微分中值定理与导数应用 - 4.7 曲率

1、第四章第四章 微分中值定理与导数的应微分中值定理与导数的应用用曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关主要内容主要内容:一、一、 弧微分弧微分 二、二、 曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM4.7 平面曲线的曲率一、一、 弧微分弧微分( )yf x设在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,弧长( )sAMs xsxMMMMMMxMMMM22()()xyx MMMM 21()yx0( )limxss xx 21()yxO( )yf xABabxyxMxx My0lim1xMMMM 则弧长微分公式为22ddsxyt( )s x21()y

2、2d1() dsyx或22d(d )(d )sxyOdxxxdxyxMdyT几何意义几何意义:ds MTdcos;dxsdsindys若曲线由参数方程表示:( )( )xx tyy txt 表示对参数 的导数二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率sKsMMs点 M 处的曲率0limsKs dds注意注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !转角为例例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解解: 如图所示 ,sR 0limsKs 1R可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;R 愈大, 则K 愈小 , 圆

3、弧弯曲得愈小 .sRMM有曲率近似计算公式1,y 当时tany()22设arctan y得d(arctan) dyx 2d1yxy2d1dsyx故曲率计算公式为ddKs322(1)yKyKy又曲率曲率K 的计算公式的计算公式( )yf x二阶可导,设曲线弧则由说明说明: (1) 若曲线由参数方程( )( )xx tyy t给出, 则322(1)yKy(2) 若曲线方程为( ),xy则322(1)xKx3222()xyxyKxy例例2. 我国铁路常用立方抛物线316yxRl作缓和曲线,处的曲率.2(0, 0),( ,)6lOB lR说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点

4、且 l R. 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 离心力必须连续变化 , 因此铁道的曲率应连续变化 . Oyx例例2. 我国铁路常用立方抛物线316yxRl作缓和曲线,且 l R. 处的曲率.2(0, 0),( ,)6lOB lR其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点解解:0, ,xl当时2lR01yxRl Ky1xRl显然00;xK1x lKR212yxRl RB316yxRll例例3. 求椭圆cossinxatybt(02)t 在何处曲率最大?解解:故曲率为 ab322222(sincos)atbtsin ;xat cos ;ybtcosx

5、at sinybt 3222()xyxyKxyK 最大2222( )sincosf tatbt最小22( )2sin cos2cos sinftattbtt22()sin2abt求驻点: ( )0,f t令0,t 得,23,22 ,设22( )()sin2f tabtt( )f t023222b2b2a2b2a从而 K 取最大值 .这说明椭圆在点0,ba0 , , 2t 则时(, 0)a处曲率计算驻点处的函数值:yxbaba( ),f t 取最小值最大.OK 最大2222( )sincosf tatbt最小三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径TyxO( ,)D R( , )M x yC设

6、 M 为曲线 C 上任一点 , 在点在曲线1DMRK把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同 .M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使设曲线方程为( ),yf x且0,y 求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心( , )D 设点M 处的曲率圆方程为222()()R故曲率半径公式为1RK 322(1)yy满足方程组, 222()()xyR( , )M x y 在曲率圆上()DMMTy xy的坐标公式 .TyxO(

7、 ,)D R( , )M x yC满足方程组, 222()()xyR( , )M x y 在曲率圆上()DMMTy xy由此可得曲率中心公式2(1)yyxy21yyy(注意y与y异号 )当点 M (x , y) 沿曲线 ( )yf x移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线 ,相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线 .屈线的参数方程(参数为x).TyxOR( , )M x yC( ,)D Oyxab例例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?解解: 设椭圆方程为cossinxatybt(02 ,)x

8、ba由例3可知, 椭圆在(,0)a处曲率最大,即曲率半径最小, 且为 R 322222(sincos)atbtab0t 2ba显然, 砂轮半径不超过2ba时，才不会产生过量磨损 ,或有的地方磨不到的问题.( 仍为摆线 )(sin )a(1cos )a例例5. 求摆线(sin )(1cos )xa ttyat的渐屈线方程 . 解解:yyx sin,1costtdd()tyyx 21(1cos )at代入曲率中心公式,(sin )a tt(cos1)at得渐屈线方程 ,t令2aaO2(1)yyxy21yyyOyxM摆线内容小结内容小结1. 弧长微分2d1dsyx或22d(d )(d )sxy2. 曲率公式ddKs322(1)yy3. 曲率圆曲率半径1RK322(1)yy曲率中心2(1)yyxy21yyy思考与练习思考与练习1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系