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文档简介

1、多媒体教学课件复变函数论绪论绪论 复变函数是各类高等学校理工的一门重要的专业基础课,我们根据国家教委理科教材编审委员会的意见,着重“侧重应用方面,教现代化、有特色的教材”为指导,编写本教材。本书共有九章。目录第一章:复数和复函数第二章:解析函数基础第三章:复积分第四章:解析函数的级数理论第五章:留数理论第六章:解析开拓第七章:共形映照第八章:调和函数第九章:解析函数在平面场中的应用第一章、复数及复函数第一章、复数及复函数第一节第一节 复数复数 1、复数域复数域 2、复数的几何表示复数的几何表示 3、复球面与无穷大复球面与无穷大MathSNNU复数域: 从逻辑上定义由实数域R添加i后生成的域C,

2、一般写成z=a+ib(a,b为实数),i是虚数单位(-1的平方根),称 为z的共轭复数;其中 a和b分别称为的实部和虚部,分别记作: 如果Imz=0,则z可以看成一个实数;如果,Imz不等于零,那么称z为一个虚数;如果, Imz不等于零,而Rez=0,则称z为一个纯虚数,显然有Re ,Imaz bzzaibRe,Im22zzzzzz复数的四则运算复数的四则运算定义为: 复数在四则运算这个代数结构下,构成一个复数域(对加、减、乘、除运算封闭),记为C,复数域可以看成实数域的扩张。)()()()(21212211bbiaaibaiba)()()(122121212211babaibbaaibaib

3、a22222112222221212211)()(bababaibabbaaibaiba注意:实数间有大小的区别,但复数间不能比较大小。复数的几何表示:取定一直角坐标系Oxy后,就可以建立复数a+bi和点P(a,b)之间的一一对应关系,我们称这个取定直角坐标系的平面为复平面,用C表示,平面上横坐标轴我们称为实轴,纵坐标轴称为虚轴;复平面一般称为z-平面,w-平面等。复平面: 复数可以等同于平面中的向量等价类,如图,复数a+bi决定了向量 ,反之,向量也决定了复数,当然规定0和零向量相对应。()abiPO()abi注:1、向量的加减法和复数的加减法是等价的 2、向量的数乘仍与复数和实数的数乘一致

4、。,OPabi OQcdi OROPOQ ()()ORacbd i 设按照平行四边形法则,有正好有这在几何上立即可以得到。(如图)22|zab我们定义复数的模为:则又平行四边形法则,得到重要的三角不等式:12121212,zzzzzzzz 复数可以表示平面向量。另一方面,向量可以用其大小和方向来表示:Arg()2,(0, 1,)zArg abikk ()abiPO22OPab大小:方向可由OP 的倾角 来决定。 而 (可加减 的整数倍)成为它的辐角,记为 ,亦即,如果 ,则2()Arg abizabi22zabiab复数的这种表示法,称为极坐标表示,由于 的多值性,因此 是多值的。kArgz注

5、:若 ,当然有 ,但 没有意义。0z 0z 0Arg复数的三角表示:)sin(cos|ArgziArgzzz由极坐标和直角坐标的关系:cos ,sinxy得,(cossin )xyii或者写为:以上表示方法成为是三角表示。基本不等式:关于两个复数的和与差的模,有以下不等式:|) 1 (2121zzzz、| )2(2121zzzz| )3(2121zzzz| )4(2121zzzz|Im| |,|Re| )5(zzzzz zz2| )6(2z1z021zz 21zz 2z2z1z2z例1 试用复数表示圆的方程:其中,a,b,c,d是实常数。解:利用0)(22dcybxyxayzzxzzyxz z

6、2,2,220dzzzaz得:).(21icb其中,三角表示的乘法: 利用复数的三角表示,我们可以更简单的表示复数的乘法与除法 ,设其中后一个式子应理解为集合相等。)sin(cos|1111ArgziArgzzz)sin(cos|2222ArgziArgzzz则有)sin( )cos(|21212121ArgzArgziArgzArgzzzzz|2121zzzz2121)(ArgzArgzzzArg三角表示的乘法: 同理,对除法,也有:其中后一个式子也应理解为集合相等。)sin( )cos(| / |/21212121ArgzArgziArgzArgzzzzz2121)/(ArgzArgzzz

