、本小题满分14分)设awZ,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x33x26x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(I)求g(x)的单调区间；(n)设mw1,Xo)U(%,2,函数h(x)=g(x)(m%)f(m),求证：h(m)h(x0)<0；(m)求证：存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且卫三1,%)1(%,2,满q足1P-x0|1.qAq天津理数答案1-4BDCA5-8BCAA9.-2;9冗10.11.2;12.4;13.;1114.1080315. (i)解：在ABC中，因为a>b,故由sinB=-5一4一，一、,可得cosB

10、=.由已知及余弦定5理，有b2=a2+c2-2accosB=13,所以b=x/13.由正弦定理asinAsinBb，得sinA=asinB31313所以，b的值为代,sinA的值为3匹.13213(n)斛：由(I)及a<c,得cosA=,所以sin13122A=2sinAcosA=,1325.兀兀一兀7M2cos2A=1-2sinA=-.故sin(2A)=sin2Acoscos2Asin=134442616. (I)解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(XP(XP(XP(X1 111=0)=(1-)x(1-)x(1-)=-,2 3441 11111111=1)=二(1)(1)

11、(1)；(1)(1)(1)-2 34234234z-1、111111111=2)=(1-)(1一)(1_一)=一,23423423441 111=3)二一一一二一.2 34241124所以，随机变量X的分布列为X0123P11111424424随机变量X的数学期望E(X)=0父1+1父11+2父1+3父工=13.42442412(n)解：设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y-1Z)-P(uY0u11111111=M+M=.42424448所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等

12、基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.如图，以A为原点，分别以AB,AC,AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0)(I)证明：DE=(0,2,0),DB=(2,0,2).设n=(x,y,z),为平面BDE的法向量，(T_1inDE=0/2y=0T则，即cc.不妨设z=1,可得n=(1,0,1).又MN=(1,2,1),可得nDB=02x-2z=0MNn=0.因为MN

13、0平面BDE,所以MN平面BDE.(n)解：易知n,=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设出=(x,y,z)为平面EMN的法向量,n2EM=02y_z=0则42，因为EM'=(0,/,_1),MN=(1,2,_1),所以I'.不妨设y=l,n2MN=0x2yz=0可得%=(41,2).因止匕有cos<m,n2an1n2=-,|m|n21.21是sin川血二力.21所以，二面角CEMN的正弦值为也5.21（出）解：依题意，设AH=h（0<h<4）,则H（0,0,h）,进而可得可=（1J,h）,-IBE=(-2,2,2).由已知，得|cos次心=鼐二冷整理得

14、28,、110h-21h+8=0,解得h=,或h=.52所以，线段AH的长为8或口.5218.【解析】（I）设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b(q+q2)=12,而匕=2,所以q2+q6=0.又因为q>0,解得q=2.所以，bn=2n.由b3=a4-2al,可得3da1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16，联立，解得a=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以，数列an的通项公式为an=3n2,数列bn的通项公式为bn=2n.(II)解：设数列a2nb2n,的前n项和为Tn,由a2n=6n2,b2n二=2父4,有a2nb2n=(3n1

15、-4n,故Tn=2父4+5父42+8父43+HI+(3n-1)4n,4Tn=2“+5父43+8"4+|+(3n-4户4n+(3n-1)M4n书，上述两式相减，得-3Tn=24342343|l|34n-(3n-1)4nd12(1-4n)1-4-4-(3n-1)4n1-(3n-2)4n1-8.得Tn=3n一24n1所以，数列a2nb2n的前n项和为即二2M4n卡+8.33c1d1.一,119.(I)解：设F的坐标为(c,0).依题意，一=一，=a,a-c=-,解得a=1,c=，a22222223p=2,于是b=a-c=一.42y=4x.24y所以，椭圆的万程为x2+=1,抛物线的方程为3

16、(n)解：设直线AP的方程为x=my+1(m=0),与直线l的方程x=1联立，可得点一2一2一，P(-1,),故Q(1,一).将x=my+1与x224y，-i+上=1联立，消去x,整理得3(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,八-6m,或y=2.由点B异于点A,可得点3m4B(-2-3m4-6m-2，_23m43m4).由Q(1,一),m可得直线BQ的方程为-6m2-3m24(3mrm)(x(中71)(y222-3m一)=0,令y=0,解得x=2m3m2cc2cc2c2rrD(2-m,0).所以|ADI-2；m=_m-.又因为apd的面积为3m223m223m222工父6m父2=近，整理

17、得3m2_2而|m|+2=0,解得|m|=-6,所以m=23m22|m|233所以，直线AP的方程为3x+J6y3=0,或3xJ6y3=0.20.(I)解：由f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a,可得g(x)=f'(x)=8x3+9x2-6x-6,21进而可得g(x)=24x+18x-6.令g(x)=0,解得x=T,或x=-.4当x变化时，g(x),g(x)的变化情况如下表：x(-°0,T)1(T，:)41上()g(x)+一+g(x)11所以，g(x)的单倜递增区间是(，1),(,),单调递减区间是(1,).44(n)证明：由h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),得

18、h(m)=g(m)(m)f(m),h(x0)=g(x°)(m-x°)-f(m).令函数H(x)=g(x)(x-xo)f(x)，则H；(x)=g'(x)(xx0).由(I)知，当xw1,2时，g(x)>0,故当xw1,x°)时，H；(x)<0,H(x)单调递减；当xw(xo,2时，H；(x)>0,H1(x)单调递增.因此，当xW1,x0)U(x0,2时，也(x>H(2)“0,得I01(m)>0,即h(m)0.令函数H2(x)=g(x°)(xx°)f(x),则Hz'(x)=g(xO)g(x).由(I)知，g(x)在1,2上单调递增，故当xW1,%)时，H2&