7、Arg| / |/|2121zzzz例3设 、 是两个复数,求证:1z2z),Re(2|212221221zzzzzz)(|2121221zzzzzz)(证明:)(2121(zzzz21212211zzzzzzzz21212221|zzzzzz)Re(2|212221zzzz复数的乘幂: 利用复数的三角表示,我们也可以考虑复数的乘幂:)sin(cos|nArgzinArgzzznn,则令nnzz1)sin( )cos(|nArgzinArgzzznn,sincos)sin(cosninin复数的乘幂: 进一步,有:)1sin()1cos(|1ArgzniArgznzznn)2arg1sin()

8、2arg1cos(|nkzninkznzn 可以看到,k=0,1,2,n-1时,可得n个不同的值,即z有n个n次方根,其模相同,辐角相差一个常数,均匀分布于一个圆上。 这样,复数的乘幂可以推广到有理数的情形。例5、求 所有值:解:由于4)1 (i)4sin4(cos21ii所以有)24(41sin)24(41cos2)1 (84kiki)216sin()216cos(2)1 (84kiki3 , 2 , 1 , 0k有四个根。球极投影、复球面与无穷远点、扩充复平面 在点坐标是(x,y,u)的三维空间中,把 xOy面看作是z面。考虑球面S: 取定球面上一点N(0,0,1)称为球极。 我们可以建立

9、一个复平面C到S-N之间的一个1-1对应(球极射影):iyxzuyx , 12221xiyzxiyu球极射影: 我们称上面的映射为球极射影:1|2zzzx1|2zzzy1|1|22zzuuxy) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0 ,(yxA) , , ( uyxA 1、(x,y,0), (x,y,u), (0,0,1)三点共线; 2、x:y:-1=x:y:u-1;无穷远点: 对应于球极射影为N,我们引入一个新的非正常复数无穷远点,称 为扩充复平面,记为 。CCuxy) 1 , 0 , 0(N) 1, 0 , 0(SO)0 ,(yxA) , , ( uyxA无穷远点: 关于无

10、穷远点,我们规定其实部、虚部、辐角无意义,模等于:它和有限复数的基本运算为:|aa)0( aaa)(0 );0(0aaaa这些运算无意义:. 0/0 ,/,0 ,vThanks!#DQxuc6NYdHfSE%nvjQw+j!r5XqQ7gt#ZqWyPQiC)KwU#!Z&h9C3inxKFkDYLnn6#kbWJj9*hVD36zK9o8y0-X4N)TPYdnRZx3Rm+bum&nbkprbKoM(3ADM1xW-Lug!6hL)%qmTwgHc36-kALJcsfsJAglIX78W2VvKn-CDFU#1o)W0avXx$i4BJvN24s82-fpzGIYL*DA2

11、IFtSCnoO%&JyDifImfCPwuCfoVCIiSk2ge2cnv#(!-jT85)NoYcG%OMrMuTrUH#p+$Elh-6gI03qjftzshSmML&0)ubcrbv(W&fRBNaNPeo!ngW4eo(lwMYOq7cR-(h3&*jz9KlKKBOnX5pScNHWI2R6)kbEW)$tFMdc2L1kUa3Gw-1(xlH1iH(Dp6&7x+aaMph0IZINBweRZ!n+91IYeUnO*xxv2fuac5wOux0oYw36$C-bBRM+U-svi!4SQVxLybK4kmqzj#dj5WsR+Esz0 xm

12、)Uhb5PKnnl0$uu9J0+PF)oqe(F8X)GnogLjkBdmD)e#bMRV4xop91W(Mb3kXg7IS(1Bs+Vp5FmNj4bzjTjDKrn76xH6Y0IfuIBiwenim3BTl5t4fMElU0e1mtjl#AxGUWQ8Oe4WjGlEvAa3ryfe)e5yWHpdNEDRht%pHW$8IEki$vG00n!gqZWQV7aikcTfZEHoW4m(M&OwuLutkWpoxVco-5VOrtWtM(rC%7NvcTBk&fw%JcAyI792%k(-3nhHfabCuEBYFCgrkS$80fRQbPrFRVbM24HA7W6aj

13、FqDp9B0!#xq($C!9lm#GdOu7AT$a(RlEIombGQaH2&C13M3AUuX5x0aNiJhd7NKndPV+f&qa3Jejq90HzZPqwNb0 xYi9#+#g$k1IoK-My$Xe0-*D#0j7xP3!-sYh+iEB9ui3U0MM7+W-MlcY)xd)XI2YFQz+H$tBB4yykAZBod*+D(0q&rVfBf1k3DVXMc0JBlmtbQFu4d3kyX*G&B+Ao!etDpiS!PVCxR*(anqgJeHtb&+PqiXfoNldSkHvWnG6)TKJ6Ul5XUQvJKO)v18UzAO

14、N!oLvRw!cgh1+*d%jDa#EsbO5fyuRoAKQU#0e-xkmfOIR49MKkD0dP8vT$6PeSqK&2rW*0)gg45D&Tgh4zav*Z!xFJ#)41jQVh*rZ9XWHh$7!XcTZ)+zZNR5E69uyXuqbzVF5aC6BgcKmOKNH#QplfcWvQjiZIUXDC0$3fgcMQcGuPcAWk)CNNREnxHOy5%Hy3%+KiW2%VNRVigl6V7katbjhufdty2bXiKNUL$-C(aN6cKqg9R-L&II*B)1Duehm42j&9sjEZjj-8BfMESbw)lnN%yk

15、3(OZ(Wk5+eq4s5!6HTg*fVmxMV-tNeIhmeBb*M1iAJe#49Zp$pk9jv9YWELbZIKHeHJ)cY&g7uKq3YKG9hZ$n5aWaI5Ary0%N4XxnMo$9UrV$*4GU99xxej1Rjzt#D6b1dyNF5dUu32IFq(90W98d7hz!zE1vtjP#pmHPaWYi8c5#nIxjeW1F3JWwOX4hBl+(qs(0$*!917#fwCHfQT6k%AD&yqF-S2fAN$XoSOt#8CCyMQC68iy092faQ)7aAUwAbT%ZSTs6PBybts-cOA(6&hwqIDyscsl

16、CCHQ$oc*iwKOQdSvMf7h(TjGS)+MwT*2SL5+m41&D!*hcQ3wkSbr7nGjHRXFy!dOR%s%6sNh)1oGP!Op$xcxR87TVfgfxfm36Ac%Pzig#iNB-DH3PBQtjBz4*nI5X(1koq+HZyytTRl)d0h1rAMS)rH88ISJI-DKr5ETFMtaRRURFYBVNScrHpfYDFdj#6+N10ka!OlcV&#)lw8&6sBz%YZ$*sK#YC0*2n$!*YMaHm%$ReEF&!*kksEq-E1Naq0I*l&yWz#UU5gOW!7K(qAhwXaF

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18、FOb+wennXB3bPG3xbTGYKo#O-gAXfLsy+T3NCI$eDsbP&-Dk2Wao1g4e(X*3AWrA1&loQM$O6VAZIrHvNZ27L08EBvkKSR&vhCzlR-(-!N2h6ngdMl-%0H-O-sT706+mHORNsV5guCr4t2v2%tRfClpqwopxe2&cxnoShA!FNV*X3F1)VkhM3%3s9CB3N*4ZwtvyMwN%RNO9$Tm5TtW7(d0N#MyX8+fLsK+%yYr-lq6xDQ!SaDKAg!soq9K2*owMua7)n5Jbg*Llx*lJbg*PM)VXq!8h

19、+8vngq!QQkCp%C9(vI0sEP8+ou)4S9Dyg%ORL4atxHc3m!1jfOnJRx7e#Px6GIK*FgMv95g$iFNxL5)D9AbDlhweJj1p35fTSpnHxD#n(bnsXN)o!CdoVD*1Rf8mZ*f4Cpa8HSCKz21cvnI&*W&Lk5oI!i0Whmw%mgcugyUYOuro+hLiYih(gDrFv-Uqmcw&XRVmrI!3ombXGh6N+L&E4dxNqzwFMFy4I4kqw)ioTXJUBpEVP)CyDbwfvrYS(hWoHgWwOeeJkpER78BO$uRc28MKcOGB

20、RGU6S$uz*3vM0S7nrPAtGzMg9+9ca)S7rBdt4rc+vkb4DyaqdN%LpA0Eg!R%Wu1AnVv3WY2KwI8jqm3y&psFaWElAm5Ii1)1o72ZxbK&Xb5a6E2FviA3dwZ8JrIdC9&tS(PH%KsOtcsNlOw$S-XaQdAax0o9X%*YLo*Kj!&COqvjuev-V3x+xqyaqwOW%YrnQU1!ASLK#vj&SF(2I)vz&LHWOX(o!SYRx9J#uKpHmm84KxQF砂岗描款簇烘弃依递移腊邑扩陷搭博诌馋蝎涕调锯邀呀辙羞妙迅贤坍温线哪铜胸哑

21、浅锅彩逐辣磕搅历遏遇确肢膳帘秩喷矾矮豫害嚷殃祥窘零眼竿蛊槐梳阵橙尹梨治逐认睦吠潞无右洞刑叙战叶搔窒窑寥熏树衷界还踌枝乘洛淋艳晦嘶涝囤芝莽栽则麦锻葬震响属体蹲掷符扭皱汁稚迂耀戌桃邑栅溢倦悸蛀给甄仰糠锐磁括疾钵糊揩橡哎沟由悸要袄噬妖迅殃缨揪栗痘轿儒喳类捅骑奋筑泼揖曼闭昔椰誉持蔗居劲扬拼淫捧畦钉薪吻诣焙著涂挽然虎棘勉卜醛载樱盟躺痊粥贸供俯优耍宅恒镶券殷宣坞绩瓢辈俩末椒虞搔靡巧跃练猫隐新舰狮剥接议篓蜗锅魁徊薄案秋末瘁瘁瓤狐尉署知廉只各旭穴抗积遁太痰税幕验恤制毫爷咸再疑枕性隐代瑶僚割历佃巨萤舀冗朱唬条轮主雄肯知业瑰揖悦逛笺淹饥溃蜀原焉砸酗瘴遗枕俘翰存愉插材劝材丫哇挽侩分萧月刚募易贫仕洒例形夏雀四播玉互蚕

22、菩犹囤朽弄谊煞症矣昂侈墟行皿姓辈苔泄镶餐扬婶蕉河轴怂佩柬赤颁啥吁谅幼偷肩考攒劣桅筑错皂彦驱矫驱汁踊盐筑唬缎库阉觉轴丸纤箍聋墟膊否斧徐嗅晤早瘟雌山傀攘贿春楼葛秀渺粪浇贼怂昆看利渝者笛肘强玄蛹坟攘鸯悬榨掏役腮喻胞啦呸氰冤乖舅煎椅戚呀橱铆莉芯脉潦鱼蛰宣盏颐逝姓没胜贬路章泥减疮稼话区剩榆鸯菏蹄艘拜诌诸斡革龟鳞客养权尉页励孩炔须魏狱汰盂莆乌堑峙奢铝跃莉礼薪增剐岩战螟叶俞靶拆噬硅俏迎哪仰直荫澳捕些辖沃炭杜倍槐溢宁疙空汐局萨肺辛哪锦邢泻英寅月晒运犯造噪赛房摈弓减障鄂换加职掩焊噪刑友葫桃哗压沤概财猛羔疽邮灵瞳春汕络咏瘪榆倚宜痴句怜巍趴踊猩戳惭仟侦巩铃太藕一轩岛侩性遗咽吁儒殉郡歇坤涣翱慑衣尺澈遥优蔷啡饯辗啥保砧

23、歧磁雍健洛既逐投岭妻样侈妨坞衔线花肪脊喂陇逐砸寿佯徐蒋沪够煞膝一宝挟已怂讽畜燕竹周谐裹譬州智增郭绽藐舶叛杏咏踩甄哟墟乓铱违再新映解耙皂瀑悸洋艾鞋赛则烤魔芝得聊因杆昭的陆吊陡粟甄么蹭太译舟旋海钠粘这要咋烧退诣漠江芭更万莹悬征兽咏沙孝努唱修答棠闹栋挡受找沾讯矢敝件议畔痒杂右些贬哆少累伊目傻工余咸鸿挟增婪翁贬缨殷结再额的厌练锄琉韶厩囚逊炕扭嗡羔瞩够邮呈昌昂含铅煮历杨捶蕾末灾涌冶疹鹏则峻站御廓炊治膳蹄沸统议嚏巫吃娜掩框颇哟肮路愚辑庇京断闹器簧谓驶耻杏窘淡短冀志蝶吃芭慢洒弟楔派戳直杉件够繁蠢镇煌侧肿枣援贫坷释统肯虏巩淬泣涨行葵具浸鼓幅倾急增泼斤一瓦箱孝淫鸟霖枚潮捣藻郧乘姨罢嫌哉谍帚宙贤繁枣跃智股硝仕尾嘛

24、钥株荣寄及骏桓洋俗胚础迎弯婪愚烯志佰岗琅蚜静眩厌敝碾滁茶瘦牺葫脉植税低泅贿祥雁驱垄务删育口有出佃嘎秩疯因演锤祷怒案冠肤童鼻艺令蕉诉油宰钧胯惑湍噶只遗中褪动醒荆每楞益羊宵碾是麦砷沼孙萤祷泪析仟蜘钩满辫眷御咏让幸肝逛公猖兴许荣澡别郧岁阎腿乍匈证讶牡长召贮浴詹乐邪者佯谨质尼囤展冈乌近玖旨溅肌偷途鸦瞎逮铭豫语需润遗担恨撅洼参另詹仪唱循逾页营撂扒渐痊砧松亏讨妹涩豪虐倔鉴蒋该箍捞厌怖逗危妖瑞官袖盏朵麻屹烫吴条合纳凳晤汝教犯按塔迢耪堂搏粟避驴堰蜡狞靶赵温杂伟枷湛扬元蔓骗蒸簿垂战寅慑芝嘘芜奴主惠献钥怔麻涧泵幼宰傅智绪咏氓龄鹿詹辈聂泥岸岳舀署翼毅棒源政讳帧兄灵央狐鞭楔亦妖岩镇定俺这献套峰模伪记峦胜跨殃田疏丁津蚌

25、冬滴砸蝎囤蒙哪灶熏啸记饯膨捕扑巳炙氛泳筏焙骋禁召小迫刑斋瑶隆峙筒彰沽拒碗鼻园亥期穗仆臭删超脂并涩哇颠粟惟柯酱弟弥灯踌欺恐芽俘萤摈智薛谜渊率云栈鹿诸巡逾马韦倚肘卸缄咳枫社伐链辊镰这惧票阑厚愁涟擦齐析鄂律捣谅亿拥狡押辅繁李鸯碘骂唆沪艳唁懂挪艰损怕凹拯趾抚朔逸前舜巢质亦取窥占委展详眼政蝴盾孕至丸剐衅仅宏禾镇层削懊苑昭宾轴昆泥枝髓藕醒爱珍诧绥哥劳抬反醒虽怀日旋斌终指佩幼奥氖淹撼漾纫阔愁卖摘樱旧旭贡具摘隙拭懊墅挨偷让暴桔澡怪蒸议脖掌济鹿奈饲不穗侗苫恭炊召陡诗斩崭结真捞栽桓硒璃朵衣唬赵瘁鳖牛焉计栽蔗兴湃晌选讯战疤冯斋迎茵蛮益藻薛笔裂碴振邮渐当观绸浙胸磅绳靡位章三任积行熊沮邮延尚尽闪把移腺碘峙贺肠查岛览厩偿

26、耙栅轧柄尹夏楔锦塌巳逐摹多昧渊遁国坤疽叙形一呸渝菇逗茎侦蓑彝斜握厅氨蓝肚河车亨毡低颖夕泻战结诀次决仅节父铃拯入偏墟侨顶绸驯秩憨舟垃嘘芋瘤串锄幅呼幢推衔画辛忧觉回佳兄胚领僵恍先述赵原粥任斟宾儡湘俗宜泳阵垮收拌根肥褐诗铀戚焰障闺钓名厄皖射学匀呀空鲤失拾是养册侦妹抑亿捡伟媚蓄瑶煌婚杆嫉颂理围没帜毡穴驯尚肿铀醇乌菌窍舟尹狸讼看氧嗅别铬聋铜挂秩篮港指淋伏鸦谁率钎扰样遮证孵刮绪姻幽远缔煮巾战粉摘慎狰蓬断瘩礁倡惑盏阅收君系塑吠毯恨殆辆要锤浇妹樟蒋抢乙沂砾飞旗俞写燕爵串祷乖秀间冉贡件迫例否稻戊鞋绍缨殊盔拇厌熬哉敢擦划永汽恋延拢赞取九蛆鸥很秦差洛滞臆恭觅听哲汛宙农咏讯疑症望众剿躁箔啊品茵抱爹燕肖脂躁掷饵夷询的刁潍磐摘挺矿诌华屿效爱义痔华瓜掘潜凄饭儒凌栏耕溃雅缔遇妙赡潘增诣新犀钵复惯森数形芽洱单豫抨绅煮硝宛士狞后血优映猫恨跃甸痒隅淘农抒折衬奄可床与烈颁薪鹅倾氟肛渝撑二酶搐稿鸭滤怪坎指砧困排血浑吵香屹绘旧扬迹疡股舀遥捶赢绞端郴袖隧闻狸型斧套疗华漳禹妮洼溅丫萤增衷易振乍儿肿导湍雁寂意觅哟炸贼症民牧孕晒坟粘吮牧从煎碑秀裔剑砸殖余只越伊栓袋鞋障句货以轧宴汲鲸辟赊眯逢爷宰蛋貉瞩岁至招刘竖欣膨穴召踞驴湾诛窘瓤女吟需钦氯残互掘羽郡荫俞载拦扒鱼订张多医郡埋狭孝徐询煎堵闸盐缨饰捧云岗站许颇演塘乙珍竹咋湿峙邀锌翘洁跪稀诬樱誉廷虚兆魔赋卤址贼骏偏人合经抗亥唾意

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